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B. द्वितीय अंतर स्थिर और शून्येतर होते हैं/The second differences are constant and non-zero
Explanation
Simple Explanation
द्विघात अनुक्रम में \(n^2\) का पद होता है और उसके द्वितीय अंतर स्थिर होते हैं। यहाँ \(a_n=4n^2-3n+1\) के लिए द्वितीय अंतर \(2\times4=8\) है, जो स्थिर और शून्येतर है। स्थिर प्रथम अंतर रैखिक अनुक्रम की पहचान है, जबकि स्थिर अनुपात गुणोत्तर अनुक्रम में मिलता है। परीक्षा टिप: द्विघात पद \(an^2\) के लिए स्थिर द्वितीय अंतर \(2a\) होता है। / A quadratic sequence has an \(n^2\) term and constant second differences. For \(a_n=4n^2-3n+1\), the second difference is \(2\times4=8\), which is constant and non-zero. Constant first differences indicate a linear sequence, while a constant ratio is associated with a geometric sequence. Exam tip: for a quadratic term \(an^2\), the constant second difference is \(2a\).
149वाँ मान पाने के लिए
\(3n^2+2=149\) रखें। इससे \(3n^2=147\), अतः \(n^2=49\) और \(n=7\) मिलता है। पद संख्या धनात्मक पूर्णांक होती है, इसलिए 149 अनुक्रम का 7वाँ पद है। 8वाँ पद \(3(8)^2+2=194\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / To obtain the value 149, set \(3n^2+2=149\). Then \(3n^2=147\), so \(n^2=49\) and \(n=7\). Since a term number must be a positive integer, 149 is the 7th term of the sequence. The 8th term is \(3(8)^2+2=194\), so it is not correct. Exam tip: equate the given value to \(a_n\) first, then solve for \(n\).
हर पद \(\frac{1}{5}\) गुना हो रहा है इसलिए \(a_n=125\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\)। पहले पद को सुरक्षित रखकर (n-1) घात लगाएं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{5}\), so \(a_n=125\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\). Keep the first term fixed and use exponent (n-1).
\(a_n=15n-23\) में (n) का गुणांक (15) है, इसलिए सामान्य अंतर (15) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=15n-23\), the coefficient of (n) is (15), so the common difference is (15). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
160वाँ मान पाने के लिए n(n+6)=160 हल करते हैं। अतः n²+6n−160=0, यानी (n−10)(n+16)=0। n एक धनात्मक पद-संख्या है, इसलिए n=10 होगा। n=−16 मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: पद-संख्या वाले प्रश्नों में केवल धनात्मक पूर्णांक मूल ही स्वीकार करें। / To obtain the value 160, solve n(n+6)=160. This gives n²+6n−160=0, or (n−10)(n+16)=0. Since n is a positive term number, n=10. The root n=−16 is not valid. Exam tip: for term-number questions, accept only positive integer roots.
क्रमागत पदों के अंतर \(4,8,16,32\) हैं, जो प्रत्येक बार दोगुने हो रहे हैं। \(2^{n+1}+3\) रखने पर \(n=1\) के लिए \(7\), \(n=2\) के लिए \(11\) और \(n=3\) के लिए \(19\) मिलता है, इसलिए यही सही पद है। \(2^n+5\) पहला पद तो देता है, पर \(n=2\) पर \(9\) देता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: घातीय श्रेणी में पहले क्रमागत अंतरों का पैटर्न जाँचें। / The consecutive differences are \(4,8,16,32\), and each difference doubles. Substituting \(n=1,2,3\) in \(2^{n+1}+3\) gives \(7,11,19\), so it matches the sequence. Although \(2^n+5\) gives the first term, it gives \(9\) when \(n=2\), so it is incorrect. Exam tip: for an exponential sequence, first inspect the pattern of consecutive differences.
दूसरे अंतर (12) हैं और \(6n^2+9n+1\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात नियम में दूसरे अंतर का आधा \(n^2\) का गुणांक होता है। / The second differences are (12), and \(6n^2+9n+1\) gives all starting terms. In a quadratic rule, half of the second difference is the coefficient of \(n^2\).
दिया है कि \(a_n=55-8n\)। \(a_n=7\) रखने पर \(55-8n=7\) मिलता है। अतः \(8n=48\), इसलिए \(n=6\)। इसलिए 7 अनुक्रम का 6वाँ पद है। 5वाँ पद लेने पर मान \(15\) आएगा, 7 नहीं। परीक्षा में पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को \(a_n\) के सूत्र में रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=55-8n\), put \(a_n=7\): \(55-8n=7\). Thus, \(8n=48\), so \(n=6\). Therefore, 7 is the 6th term of the sequence. The 5th term would be 15, not 7. Exam tip: substitute the given term value into the formula for \(a_n\) and solve for \(n\).
पद \(9\cdot1^2,9\cdot2^2,9\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=9n^2\)। वर्ग पैटर्न के गुणांक को पहचानें। / The terms are \(9\cdot1^2,9\cdot2^2,9\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=9n^2\). Identify the coefficient of the square pattern.
