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2117 questions tagged with linear inequalities.
What is the solution of the inequality \(\frac{3x-2}{2}\ge 5\)?
A. \(x\ge 4\)
(2) से गुणा करने पर \(3x-2\ge 10\), इसलिए \(x\ge 4\)। भिन्न हटाकर सरल रैखिक असमानता बनाएं। / Multiplying by (2) gives \(3x-2\ge 10\), so \(x\ge 4\). Remove the fraction to form a simple linear inequality.
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What is the solution of the inequality \(\frac{x+2}{3}<5\)?
A. (x<13)
(3) से गुणा करने पर (x+2<15), इसलिए (x<13)। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying by (3) gives (x+2<15), so (x<13). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
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What is the solution set of the inequality \(3(x-1)>x+5\)?
A. \(x>4\)
कोष्ठक खोलने पर \(3x-3>x+5\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(2x-3>5\), और 3 जोड़ने पर \(2x>8\) प्राप्त होता है। 2 से भाग देने पर \(x>4\), इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता सख्त है और \(x=4\) को शामिल नहीं करती। परीक्षा टिप: \(>\) या \(<\) होने पर सीमा-बिंदु हल-समुच्चय में शामिल नहीं होता। / Expanding the bracket gives \(3x-3>x+5\). Subtracting \(x\) from both sides and adding 3 gives \(2x>8\). Dividing by 2 yields \(x>4\), so option A is correct. Option C is incorrect because the strict inequality does not include the boundary value \(x=4\). Exam tip: For \(>\) or \(<\), the boundary point is not included in the solution set.
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Find the solution of the inequality \(2(x+3)\le x+10\).
A. \(x\le 4\)
कोशिश करें दोनों ओर को सरल करने की: \(2(x+3)=2x+6\)। इसलिए \(2x+6\le x+10\)। अब दोनों ओर से \(x\) घटाएँ: \(x+6\le 10\)। फिर दोनों ओर से 6 घटाएँ: \(x\le 4\)। अतः सही उत्तर \(x\le 4\) है। निकटवर्ती दोषपूर्ण विकल्प पर टिप्पणी: \(x<4\) (विकल्प C) लगभग सही दिखता है पर उसमें \(4\) को शामिल नहीं किया गया जबकि बराबरी की स्थिति (\(x=4\)) भी समाधान में आती है। परीक्षा-सुझाव: बराबरी वाले चिह्न (\(\le\) या \(\ge\)) में हमेशा बराबरी (समानता) को शामिल करना न भूलें; केवल तब चिह्न उलटता है जब आप असमानता को नकारने के लिए नकारात्मक संख्या से गुणा/भाग करें। / Expand and simplify: \(2(x+3)=2x+6\), so \(2x+6\le x+10\). Subtract \(x\) from both sides to get \(x+6\le 10\). Subtract 6 to obtain \(x\le 4\). Thus the solution is \(x\le 4\). On the nearest distractor: option C \(x<4\) excludes \(x=4\) which is a valid solution because the inequality allows equality. Exam tip: adding or subtracting terms does not change the inequality direction; only multiply/divide by a negative number reverses the inequality sign.
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What is the solution of the inequality (11<2x+1)?
A. (x>5)
(1) घटाने पर (10<2x), इसलिए (5<x) यानी (x>5)। (x) को दाईं ओर से बाईं ओर लिखते समय चिह्न पलटकर पढ़ें। / Subtracting (1) gives (10<2x), so (5<x), meaning (x>5). Read the sign correctly when writing (x) on the left.
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What is the solution of the inequality \(8\ge x+3\)?
A. \(x\le 5\)
(3) घटाने पर \(5\ge x\), अर्थात \(x\le 5\)। रूप बदलते समय चिह्न की दिशा सुरक्षित रखें। / Subtracting (3) gives \(5\ge x\), that is \(x\le 5\). Preserve the sign direction while changing form.
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What is the solution of the inequality \(3x-4>2x+1\)?
A. \(x>5\)
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(x-4>1\) मिलता है। अब दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(x>5\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि धनात्मक संख्या से जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता; चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलता है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(x-4>1\). Adding 4 to both sides yields \(x>5\), so option A is correct. Remember that adding or subtracting a positive number does not reverse the inequality sign; reversal occurs only when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the solution of the inequality (x+1<2x-5)?
A. (x>6)
दोनों पक्षों से (x) घटाने पर (1<x-5), इसलिए (x>6)। अंतिम उत्तर में (x) की दिशा स्पष्ट लिखें। / Subtracting (x) from both sides gives (1<x-5), so (x>6). Write the final direction of (x) clearly.
