Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिया है \(a_n=6n-8\)। \(a_{3n-2}\) ज्ञात करने के लिए सूचकांक \(n\) के स्थान पर पूरा व्यंजक \(3n-2\) रखेंगे: \(a_{3n-2}=6(3n-2)-8=18n-12-8=18n-20\)। इसलिए सही उत्तर \(18n-20\) है। \(18n-12\) में अंतिम \(-8\) घटाना छूट गया है। परीक्षा टिप: मिश्रित सूचकांक रखने पर उसे हमेशा कोष्ठक में लिखें। / Given \(a_n=6n-8\), substitute the entire index \(3n-2\) for \(n\): \(a_{3n-2}=6(3n-2)-8=18n-12-8=18n-20\). Hence, \(18n-20\) is correct. The option \(18n-12\) results from forgetting to subtract the final 8. Exam tip: always enclose a compound index in brackets before simplifying.
क्रमागत पदों के अंतर \(6,10,14,18\) हैं और इनके अंतर \(4\) स्थिर हैं। अतः श्रेणी का \(n\)वां पद द्विघात रूप का होगा। विकल्प \(2n^2-1\) में \(n=1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(1,7,17\) मिलते हैं; इसलिए सही पद \(2n^2-1\) है। निकटतम विकल्प \(2n^2+n-2\) में \(n=2\) रखने पर \(8\) मिलता है, जो दिए गए दूसरे पद \(7\) से भिन्न है। परीक्षा टिप: द्वितीय अंतर स्थिर हो तो \(n\)वां पद सामान्यतः द्विघात होता है। / The consecutive differences are \(6,10,14,18\), and their second differences are constantly \(4\). Hence, the nth term is quadratic in \(n\). Substituting \(n=1,2,3\) in \(2n^2-1\) gives \(1,7,17\), respectively, so it matches the sequence. The close distractor \(2n^2+n-2\) gives \(8\) when \(n=2\), not the required second term \(7\). Exam tip: a constant second difference usually indicates a quadratic nth-term rule.
(9d=63) से (d=7), इसलिए \(a_{23}=95+9\cdot7=158\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=63), (d=7), so \(a_{23}=95+9\cdot7=158\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
दिया है \(a_n=4n^2+n-6\)। अतः \(a_{n+2}=4(n+2)^2+(n+2)-6=4n^2+17n+12\)। इसलिए \(a_{n+2}-a_n=(4n^2+17n+12)-(4n^2+n-6)=16n+18\)। विकल्प B में \(n+2\) रखने के बाद स्थिर पद का सही विस्तार नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(n\) के स्थान पर पूरा \(n+2\) लिखें, फिर कोष्ठक खोलें। / Given \(a_n=4n^2+n-6\), substitute \(n+2\) for \(n\): \(a_{n+2}=4(n+2)^2+(n+2)-6=4n^2+17n+12\). Hence, \(a_{n+2}-a_n=(4n^2+17n+12)-(4n^2+n-6)=16n+18\). Option B results from an incorrect expansion or simplification of the constant terms. Exam tip: replace every occurrence of \(n\) with \(n+2\) before expanding the expression.
हर बार गुणन (3) हो रहा है इसलिए \(a_n=5\cdot3^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रहता है। / Each term is multiplied by (3), so \(a_n=5\cdot3^{n-1}\). In a geometric sequence, the first term stays separate.
सूचकांक (5) बढ़ा है और सामान्य अंतर (8) है इसलिए अंतर (40) होगा। रैखिक नियम में (n) का गुणांक सामान्य अंतर देता है। / The index increases by (5) and the common difference is (8), so the difference is (40). In a linear rule, the coefficient of (n) gives the common difference.
पद \(3^3,4^3,5^3,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+2)3)। घन श्रेणी में शुरुआती आधार देखें। / The terms are \(3^3,4^3,5^3,\ldots\), so (a_n=(n+2)3). In cube sequences, observe the starting base.
पद \(3\cdot1^2,3\cdot2^2,3\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=3n^2\)। गुणांक वाले वर्ग पैटर्न को पहचानें। / The terms are \(3\cdot1^2,3\cdot2^2,3\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=3n^2\). Recognize the square pattern with its coefficient.
दिया है: \(a_n=2n^2+3n-4\)। अतः \(a_8=2(8)^2+3(8)-4=128+24-4=148\) और \(a_5=2(5)^2+3(5)-4=50+15-4=61\)। इसलिए \(a_8-a_5=148-61=87\)। विकल्प 84 निकट लग सकता है, पर वह पदों का सही मान निकालकर घटाने पर प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर निकालें, फिर अंतर लें। / Given \(a_n=2n^2+3n-4\), \(a_8=2(8)^2+3(8)-4=128+24-4=148\) and \(a_5=2(5)^2+3(5)-4=50+15-4=61\). Therefore, \(a_8-a_5=148-61=87\). Option 84 may seem close, but it does not result from evaluating both terms correctly. Exam tip: calculate each required term separately before finding their difference.
