असमानता \(2x+3<x+8\) में दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(x+3<8\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से \(3\) घटाने पर \(x<5\) प्राप्त होता है, इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में असमानता का चिह्न उलट दिया गया है, जबकि ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / For the inequality \(2x+3<x+8\), subtracting \(x\) from both sides gives \(x+3<8\). Subtracting \(3\) from both sides then gives \(x<5\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign; no multiplication or division by a negative number has occurred. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
(7) घटाने पर \(-2x\le -6\), फिर (-2) से भाग देने पर चिह्न पलटकर \(x\ge 3\) होता है। ऋणात्मक गुणांक पर विशेष ध्यान दें। / Subtracting (7) gives \(-2x\le -6\), then division by (-2) reverses the sign to \(x\ge 3\). Be careful with a negative coefficient.
दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(4x<16\) प्राप्त होता है। अब 4 से भाग देने पर \(x<4\) मिलता है, क्योंकि 4 धनात्मक है और असमानता का चिह्न नहीं बदलता। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान दें कि \(x\le4\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा में धनात्मक या ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न के परिवर्तन की जाँच अवश्य करें। / Adding 7 to both sides gives \(4x<16\). Dividing by 4 yields \(x<4\), and the inequality sign remains unchanged because 4 is positive. Therefore, option A is correct. The distractor \(x\le4\) is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. In an exam, always check whether division by a negative number requires reversing the inequality sign.
पहले (2) घटाएं और फिर (5) से भाग दें, तब \(x\ge 3\)। बराबरी वाला चिह्न अंत तक बनाए रखें। / First subtract (2), then divide by (5), giving \(x\ge 3\). Keep the equality part of the sign till the end.
दोनों पक्षों में (4) जोड़ने पर \(x\le 13\) मिलता है। चिह्न नहीं बदलता क्योंकि जोड़ किया गया है। / Adding (4) to both sides gives \(x\le 13\). The sign does not change because addition is used.
दोनों पक्षों से (5) घटाने पर (x>7) मिलता है। परीक्षा में समान संख्या दोनों पक्षों पर लगाएं। / Subtracting (5) from both sides gives (x>7). In exams, apply the same operation on both sides.
सरलीकरण से \(6x-8-5x\ge7\), यानी \(x-8\ge7\) और \(x\ge15\)। परीक्षा में समान पदों को सावधानी से मिलाएं। / Simplifying gives \(6x-8-5x\ge7\), that is \(x-8\ge7\) and \(x\ge15\). In exams combine like terms carefully.
कम से कम नहीं बल्कि कम है लिखा है, इसलिए (p<350) होगा। परीक्षा में less than और at most में अंतर रखें। / It says less than, not at most, so the inequality is (p<350). In exams distinguish less than from at most.
भिन्न ऋणात्मक तब होता है जब अंश और हर विपरीत चिह्न के हों। परीक्षा में (x=-2) हर को शून्य करता है और (x=4) पर मान (0) है, इसलिए दोनों शामिल नहीं हैं। / The fraction is negative when numerator and denominator have opposite signs. In exams (x=-2) makes the denominator zero and (x=4) gives (0), so both are excluded.
धनात्मक (d) से गुणा करने पर असमानता की दिशा वही रहती है। परीक्षा में गुणक का चिह्न पहले पहचानें। / Multiplying by positive (d) keeps the direction of the inequality unchanged. In exams identify the sign of the multiplier first.
\(-3x-6\ge2x-1\) से \(-5x\ge5\), इसलिए \(x\le-1\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटें। / From \(-3x-6\ge2x-1), we get \(-5x\ge5\), so \(x\le-1\). In exams reverse the sign while dividing by a negative coefficient.
धनात्मक (12) से गुणा करने पर (3(2x-5)>4(x+1)), इसलिए (2x>19)। परीक्षा में एलसीएम धनात्मक हो तो चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying by positive (12) gives (3(2x-5)>4(x+1)), so (2x>19). In exams the sign does not change when the LCM is positive.
हल \(-1\le x<\frac{11}{3}\) है, इसलिए पूर्णांक ({-1,0,1,2,3}) मिलते हैं। परीक्षा में अंतिम उत्तर डोमेन के अनुसार लिखें। / The solution is \(-1\le x<\frac{11}{3}\), so the integers are ({-1,0,1,2,3}). In exams write the final answer according to the domain.
धनात्मक (3) से गुणा करने पर \(-12<x+2\le6\), इसलिए \(-14<x\le4\)। परीक्षा में खुले और बंद चिह्न अलग-अलग बनाए रखें। / Multiplying by positive (3) gives \(-12<x+2\le6\), so \(-14<x\le4\). In exams preserve open and closed signs separately.
कोष्ठक खोलने पर (10x-5<3x+16), इसलिए (7x<21) और (x<3)। परीक्षा में पहले कोष्ठक सही खोलें। / Expanding gives (10x-5<3x+16), so (7x<21) and (x<3). In exams expand brackets carefully first.