\(a_8=312\) और \(a_3=57\), इसलिए अंतर (255) है। विकल्प मिलाने से पहले गणना दोबारा जांचें। / \(a_8=312\) and \(a_3=57\), so the difference is (255). Recheck the calculation before matching options.
पहला पद (27) और अंतर (22) है, इसलिए \(a_{20}=27+19\cdot22=445\)। (20)वें पद में (19) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (27) and the difference is (22), so \(a_{20}=27+19\cdot22=445\). The (20)th term includes (19) differences.
दिया है कि \(a_n=6n^2-11n+9\)। अतः \(a_{11}=6(11)^2-11(11)+9=614\) और \(a_5=6(5)^2-11(5)+9=104\)। इसलिए \(a_{11}-a_5=614-104=510\)। विकल्प 540 तब मिलता है जब \(a_5\) की गणना गलत करके 74 ली जाए। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों में \(n\) का मान सावधानी से रखकर अलग-अलग निकालें। / Given \(a_n=6n^2-11n+9\), \(a_{11}=6(11)^2-11(11)+9=614\) and \(a_5=6(5)^2-11(5)+9=104\). Therefore, \(a_{11}-a_5=614-104=510\). The value 540 results from incorrectly calculating \(a_5\) as 74. Exam tip: substitute each value of \(n\) carefully and find both terms separately before subtracting.
हर पद आधा हो रहा है इसलिए \(a_n=48\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) से शुरू होती है। / Each term is halved, so \(a_n=48\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In a geometric sequence, the exponent starts with (n-1).
दिया है कि \(a_n=n^2+14\)। 183 किस पद का मान है, इसके लिए \(n^2+14=183\) लिखते हैं। अतः \(n^2=169\), इसलिए \(n=13\) (पद संख्या धनात्मक पूर्णांक होती है)। इसलिए 183, 13वाँ पद है। 12वाँ पद लेने पर \(12^2+14=158\) मिलता है, जो 183 नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए \(a_n\) को उस पद के मान के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=n^2+14\), set the term equal to 183: \(n^2+14=183\). Thus, \(n^2=169\), so \(n=13\), since a term number must be a positive integer. Therefore, 183 is the 13th term. For example, the 12th term is \(12^2+14=158\), not 183. Exam tip: To find the position of a given term, equate \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
विषम (n) पर पद ऋणात्मक और सम (n) पर धनात्मक है, इसलिए (a_n=4(-1)^n n)। वैकल्पिक चिन्ह में पहले (n=1) पर जांचें। / For odd (n), terms are negative and for even (n), terms are positive, so (a_n=4(-1)^n n). In alternating signs, test first at (n=1).
\(n=6\) रखने पर \(a_6=9\cdot2^{6-1}+4=9\cdot2^5+4=9\cdot32+4=292\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 292 है। \(290\) तब मिल सकता है जब अंतिम \(+4\) को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: घातांक वाले प्रश्नों में पहले \(n-1\) ज्ञात करें, फिर घात का मान निकालें। / Substituting \(n=6\), \(a_6=9\cdot2^{6-1}+4=9\cdot2^5+4=9\cdot32+4=292\). Hence, the correct answer is 292. The value \(290\) can result from an incorrect addition of the final \(+4\). Exam tip: in exponential expressions, calculate \(n-1\) first and then evaluate the power.
दूसरे अंतर (8) हैं और \(4n^2+8n-1\) सभी शुरुआती पद देता है। द्विघात श्रेणी में विकल्पों को पहले तीन पदों पर जांचें। / The second differences are (8), and \(4n^2+8n-1\) gives all starting terms. In a quadratic sequence, test options on the first three terms.
\(n=12\) रखने पर \(a_{12}=\frac{12(12+7)}{4}=\frac{12\times19}{4}=3\times19=57\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 57 है। 60 जैसा उत्तर प्रायः \(12+7\) का गलत मान लेने या गुणा-भाग में त्रुटि से मिलता है। परीक्षा में पहले 12 और 4 को काटकर सरल करें, फिर 19 से गुणा करें। / Putting \(n=12\), we get \(a_{12}=\frac{12(12+7)}{4}=\frac{12\times19}{4}=3\times19=57\). Hence, 57 is correct. A value such as 60 can result from incorrectly evaluating \(12+7\) or making an error in multiplication or division. Exam tip: simplify 12 and 4 first, then multiply by 19.
क्रमागत अंतरों को देखें: \(12-2=10\), \(30-12=18\), \(56-30=26\), \(90-56=34\)। इन अंतरों का अंतर हर बार \(8\) है, इसलिए पद एक द्विघात व्यंजक होगा जिसका \(n^2\) का गुणांक \(4\) है। \(a_n=4n^2-2n\) रखने पर \(a_1=2\), \(a_2=12\), \(a_3=30\) मिलते हैं। विकल्प B में दूसरा पद \(10\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी सूत्र को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The consecutive differences are \(12-2=10\), \(30-12=18\), \(56-30=26\), and \(90-56=34\). Their second differences are constantly \(8\), so the sequence is quadratic with coefficient \(4\) for \(n^2\). Using \(a_n=4n^2-2n\) gives \(a_1=2\), \(a_2=12\), and \(a_3=30\). Option B gives \(10\) as the second term, so it is not correct. Exam tip: verify a proposed nth-term formula using at least the first three terms.