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What is the solution of the inequality \(4-3x\ge 13\)?
A. \(x\le -3\)
(4) घटाने पर \(-3x\ge 9\), फिर (-3) से भाग देने पर \(x\le -3\)। ऋणात्मक भाग के बाद चिह्न पलटता है। / Subtracting (4) gives \(-3x\ge 9\), then division by (-3) gives \(x\le -3\). The sign reverses after negative division.
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What is the solution of the inequality \(2x+7\le 3\)?
A. \(x\le -2\)
(7) घटाने पर \(2x\le -4\), इसलिए \(x\le -2\)। धनात्मक (2) से भाग देने पर चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting (7) gives \(2x\le -4\), so \(x\le -2\). Dividing by positive (2) does not change the sign.
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What is the solution of the inequality (18>6x)?
A. (x<3)
(6) से भाग देने पर (3>x), अर्थात (x<3)। असमानता को पलटकर लिखते समय दिशा सही रखें। / Dividing by (6) gives (3>x), that is (x<3). Keep the direction correct when rewriting the inequality.
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What is the solution of the inequality \(12\le 3x\)?
A. \(x\ge 4\)
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(4\le x\), अर्थात \(x\ge 4\)। उत्तर को सामान्य रूप में (x) से शुरू करके लिखें। / Dividing both sides by (3) gives \(4\le x\), that is \(x\ge 4\). Write the final answer starting with (x) in standard form.
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Which rule applies while solving \(-5x\le 20\)?
A. (-5) से भाग देने पर चिह्न पलटेगाDividing by (-5) reverses the sign
ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है। यही नियम \(-5x\le 20\) में मुख्य है। / Dividing by a negative number reverses the inequality sign. This is the key rule in \(-5x\le 20\).
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What is the correct first step while solving \(x+9\ge 15\)?
A. दोनों पक्षों से (9) घटाएंSubtract (9) from both sides
(x) को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से (9) घटाते हैं। उल्टा ऑपरेशन चुनना परीक्षा में समय बचाता है। / To isolate (x), subtract (9) from both sides. Choosing the inverse operation saves time in exams.
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Which value does not satisfy the inequality \(5-x\ge 2\)?
A. (x=4)
हल \(x\le 3\) है, इसलिए (x=4) संतुष्ट नहीं करता। नकारात्मक (x) होने पर चिह्न पलटना न भूलें। / The solution is \(x\le 3\), so (x=4) does not satisfy it. Do not forget to reverse the sign with a negative (x).
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Which interval form represents the solution of \(4x-8\le 0\)?
A. \((-\infty,2]\)
\(4x\le 8\) से \(x\le 2\) मिलता है, इसलिए (\(-\infty,2]\)। \(\le\) में सीमा मान शामिल होता है। / From \(4x\le 8\), we get \(x\le 2\), so (\(-\infty,2]\). The sign \(\le\) includes the boundary value.
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Which interval form represents the solution of (3x+1>10)?
A. \((3,\infty)\)
हल (x>3) है, इसलिए अंतराल (\(3,\infty\)) होगा। सख्त असमानता में खुला कोष्ठक लगाएं। / The solution is (x>3), so the interval is (\(3,\infty\)). Use an open bracket for a strict inequality.
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If (x) is an integer and \(2x\ge 10\), what is the least possible (x)?
A. (5)
(2) से भाग देने पर \(x\ge 5\), इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (5) है। बराबरी वाला चिह्न सीमा मान को शामिल करता है। / Dividing by (2) gives \(x\ge 5\), so the least integer is (5). The equality sign includes the boundary value.
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If (x) is an integer and (x+2<6), what is the greatest possible (x)?
A. (3)
असमानता से (x<4) मिलता है, इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक (3) है। सख्त चिह्न पर सीमा मान शामिल नहीं होता। / The inequality gives (x<4), so the greatest integer is (3). A strict sign does not include the boundary value.
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What is the solution of the inequality (5(x-2)<3x+4)?
A. (x<7)
(5x-10<3x+4) से (2x<14), इसलिए (x<7)। चर पदों को एक तरफ और संख्याओं को दूसरी तरफ रखें। / From (5x-10<3x+4), we get (2x<14), so (x<7). Keep variable terms on one side and numbers on the other.
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What is the solution of the inequality \(4(x+1)\ge 2(x+5)\)?