हर पद में \(\frac{9}{5}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{9n}{5}\)। समान हर वाले भिन्नों में अंश का पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{9}{5}\), so \(a_n=\frac{9n}{5}\). In fractions with a common denominator, observe the numerator pattern.
क्रमागत पदों के अंतर 12, 14, 16, 18 हैं और इनके अंतर 2 हैं, इसलिए nवां पद द्विघात रूप में होगा। \(a_n=n^2+9n+5\) रखने पर \(a_1=15\), \(a_2=27\), \(a_3=41\) मिलते हैं। अतः सही विकल्प \(n^2+9n+5\) है। विकल्प \(n^2+8n+6\) के लिए \(n=1\) रखने पर 15 तो मिलता है, पर \(n=2\) पर 26 मिलता है, जो गलत है। परीक्षा टिप: द्विघात श्रेणी में पहले और दूसरे अंतर अवश्य जाँचें। / The consecutive differences are 12, 14, 16, and 18; their second differences are 2, so the nth term is quadratic. For \(a_n=n^2+9n+5\), we get \(a_1=15\), \(a_2=27\), and \(a_3=41\). Hence, \(n^2+9n+5\) is correct. The close distractor \(n^2+8n+6\) gives 15 at \(n=1\), but gives 26 at \(n=2\), not 27. Exam tip: for a quadratic sequence, check both first and second differences.
दिया है कि \(a_n=3^n+2n\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=3^4+2(4)=81+8=89\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 89 है। 87 प्राप्त हो सकता है यदि \(2n\) का मान गलती से 6 लिया जाए। परीक्षा टिप: पद संख्या को घात और अन्य सभी \(n\) वाले पदों में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=3^n+2n\), substitute \(n=4\): \(a_4=3^4+2(4)=81+8=89\). Hence, 89 is the correct answer. The value 87 may result from incorrectly taking \(2n\) as 6. Exam tip: Substitute the term number carefully in every part containing \(n\).
पहला पद (31) और अंतर (-5) है इसलिए (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (31) and the difference is (-5), so (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n). Use a negative difference in a decreasing sequence.
दिया है: \(a_n=n^3+2n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=5^3+2(5)=125+10=135\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 135 है। 130 तब मिलता है जब \(5^3\) में रैखिक पद \(2n\) को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद घात और गुणा पहले करें। / Given \(a_n=n^3+2n\), substitute \(n=5\): \(a_5=5^3+2(5)=125+10=135\). Hence, 135 is correct. A value such as 130 results from an incorrect evaluation of the linear term \(2n\). Exam tip: after substituting the value of \(n\), evaluate powers and multiplication before addition.
दिए गए पद \(3n^2+1\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर (6) होने पर \(n^2\) का गुणांक (3) होता है। / The given terms match \(3n^2+1\). When the second difference is (6), the coefficient of \(n^2\) is (3).
हर पद में \(\frac{7}{4}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{7n}{4}\)। भिन्नों में समान हर बनाकर पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{7}{4}\), so \(a_n=\frac{7n}{4}\). Use a common denominator to see the pattern in fractions.
पद \(8+2,16+2,32+2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+2}+2\)। घातीय पैटर्न में शुरुआती घात पहचानें। / The terms are \(8+2,16+2,32+2,\ldots\), so \(a_n=2^{n+2}+2\). In exponential patterns, identify the starting power.
\(a_7=a_1+6d\) से \(a_1=2\), इसलिए (a_n=2+(n-1)6=6n-4)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_7=a_1+6d\), \(a_1=2\), so (a_n=2+(n-1)6=6n-4). Finding the first term from a middle term is useful.
(n=8) पर ((-1)9=-1) और (4(8)+1=33), इसलिए \(a_8=-33\)। वैकल्पिक चिन्ह में घात की सम-विषम स्थिति देखें। / For (n=8), ((-1)9=-1) and (4(8)+1=33), so \(a_8=-33\). In alternating signs, check whether the exponent is even or odd.
पद \(n^2+5n\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (6) और (n=2) पर (14) आता है। विकल्पों को शुरुआती पदों पर जांचें। / The terms match \(n^2+5n\), giving (6) for (n=1) and (14) for (n=2). Test options on the starting terms.
