Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पद \(5n^2+1\) नहीं बल्कि \(5n^2+1\) से मिलते हैं, इसलिए दिए विकल्पों में सही पद नहीं है। सही विकल्पों को पहले पद पर अवश्य जांचें। / The terms match \(5n^2+1\), so none of the listed options is correct. Always test options on the first term.
हर पद में \(\frac{11}{6}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{11n}{6}\)। भिन्नों में समान हर बनाकर पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{11}{6}\), so \(a_n=\frac{11n}{6}\). Use a common denominator to see the pattern in fractions.
पद \(16-3,32-3,64-3,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+3}-3\)। घातीय पैटर्न में शुरुआती घात पहचानें। / The terms are \(16-3,32-3,64-3,\ldots\), so \(a_n=2^{n+3}-3\). In exponential patterns, identify the starting power.
\(a_9=a_1+8d\) से \(a_1=5\), इसलिए (a_n=5+(n-1)7=7n-2)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_9=a_1+8d\), \(a_1=5\), so (a_n=5+(n-1)7=7n-2). Finding the first term from a middle term is useful.
(n=9) पर ((-1)9=-1) और (5(9)-3=42), इसलिए \(a_9=-42\)। वैकल्पिक चिन्ह में सम-विषम स्थिति देखें। / For (n=9), ((-1)9=-1) and (5(9)-3=42), so \(a_9=-42\). In alternating signs, check the even-odd position.
दिए गए पद \(3n^2+4n+1\) से मिलते हैं। विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचना सुरक्षित तरीका है। / The given terms match \(3n^2+4n+1\). Testing options on the first three terms is a safe method.
दूसरे अंतर (8) हैं और \(4n^2+1\) सभी शुरुआती पद देता है। दूसरे अंतर का आधा \(n^2\) का गुणांक होता है। / The second differences are (8), and \(4n^2+1\) gives all starting terms. Half of the second difference is the coefficient of \(n^2\).
यह गुणोत्तर श्रेणी है और \(a_6=6\cdot5^5=18750\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) होती है। / This is a geometric sequence and \(a_6=6\cdot5^5=18750\). In a geometric sequence, the exponent is (n-1).
(n=2r-1) रखने पर (a_{2r-1}=11(2r-1)-15=22r-26)। सूचकांक का पूरा व्यंजक प्रतिस्थापित करें। / Putting (n=2r-1), (a_{2r-1}=11(2r-1)-15=22r-26). Substitute the whole expression used as the index.
क्रमागत पदों के अंतर \(17,25,33,41\) हैं और इनके द्वितीय अंतर सभी \(8\) हैं। इसलिए पद का रूप द्विघात होगा, अर्थात \(a_n=4n^2+bn+c\)। \(n=1\) और \(n=2\) रखने पर \(b=5\) तथा \(c=0\) मिलता है। अतः \(a_n=4n^2+5n\) है। विकल्प C में \(n=1\) रखने पर 9 तो मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 25 मिलता है, 26 नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर द्वितीय अंतर होने पर पद को \(an^2+bn+c\) के रूप में जाँचें। / The successive differences are \(17,25,33,41\), and their second differences are all \(8\). Hence the nth term is quadratic: \(a_n=4n^2+bn+c\). Substituting \(n=1\) and \(n=2\) gives \(b=5\) and \(c=0\). Therefore, \(a_n=4n^2+5n\). Option C gives 9 for \(n=1\), but it gives 25 rather than 26 for \(n=2\). Exam tip: when second differences are constant, test a form \(an^2+bn+c\).
(7d=63) से (d=9) और \(a_1=2\), इसलिए \(a_n=9n-7\)। दो दिए पदों से पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (7d=63), (d=9) and \(a_1=2\), so \(a_n=9n-7\). From two given terms, find the common difference first.
यहाँ n=6 रखने पर a_6=7(6)2-3(6)+5=7×36-18+5=252-18+5=239 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 239 है। विकल्प 252 केवल 7×6² का मान है; इसमें -3n+5 को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: पहले घात का मान निकालें, फिर गुणा तथा जोड़-घटाव करें। / Substitute n=6: a_6=7(6)2-3(6)+5=7×36-18+5=252-18+5=239. Therefore, 239 is correct. Option 252 is only the value of 7×6² and ignores the terms -3n+5. Exam tip: evaluate the exponent first, then perform multiplication and addition or subtraction.
