(x=3) पर हर (0) हो जाता है, इसलिए भिन्न अपरिभाषित है। परीक्षा में हर को शून्य करने वाले मान हमेशा हटाएं। / At (x=3), the denominator becomes (0), so the fraction is undefined. In exams always exclude values that make the denominator zero.
भिन्न धनात्मक है जब अंश और हर समान चिह्न के हों। परीक्षा में (x=-1) हर को शून्य करता है, इसलिए शामिल नहीं होगा। / The fraction is positive when numerator and denominator have the same sign. In exams (x=-1) makes the denominator zero, so it is excluded.
ऊपर खुलने वाले गुणनफल में (1) और (4) के बीच मान \(\le0\) हैं। परीक्षा में \(\le\) होने से दोनों शून्य भी शामिल होंगे। / For the upward product, values between (1) and (4) are \(\le0\\). In exams \(\le\\) includes both zeros.
गुणनफल धनात्मक तब है जब दोनों गुणनखंड समान चिह्न के हों। परीक्षा में शून्य बिंदु (-3) और (2) को खुला रखें। / The product is positive when both factors have the same sign. In exams keep the zero points (-3) and (2) open.
\(x^2\le0\) और \(x^2\ge0\) दोनों तभी संभव हैं जब (x=0)। परीक्षा में बराबरी का मामला अलग जांचें। / Both \(x^2\le0\) and \(x^2\ge0\) are possible only when (x=0). In exams check the equality case separately.
वास्तविक (x) के लिए \(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा में असंभव असमानता के लिए \(\varnothing\) लिखें। / For real (x), \(x^2\) is never negative. In exams write \(\varnothing\) for an impossible inequality.
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए \(x^2\ge0\) सदैव सत्य है। परीक्षा में वर्ग का मूल गुण याद रखें। / The square of a real number is never negative, so \(x^2\ge0\) is always true. In exams remember the basic property of squares.
A. \(x\le -3\) या \(x\ge3\)/\(x\le -3\) or \(x\ge3\)
Explanation
Simple Explanation
\(|x|\ge3\) में (0) से दूरी कम से कम (3) है। परीक्षा में बड़ा वाला निरपेक्ष मान दो बाहरी भाग देता है। / In \(|x|\ge3\), the distance from (0) is at least (3). In exams a greater-than absolute value gives two outer parts.
(x+2<x+1) से (2<1) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा में (x) कटने के बाद बचे कथन को जांचें। / From (x+2<x+1), we get (2<1), which is false. In exams check the remaining statement after cancelling (x).
ऋणात्मक (r) से गुणा करने पर (>) चिह्न (<) में बदलता है। परीक्षा में (r<0) वाले विकल्पों में उलटाव देखें। / Multiplying by negative (r) changes (>) into (<). In exams watch for reversal in options containing (r<0).
A. (p+r<q+r) हर वास्तविक (r) के लिए/(p+r<q+r) for every real (r)
Explanation
Simple Explanation
समान वास्तविक संख्या जोड़ने से असमानता की दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में गुणा या भाग में संख्या का चिह्न जरूरी होता है। / Adding the same real number does not change the direction of inequality. In exams the sign of the multiplier or divisor matters.
\(-3x\le -6\) और (-3) से भाग देने पर \(x\ge2\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटें। / \(-3x\le -6\), and dividing by (-3) gives \(x\ge2\). In exams reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
दोनों शर्तें साथ चाहिए, इसलिए (2<x<8)। परीक्षा में और का अर्थ प्रायः प्रतिच्छेद \(\cap\) होता है। / Both conditions are required together, so (2<x<8). In exams and usually means intersection \(\cap\).
(-3) शामिल नहीं है और (2) शामिल है। परीक्षा में खुले और बंद छोर अलग-अलग जांचें। / The value (-3) is not included and (2) is included. In exams check open and closed endpoints separately.
\(2x\le8\) से \(x\le4\), और \(x\in\mathbb{N}\) लेने पर ({1,2,3,4}) मिलता है। परीक्षा में डोमेन अवश्य देखें। / From \(2x\le8\), \(x\le4\), and with \(x\in\mathbb{N}\) we get ({1,2,3,4}). In exams always check the domain.
दोनों पक्षों को −4 से गुणा करने पर, ऋणात्मक संख्या से गुणा होने के कारण असमानता का चिह्न उलट जाता है: \(2-x>-12\)। अब दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(-x>-14\), और \(-1\) से गुणा करने पर फिर चिह्न उलटकर \(x<14\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Multiplying both sides by \(-4\) reverses the inequality sign because \(-4\) is negative: \(2-x>-12\). Subtracting 2 gives \(-x>-14\), and multiplying by \(-1\) reverses the sign again, yielding \(x<14\). Therefore, option A is correct; the closest distractor \(x>14\) ignores the sign reversal. Exam tip: reverse an inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
(3) धनात्मक है, इसलिए चिह्न नहीं बदलेगा और \(x-1\ge6\) से \(x\ge7\)। परीक्षा में हर का चिह्न पहले देखें। / Since (3) is positive, the sign does not change, and \(x-1\ge6\) gives \(x\ge7\). In exams first check the sign of the denominator.