A. \(x\ge 3\)
कोष्ठक खोलने पर \(4x+4\ge 2x+10\), इसलिए \(2x\ge 6\) और \(x\ge 3\)। पहले कोष्ठक सही खोलें। / Opening brackets gives \(4x+4\ge 2x+10\), so \(2x\ge 6\) and \(x\ge 3\). Open brackets correctly first.
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What is the solution of the inequality (10-x<4)?
A. (x>6)
(10) घटाने पर (-x<-6), फिर (-1) से भाग देने पर (x>6)। (-x) को (x) बनाते समय चिह्न पलटता है। / Subtracting (10) gives (-x<-6), then dividing by (-1) gives (x>6). The sign reverses when changing (-x) to (x).
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What is the solution of the inequality \(2x+5\le x+12\)?
A. \(x\le 7\)
दोनों पक्षों से (x) घटाने पर \(x+5\le 12\), इसलिए \(x\le 7\)। चर को अकेला करना मुख्य कदम है। / Subtracting (x) from both sides gives \(x+5\le 12\), so \(x\le 7\). Isolating the variable is the key step.
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What is the solution of the inequality (9-3x>0)?
A. (x<3)
(9-3x>0) से (-3x>-9), इसलिए (-3) से भाग देने पर (x<3)। ऋणात्मक भाग में चिह्न पलटना जरूरी है। / From (9-3x>0), we get (-3x>-9), so division by (-3) gives (x<3). Reversing the sign is necessary in negative division.
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What is the solution of the inequality \(-\frac{x}{4}<2\)?
A. (x>-8)
दोनों पक्षों को (-4) से गुणा करने पर चिह्न पलटता है और (x>-8) मिलता है। ऋणात्मक से गुणा करते समय चिह्न बदलें। / Multiplying both sides by (-4) reverses the sign and gives (x>-8). Reverse the sign when multiplying by a negative number.
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What is the solution of the inequality \(\frac{2x+1}{5}\le 3\)?
A. \(x\le 7\)
दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर \(2x+1\le 15\) मिलता है। अतः \(2x\le 14\), इसलिए \(x\le 7\)। यहाँ 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न उलटा है और विकल्प C में \(x=7\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा में भिन्न हटाते समय गुणक के धनात्मक या ऋणात्मक होने की जाँच करें। / Multiplying both sides by 5 gives \(2x+1\le 15\). Thus, \(2x\le 14\), so \(x\le 7\). Since 5 is positive, the inequality sign remains unchanged. Option B reverses the sign incorrectly, while option C wrongly excludes \(x=7\). In an exam, check whether the multiplier is positive or negative before deciding whether to reverse the inequality sign.
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What is the solution of the inequality \(\frac{x-1}{4}\ge 2\)?
A. \(x\ge 9\)
दोनों पक्षों को (4) से गुणा करने पर \(x-1\ge 8\), इसलिए \(x\ge 9\)। धनात्मक हर चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides by (4) gives \(x-1\ge 8\), so \(x\ge 9\). A positive denominator does not change the sign.
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What is the solution of the inequality \(2(x-5)\le 8\)?
A. \(x\le 9\)
(2) से भाग देने पर \(x-5\le 4\), इसलिए \(x\le 9\)। धनात्मक गुणक से चिह्न वही रहता है। / Dividing by (2) gives \(x-5\le 4\), so \(x\le 9\). A positive multiplier keeps the sign unchanged.
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What is the solution of the inequality \\(3(x+2)>15\\)?
A. \\(x>3\\)
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से भाग देने पर \\(x+2>5\\) मिलता है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \\(x>3\\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता का चिह्न उलट गया है, जबकि धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: असमानता का चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / Dividing both sides by the positive number 3 gives \\(x+2>5\\). Subtracting 2 from both sides gives \\(x>3\\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign; division by a positive number does not reverse it. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the solution of the inequality \\(6x-1\ge 2x+11\\)?
A. \\(x\ge 3\\)
दोनों पक्षों से \\(2x\\) घटाने पर \\(4x-1\ge 11\\) मिलता है। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \\(4x\ge 12\\), और 4 से भाग देने पर \\(x\ge 3\\) प्राप्त होता है। 4 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में ध्यान रखें कि \\(x=3\\) भी हल में शामिल है; इसलिए \\(x>3\\) गलत है। / Subtracting \\(2x\\) from both sides gives \\(4x-1\ge 11\\). Adding 1 to both sides gives \\(4x\ge 12\\), and dividing by 4 gives \\(x\ge 3\\). Since 4 is positive, the inequality sign does not change. Remember that \\(x=3\\) is also included, so \\(x>3\\) is incorrect.
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