पहला पद (17) और अंतर (8) है, इसलिए (a_n=17+(n-1)8=8n+9)। समान्तर श्रेणी में (n-1) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (17) and the difference is (8), so (a_n=17+(n-1)8=8n+9). In an arithmetic sequence, (n-1) differences are added.
हर पद \(\frac{1}{3}\) गुना हो रहा है इसलिए \(a_n=81\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)। पहले पद को सुरक्षित रखकर (n-1) घात लगाएं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so \(a_n=81\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). Keep the first term fixed and use exponent (n-1).
\(a_n=12n-7\) में (n) का गुणांक (12) है, इसलिए सामान्य अंतर (12) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=12n-7\), the coefficient of (n) is (12), so the common difference is (12). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
दिया है कि \(a_n=n(n+4)\)। 77 के लिए \(n(n+4)=77\), अर्थात \(n^2+4n-77=0\)। इसे गुणनखंडित करने पर \((n-7)(n+11)=0\) मिलता है। पद संख्या धनात्मक होती है, इसलिए \(n=7\)। अतः 77, 7वाँ पद है। \(n=-11\) गणितीय मूल है, पर वह पद संख्या नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: पद संख्या वाले प्रश्नों में केवल धनात्मक पूर्णांक मान ही स्वीकार करें। / Given \(a_n=n(n+4)\), set \(n(n+4)=77\). This gives \(n^2+4n-77=0\), or \((n-7)(n+11)=0\). Since a term number must be positive, \(n=7\). Therefore, 77 is the 7th term. Although \(n=-11\) is an algebraic root, it cannot be a term number. Exam tip: for sequence indices, accept only positive integer values.
पद \(2+3,4+3,8+3,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^n+3\)। घातीय पैटर्न में स्थिर जोड़ को पहचानें। / The terms are \(2+3,4+3,8+3,\ldots\), so \(a_n=2^n+3\). In exponential patterns, identify the constant addition.
दिया है \(a_n=5n+14\)। यहाँ सूचकांक \(n\) के स्थान पर पूरा व्यंजक \(4p+2\) रखें: \(a_{4p+2}=5(4p+2)+14=20p+10+14=20p+24\)। अतः सही विकल्प \(20p+24\) है। \(20p+14\) में \(5\times2=10\) पद जोड़ना छूट गया है। परीक्षा टिप: सूचकांक में कोई व्यंजक हो, तो उसे \(n\) के स्थान पर कोष्ठक सहित प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=5n+14\), substitute the complete index \(4p+2\) for \(n\): \(a_{4p+2}=5(4p+2)+14=20p+10+14=20p+24\). Therefore, \(20p+24\) is correct. The option \(20p+14\) misses the contribution \(5\times2=10\). Exam tip: when an index is an expression, substitute the entire expression in brackets for \(n\).
दूसरे अंतर (6) हैं और \(3n^2+7n+2\) शुरुआती पद देता है। द्विघात नियम में दूसरे अंतर का आधा \(n^2\) का गुणांक होता है। / The second differences are (6), and \(3n^2+7n+2\) gives the starting terms. In a quadratic rule, half of the second difference is the coefficient of \(n^2\).
दिया है कि \(a_n=40-7n\)। जब \(a_n=5\) हो, तब \(40-7n=5\)। अतः \(7n=35\), इसलिए \(n=5\)। इसलिए 5 पाँचवाँ पद है। निकटतम विकल्प चौथा पद गलत है, क्योंकि \(a_4=40-28=12\), 5 नहीं। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए दिए गए \(a_n\) के मान को सूत्र में रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=40-7n\). For \(a_n=5\), set \(40-7n=5\). Thus, \(7n=35\), so \(n=5\). Hence, 5 is the 5th term. The closest distractor, the 4th term, is incorrect because \(a_4=40-28=12\), not 5. Exam tip: To find the position of a specified term, substitute its value in the formula for \(a_n\) and solve for \(n\).
पद \(6\cdot1^2,6\cdot2^2,6\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=6n^2\)। वर्ग पैटर्न के गुणांक को पहचानें। / The terms are \(6\cdot1^2,6\cdot2^2,6\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=6n^2\). Identify the coefficient of the square pattern.