(9d=108) से (d=12), इसलिए \(a_{26}=181+9\cdot12=289\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=108), (d=12), so \(a_{26}=181+9\cdot12=289\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
हर बार गुणन (3) हो रहा है इसलिए \(a_n=8\cdot3^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रहता है। / Each term is multiplied by (3), so \(a_n=8\cdot3^{n-1}\). In a geometric sequence, the first term stays separate.
सूचकांक (6) बढ़ा है और सामान्य अंतर (10) है इसलिए अंतर (60) होगा। रैखिक नियम में (n) का गुणांक सामान्य अंतर देता है। / The index increases by (6) and the common difference is (10), so the difference is (60). In a linear rule, the coefficient of (n) gives the common difference.
पद \(4^3,5^3,6^3,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+3)3)। घन श्रेणी में शुरुआती आधार देखें। / The terms are \(4^3,5^3,6^3,\ldots\), so (a_n=(n+3)3). In cube sequences, observe the starting base.
दिया है कि a_n=28-5n। अतः a_7=28-5(7)=28-35=-7 तथा a_{12}=28-5(12)=28-60=-32। इसलिए a_7+a_{12}=-7+(-32)=-39। विकल्प A में -37 प्राप्त हो सकता है यदि किसी पद के लिए n का गलत मान रखा जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में n का मान अलग-अलग रखने के बाद ही उनका योग करें। / Given a_n=28-5n, a_7=28-5(7)=28-35=-7 and a_{12}=28-5(12)=28-60=-32. Therefore, a_7+a_{12}=-7+(-32)=-39. Option A can result from substituting an incorrect value of n in one of the terms. Exam tip: evaluate each required term separately before adding them.
पद \(7\cdot1^2,7\cdot2^2,7\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=7n^2\)। वर्ग पैटर्न के गुणांक को पहचानें। / The terms are \(7\cdot1^2,7\cdot2^2,7\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=7n^2\). Identify the coefficient of the square pattern.
दिए गए सूत्र में मान रखने पर, \(a_9=3(9)^2+5(9)-8=280\) तथा \(a_6=3(6)^2+5(6)-8=130\) मिलता है। अतः \(a_9-a_6=280-130=150\)। विकल्प 120 गलत है, क्योंकि उसमें \(a_6\) का मान 160 लिया गया है। परीक्षा टिप: अंतर निकालने से पहले दोनों पदों में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर सावधानी से गणना करें। / Substituting the values in the given formula gives \(a_9=3(9)^2+5(9)-8=280\) and \(a_6=3(6)^2+5(6)-8=130\). Therefore, \(a_9-a_6=280-130=150\). Option 120 is incorrect because it uses 160 as the value of \(a_6\). Exam tip: Evaluate both terms separately before finding their difference.
हर पद में \(\frac{13}{7}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{13n}{7}\)। समान हर वाले भिन्नों में अंश का पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{13}{7}\), so \(a_n=\frac{13n}{7}\). In fractions with a common denominator, observe the numerator pattern.
दूसरे अंतर (4) हैं और \(2n^2+10n+6\) शुरुआती पद देता है। द्विघात नियम में पहले तीन पदों से पुष्टि करें। / The second differences are (4), and \(2n^2+10n+6\) gives the starting terms. Confirm a quadratic rule using the first three terms.
पहला पद (44) और अंतर (-7) है, इसलिए (a_n=44+(n-1)(-7)=51-7n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (44) and the difference is (-7), so (a_n=44+(n-1)(-7)=51-7n). Use a negative difference in a decreasing sequence.
दिया है \(a_n=8n^2-7n+4\)। \(n\) के स्थान पर \(n+1\) रखने पर \(a_{n+1}=8(n+1)^2-7(n+1)+4=8n^2+9n+5\) मिलता है। अतः \(a_{n+1}-a_n=(8n^2+9n+5)-(8n^2-7n+4)=16n+1\)। विकल्प \(16n-7\) में \((n+1)^2\) को फैलाते समय मिलने वाला \(16n\) पद सही ढंग से नहीं लिया गया है। परीक्षा टिप: पहले \(a_{n+1}\) अलग से लिखें, फिर \(a_n\) घटाएँ। / Given \(a_n=8n^2-7n+4\), substitute \(n+1\) for \(n\): \(a_{n+1}=8(n+1)^2-7(n+1)+4=8n^2+9n+5\). Therefore, \(a_{n+1}-a_n=(8n^2+9n+5)-(8n^2-7n+4)=16n+1\). The option \(16n-7\) results from incorrectly handling the linear term produced when expanding \((n+1)^2\). Exam tip: find \(a_{n+1}\) completely before subtracting \(a_n\).