\(3x-6\le2x+10) से (x\le16\)। परीक्षा में पहले कोष्ठक खोलें और फिर समान पदों को मिलाएं। / From \(3x-6\le2x+10\), we get \(x\le16\). In exams first expand brackets and then combine like terms.
(-2) से भाग देने पर दोनों चिह्न उलटते हैं और \(3>x\ge-5\), यानी \(-5\le x<3\)। परीक्षा में संयुक्त असमानता को क्रम में फिर से लिखें। / Dividing by (-2) reverses both signs and gives \(3>x\ge-5\), that is \(-5\le x<3\). In exams rewrite compound inequalities in increasing order.
सभी भागों को धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(-2\le x<8\)। परीक्षा में धनात्मक गुणा से चिह्न नहीं बदलते। / Multiplying all parts by positive (2) gives \(-2\le x<8\). In exams positive multiplication does not change signs.
\(x+3\ge2x-1\) से \(4\ge x\), अर्थात \(x\le4\)। परीक्षा में \(4\ge x\) को \(x\le4\) में बदलते समय दिशा समझें। / From \(x+3\ge2x-1\), \(4\ge x\), that is \(x\le4\). In exams understand the direction when rewriting \(4\ge x\) as \(x\le4\).
\(5-4x\ge-7\) से \(x\le3\), इसलिए (x=4) हल में नहीं है। परीक्षा में नहीं संतुष्ट करता शब्द पर ध्यान दें। / From \(5-4x\ge-7\), \(x\le3\), so (x=4) is not in the solution. In exams notice the phrase does not satisfy.
असमानता का हल (x>5) है, इसलिए (x=6) संतुष्ट करता है। परीक्षा में सीमा (5) खुद शामिल नहीं है। / The solution is (x>5), so (x=6) satisfies it. In exams the boundary (5) itself is not included.
असमानता \(-3x+5>14\) में दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(-3x>9\) मिलता है। अब \(-3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x<-3\)। विकल्प B में चिह्न न उलटने की सामान्य गलती है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिह्न अवश्य बदलें। / From \(-3x+5>14\), subtracting 5 from both sides gives \(-3x>9\). Dividing by \(-3\) reverses the inequality sign, so \(x<-3\). Option B results from the common error of not reversing the sign. Exam tip: reverse an inequality sign whenever you multiply or divide both sides by a negative number.
कम से कम (13) का अर्थ \(2x+5\ge13\), इसलिए \(x\ge4\)। परीक्षा में at least का अर्थ \(\ge\) याद रखें। / At least (13) means \(2x+5\ge13\), so \(x\ge4\). In exams remember that at least means \(\ge\).
तीन गुना का अर्थ (3x) और कम है का अर्थ (<) है। परीक्षा में शब्दों को सीधे बीजगणित में बदलें। / Three times means (3x), and less than means (<). In exams translate words directly into algebra.
अधिकतम (500) का अर्थ है (500) तक अनुमति है। परीक्षा में अधिकतम शब्द सामान्यतः \(\le\) देता है। / Maximum (500) means values up to (500) are allowed. In exams the word maximum usually gives \(\le\).
अधिक या बराबर का गणितीय रूप \(m\ge40\) है। परीक्षा में शब्द बराबर आए तो \(\ge\) या \(\le\) पर ध्यान दें। / Greater than or equal to is written as \(m\ge40\). In exams when the word equal appears, look for \(\ge\) or \(\le\).
तीनों भागों से 5 घटाने पर \(-3<3x<12\) मिलता है। फिर 3 से भाग देने पर \(-1<x<4\) प्राप्त होता है; क्योंकि 3 धनात्मक है, असमानता के चिह्नों की दिशा नहीं बदलती। विकल्प B गलत है, क्योंकि मूल असमानता में दोनों सीमाएँ सख्त हैं, इसलिए बराबरी शामिल नहीं होगी। परीक्षा-टिप: सख्त चिह्न \(<,>\) होने पर सीमा-बिंदु हल में शामिल नहीं किए जाते। / Subtracting 5 from all three parts gives \(-3<3x<12\). Dividing by the positive number 3 yields \(-1<x<4\), without reversing the inequality signs. Option B is incorrect because the original inequality is strict at both ends, so equality is not included. Exam tip: with strict signs \(<\) or \(>\), the boundary values are excluded.
तीनों भागों में (3) जोड़ने पर \(4<2x\le12\), इसलिए \(2<x\le6\)। परीक्षा में हर चरण तीनों भागों पर करें। / Adding (3) to all three parts gives \(4<2x\le12\), so \(2<x\le6\). In exams apply each step to all three parts.
(x) हटाने पर \(-6\ge1\) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा में असत्य स्थिर कथन का अर्थ कोई हल नहीं है। / After cancelling (x), we get \(-6\ge1\), which is false. In exams a false constant statement means no solution.
(x) हटाने पर (2>-5) मिलता है, जो सदैव सत्य है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में सभी वास्तविक संख्याएं उत्तर हो सकती हैं। / After cancelling (x), we get (2>-5), which is always true. In exams such questions may have all real numbers as the answer.