दिया है कि \(a_n=3n^2+4n\)। अतः \(a_7=3(7)^2+4(7)=147+28=175\) और \(a_4=3(4)^2+4(4)=48+16=64\)। इसलिए \(a_7-a_4=175-64=111\)। विकल्प 108 जैसी त्रुटि प्रायः \(7^2\) या \(4^2\) की गणना में गलती से होती है। परीक्षा टिप: पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=3n^2+4n\), \(a_7=3(7)^2+4(7)=147+28=175\) and \(a_4=3(4)^2+4(4)=48+16=64\). Therefore, \(a_7-a_4=175-64=111\). An answer such as 108 can result from an error while evaluating \(7^2\) or \(4^2\). Exam tip: calculate the two terms separately before subtracting.
पहला पद (18) और अंतर (17) है, इसलिए \(a_{25}=18+24\cdot17=426\)। (25)वें पद में (24) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (18) and the difference is (17), so \(a_{25}=18+24\cdot17=426\). The (25)th term includes (24) differences.
दिया है
\(a_n=4n^2-9n+7\)। अतः \(a_{10}=4(10)^2-9(10)+7=317\) तथा \(a_3=4(3)^2-9(3)+7=16\)। इसलिए \(a_{10}-a_3=317-16=301\)। विकल्प 299 जैसे निकट मान प्रायः \(a_3\) या घटाव में गणना-त्रुटि से मिलते हैं। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों में \(n\) का मान अलग-अलग रखें, फिर अंतर निकालें। / Given \(a_n=4n^2-9n+7\), \(a_{10}=4(10)^2-9(10)+7=317\) and \(a_3=4(3)^2-9(3)+7=16\). Therefore, \(a_{10}-a_3=317-16=301\). A nearby value such as 299 can result from an error while evaluating \(a_3\) or subtracting. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately before finding the difference.
हर पद आधा हो रहा है इसलिए \(a_n=24\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) से शुरू होती है। / Each term is halved, so \(a_n=24\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In a geometric sequence, the exponent starts with (n-1).
131 किस पद का मान है, इसके लिए \(a_n=131\) रखें: \(n^2+10=131\)। अतः \(n^2=121\), इसलिए \(n=11\)। पद संख्या धनात्मक पूर्णांक होती है, इसलिए 131 अनुक्रम का 11वाँ पद है। 12वाँ पद \(12^2+10=154\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n\) को दिए गए मान के बराबर रखें। / To find which term has value 131, set \(a_n=131\): \(n^2+10=131\). Thus, \(n^2=121\), so \(n=11\). Since a term number is a positive integer, 131 is the 11th term of the sequence. The 12th term is \(12^2+10=154\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, equate \(a_n\) to the given value first.
विषम (n) पर पद धनात्मक और सम (n) पर ऋणात्मक है, इसलिए (a_n=3(-1)^{n+1}n)। वैकल्पिक चिन्ह में पहले (n=1) पर जांचें। / For odd (n), terms are positive and for even (n), terms are negative, so (a_n=3(-1)^{n+1}n). In alternating signs, test first at (n=1).
\(n=5\) रखने पर \(a_5=7\cdot2^{5-1}-3=7\cdot2^4-3=7\cdot16-3=112-3=109\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 109 है। 111 विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम \(-3\) को घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: घातांक वाले व्यंजक में पहले \(n-1\) निकालें, फिर घात का मान ज्ञात करें। / Substituting \(n=5\) gives \(a_5=7\cdot2^{5-1}-3=7\cdot2^4-3=7\cdot16-3=112-3=109\). Hence, 109 is correct. Option 111 may result from forgetting to subtract 3 at the end. Exam tip: in expressions with exponents, calculate \(n-1\) first and then evaluate the power.
दूसरे अंतर (6) हैं और \(3n^2+4n+1\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात श्रेणी में विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचें। / The second differences are (6), and \(3n^2+4n+1\) gives all starting terms. In a quadratic sequence, test options on the first three terms.
सूत्र \(a_n=\frac{n(n+5)}{3}\) में \(n=12\) रखने पर \(a_{12}=\frac{12(12+5)}{3}=\frac{12\times17}{3}=4\times17=68\) मिलता है। अतः सही उत्तर 68 है। 66 एक संभावित त्रुटि है, जो \(12+5\) का गलत योग लेने पर मिल सकती है। परीक्षा में पहले \(n\) का मान रखें और फिर गुणा-भाग को क्रम से सरल करें। / Substitute \(n=12\) into \(a_n=\frac{n(n+5)}{3}\): \(a_{12}=\frac{12(12+5)}{3}=\frac{12\times17}{3}=4\times17=68\). Hence, 68 is correct. The distractor 66 can result from incorrectly adding \(12+5\). In an exam, substitute the term number first and then simplify systematically.