\(2x+3\le x-4\) से \(x\le -7\) मिलता है। परीक्षा में (x) पदों को एक तरफ और स्थिर पदों को दूसरी तरफ रखें। / From \(2x+3\le x-4\), we get \(x\le -7\). In exams keep (x)-terms on one side and constants on the other side.
(x<-1) में (-1) शामिल नहीं और \(x\ge5\) में (5) शामिल है। परीक्षा में या का अर्थ प्रायः \(\cup\) होता है। / In (x<-1), (-1) is not included, and in \(x\ge5\), (5) is included. In exams or usually means \(\cup\).
\(x\ge 4\) में (4) शामिल है, इसलिए बायाँ ब्रैकेट बंद होगा। परीक्षा में \(\infty\) के साथ हमेशा खुला ब्रैकेट आता है। / In \(x\ge 4\), (4) is included, so the left bracket is closed. In exams infinity always uses an open bracket.
सभी भागों से (1) घटाने पर \(-3\le 3x<9\), इसलिए \(-1\le x<3\)। परीक्षा में संयुक्त असमानता में तीनों भाग साथ रखें। / Subtracting (1) from all parts gives \(-3\le 3x<9\), so \(-1\le x<3\). In exams keep all three parts together in compound inequalities.
A. (x>-2) पर खुला वृत्त/open circle at (x=-2) with right shading
Explanation
Simple Explanation
(5-2x<9) से (-2x<4), इसलिए (x>-2)। परीक्षा में (>) के लिए दाईं ओर छाया और खुला वृत्त होता है। / From (5-2x<9), (-2x<4), so (x>-2). In exams (>) means right shading and an open circle.
(2x<6) से (x<3), इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक (2) है। परीक्षा में खुले चिह्न (<) में सीमा मान शामिल नहीं होता। / From (2x<6), (x<3), so the greatest integer is (2). In exams a strict sign (<) does not include the boundary value.
\(-4x\ge 12\) और (-4) से भाग देने पर \(x\le -3\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग से चिह्न उलटना न भूलें। / We get \(-4x\ge 12\), and dividing by (-4) gives \(x\le -3\). In exams do not forget to reverse the sign on negative division.
(3x+2>11) से (3x>9), इसलिए (x>3)। परीक्षा में अंतिम भाग धनात्मक हो तो चिह्न वही रहता है। / From (3x+2>11), (3x>9), so (x>3). In exams the sign stays same when the final division is positive.
A. दोनों पक्षों में (4) जोड़ने पर/adding (4) to both sides
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने से असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में चिह्न केवल ऋणात्मक गुणा या भाग में उलटता है। / Adding the same number to both sides does not change the inequality sign. In exams the sign reverses only for multiplication or division by a negative number.
(a>b) को ऋणात्मक (c) से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है। इसलिए (ac<bc) सही है। / Multiplying (a>b) by negative (c) reverses the inequality sign. Therefore (ac<bc) is correct.
धनात्मक (3) से गुणा करने पर \(4x-5\le 3x+6\), इसलिए \(x\le 11\) मिलता है। धनात्मक हर हटाने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (3) gives \(4x-5\le 3x+6\), so \(x\le 11\). Removing a positive denominator does not change the sign.
रैखिक रूप (5-3x) घटता है, इसलिए सिरों का क्रम उलटता है। (x=1) शामिल है इसलिए (2) शामिल है और (x=4) शामिल नहीं है इसलिए (-7) शामिल नहीं है। / The linear expression (5-3x) is decreasing, so the order of endpoints reverses. Since (x=1) is included, (2) is included, and since (x=4) is excluded, (-7) is excluded.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, तथा कारण अभिकथन की सही व्याख्या है/Both the assertion and the reason are true, and the reason is the correct explanation of the assertion
Explanation
Simple Explanation
दिया है कि \(a<b\)। दोनों पक्षों में \(a\) घटाने पर \(b-a>0\) प्राप्त होता है, इसलिए अभिकथन सही है। कारण भी सही है, क्योंकि बड़ी संख्या \(b\) में से छोटी संख्या \(a\) घटाने पर धनात्मक अंतर मिलता है और यही अभिकथन की व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: \(x<y\) से सीधे \(y-x>0\) निष्कर्षित किया जा सकता है। / We are given \(a<b\). Subtracting \(a\) from both sides gives \(b-a>0\), so the assertion is true. The reason is also true: subtracting the smaller number \(a\) from the larger number \(b\) produces a positive difference, which directly explains the assertion. Exam tip: From \(x<y\), immediately infer \(y-x>0\).