क्रमागत अंतर \(8,12,16,20\) हैं और इनके दूसरे अंतर सभी \(4\) हैं। इसलिए पद का रूप द्विघात होगा। \(a_n=2n^2+2n-1\) रखने पर \(n=1,2,3\) के लिए क्रमशः \(3,11,23\) प्राप्त होते हैं, अतः यही सही पद है। विकल्प \(2n^2+n\) पहला पद तो 3 देता है, लेकिन \(n=2\) पर 10 देता है, 11 नहीं। परीक्षा टिप: समान दूसरे अंतर होने पर \(an^2+bn+c\) का रूप जाँचें। / The successive differences are \(8,12,16,20\), and their second differences are all \(4\). Hence, the nth term has a quadratic form. Substituting \(n=1,2,3\) in \(a_n=2n^2+2n-1\) gives \(3,11,23\), so this is the correct rule. The close distractor \(2n^2+n\) gives the first term as 3 but gives 10, not 11, when \(n=2\). Exam tip: equal second differences usually indicate a rule of the form \(an^2+bn+c\).
दिया है कि \(a_n=n^2+7n-8\)। अतः \(a_9=9^2+7(9)-8=81+63-8=136\) तथा \(a_4=4^2+7(4)-8=16+28-8=36\)। इसलिए \(a_9-a_4=136-36=100\)। विकल्प 104 तब मिल सकता है जब किसी पद के स्थान पर गलत मान रख दिया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=n^2+7n-8\), \(a_9=9^2+7(9)-8=81+63-8=136\) and \(a_4=4^2+7(4)-8=16+28-8=36\). Hence, \(a_9-a_4=136-36=100\). A value such as 104 can result from substituting an incorrect value for one of the terms. Exam tip: calculate each required term separately before finding their difference.
यह गुणोत्तर श्रेणी है और \(a_7=4\cdot5^6=62500\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) होती है। / This is a geometric sequence and \(a_7=4\cdot5^6=62500\). In a geometric sequence, the exponent is (n-1).
(n=2k+3) रखने पर (a_{2k+3}=9(2k+3)-11=18k+16)। सूचकांक का पूरा व्यंजक प्रतिस्थापित करें। / Putting (n=2k+3), (a_{2k+3}=9(2k+3)-11=18k+16). Substitute the whole expression used as the index.
दिए गए पद \(2n^2+5n\) से मिलते हैं। द्विघात पैटर्न में पहले तीन पदों पर विकल्प जांचें। / The given terms match \(2n^2+5n\). In a quadratic pattern, test the options on the first three terms.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=3\), इसलिए \(a_n=6n-3\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=3\), so \(a_n=6n-3\). When two terms are given, find the common difference first.
पहला पद (14) और अंतर (8) है इसलिए (a_n=14+(n-1)8=8n+6)। समान्तर श्रेणी में (n-1) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (14) and the difference is (8), so (a_n=14+(n-1)8=8n+6). In an arithmetic sequence, (n-1) differences are added.
दिया है कि \(a_n=7n+2\) और पद का मान \(100\) है। अतः \(7n+2=100\), इसलिए \(7n=98\) और \(n=14\)। इसलिए 100, 14वाँ पद है। जाँच के लिए, \(a_{13}=7\times13+2=93\), इसलिए 13वाँ पद सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए पद के मान को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) के लिए हल करें। / Given \(a_n=7n+2\), set the term equal to \(100\): \(7n+2=100\). Thus, \(7n=98\) and \(n=14\). Hence, 100 is the 14th term. For comparison, \(a_{13}=7\times13+2=93\), so the 13th term is not correct. Exam tip: equate the given term value to \(a_n\) and solve for \(n\).
क्रमागत पदों के अंतर \(2,4,6,8,\ldots\) हैं, अर्थात \(n\)वें पद तक जोड़ने वाले अंतर \(2(k-1)\) के रूप में बढ़ते हैं। इसलिए \(a_n=1+2(1+2+\cdots +(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1\)। विकल्प \(n^2+n-1\) में \(n=2\) रखने पर \(5\) मिलता है, जबकि दूसरा पद \(3\) है। परीक्षा टिप: जब प्रथम अंतर समान अंतर से बढ़ें, तो पद सामान्यतः \(n\) का द्विघात व्यंजक होता है। / The consecutive differences are \(2,4,6,8,\ldots\), so the added differences up to the \(n\)th term are \(2(k-1)\). Hence, \(a_n=1+2(1+2+\cdots +(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1\). The close distractor \(n^2+n-1\) gives \(5\) when \(n=2\), whereas the second term is \(3\). Exam tip: if first differences increase by a constant amount, the general term is usually quadratic in \(n\).
दूसरे अंतर (6) हैं और \(3n^2+4n+4\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात श्रेणी में विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचें। / The second differences are (6), and \(3n^2+4n+4\) gives all starting terms. In a quadratic sequence, test options on the first three terms.
