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(a_n=92-6(n-1)=98-6n)। \(a_n<0\) से \(n>\frac{49}{3}\) इसलिए पहला (n=17)। / (a_n=92-6(n-1)=98-6n). From \(a_n<0\), \(n>\frac{49}{3}\), so the first (n=17).
(a_n=230-12(n-1)=242-12n)। \(a_n<0\) से \(n>\frac{121}{6}\), इसलिए पहला (n=21)। / (a_n=230-12(n-1)=242-12n). From \(a_n<0\), \(n>\frac{121}{6}\), so the first (n=21).
(a_n=167-9(n-1)=176-9n)। \(a_n<0\) से \(n>\frac{176}{9}\), इसलिए पहला (n=20)। / (a_n=167-9(n-1)=176-9n). From \(a_n<0\), \(n>\frac{176}{9}\), so the first (n=20).
(a_n=118-7(n-1)=125-7n)। \(a_n<0\) से \(n>\frac{125}{7}\), इसलिए पहला (n=18)। / (a_n=118-7(n-1)=125-7n). From \(a_n<0\), \(n>\frac{125}{7}\), so the first (n=18).
(a_n=105+(n-1)(-7)=112-7n)। \(a_n<0\) से (n>16) इसलिए पहला ऋणात्मक पद (17)वां है। / (a_n=105+(n-1)(-7)=112-7n). From \(a_n<0\), (n>16) so the first negative term is the (17)th.
(a_n=72+(n-1)(-6)=78-6n)। \(a_n<0\) से (n>13) इसलिए पहला ऋणात्मक पद (14)वां है। / (a_n=72+(n-1)(-6)=78-6n). From \(a_n<0\), (n>13) so the first negative term is the (14)th.
(a_n=45+(n-1)(-5)=50-5n)। \(a_n<0\) से (n>10), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (11)वां है। / (a_n=45+(n-1)(-5)=50-5n). From \(a_n<0\), (n>10), so the first negative term is the (11)th.
(3000=15(a+150)) से (a=50) मिलता है। (n)वें पद को पहले (n) पदों का अंतिम पद मानें। / From (3000=15(a+150)), (a=50). Treat the (n)th term as the last term of the first (n) terms.
(1625=\frac{25}{2}(a+113)) से (a=17) मिलता है। (n)वें पद को पहले (n) पदों का अंतिम पद मानें। / From (1625=\frac{25}{2}(a+113)), (a=17). Treat the (n)th term as the last term of the first (n) terms.
(740=10(a+60)) से (a=14) मिलता है। जब (n)वाँ पद दिया हो तो उसे अंतिम पद की तरह इस्तेमाल करें। / From (740=10(a+60)), (a=14). When the (n)th term is given, use it as the last term for the first (n) terms.
(S_{18}=9[-24+17(7)]=855) है। परीक्षा में ऋणात्मक प्रथम पद होने पर भी वही सूत्र लगाएं। / (S_{18}=9[-24+17(7)]=855). Exam tip: use the same formula even when the first term is negative.
(S_{25}=\frac{25}{2}[84+24(-3)]) से योग (150) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह जरूर संभालें। / (S_{25}=\frac{25}{2}[84+24(-3)]), so the sum is (150). Exam tip: handle the negative sign of the common difference carefully.
यहाँ (a=-5), (d=3), (n=30), इसलिए योग (1155) है। ऋणात्मक पहले पद के साथ भी वही सूत्र लागू होता है। / Here (a=-5), (d=3), (n=30), so the sum is (1155). The same formula works even with a negative first term.
C. जब दो वस्तुओं के बीच खाली भाग स्पष्ट रूप बना दे/When empty area between two objects forms a clear figure
Explanation
Simple Explanation
कभी कभी वस्तुओं के बीच का खाली क्षेत्र पहचानने योग्य आकार बनाता है। परीक्षा में negative shape को भी देखें। / Sometimes empty area between objects forms a recognizable shape. Exam tip: observe negative shape too.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=-5\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=-24\) है। इसलिए दोनों ऋणात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=-5\) and the product is \(\frac{c}{a}=-24\). So both are negative.
\(0=\frac{25}{2}[192+24d]\) से (d=-8) मिलता है। परीक्षा में शून्य योग वाले प्रश्नों में कोष्ठक को शून्य रखें। / From \(0=\frac{25}{2}[192+24d]\), (d=-8). Exam tip: in zero-sum questions, set the bracket equal to zero.
अंतिम पद (134) होगा इसलिए \(d=\frac{134-18}{29}=4\)। परीक्षा में औसत को प्रथम और अंतिम पद के औसत से जोड़ें। / The last term is (134), so \(d=\frac{134-18}{29}=4\). Exam tip: connect the average with the average of first and last terms.
(824=8[28+15d]) से (d=5) मिलता है। परीक्षा में ज्ञात (n) के साथ सीधे (d) के लिए हल करें। / From (824=8[28+15d]), (d=5). Exam tip: solve directly for (d) when (n) is known.
अंतिम पद (158) होगा इसलिए \(d=\frac{158-2}{39}=4\)। परीक्षा में औसत को प्रथम और अंतिम पद के औसत से जोड़ें। / The last term is (158), so \(d=\frac{158-2}{39}=4\). Exam tip: connect the average with the average of first and last terms.
(345=5[24+9d]) से (d=5) मिलता है। परीक्षा में ज्ञात (n) के साथ सीधे (d) के लिए हल करें। / From (345=5[24+9d]), (d=5). Exam tip: solve directly for (d) when (n) is known.
मानें \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\) और दो योगों से (a=7), (d=6) मिलते हैं इसलिए \(S_{27}=2295\)। परीक्षा में \(S_n\) को (n) के द्विघात रूप में लिखना उपयोगी है। / Let \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\). The two sums give (a=7), (d=6), so \(S_{27}=2295\); exam tip: write \(S_n\) as a quadratic in (n).
(999=9(13+l)) से (l=98) मिलता है। परीक्षा में (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) सबसे छोटा तरीका है। / From (999=9(13+l)), (l=98). Exam tip: (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) is the shortest method here.
(315=5[36+9d]) से (d=3) मिलता है। परीक्षा में (n) ज्ञात होने पर सूत्र को सीधे (d) के लिए हल करें। / From (315=5[36+9d]), (d=3). Exam tip: when (n) is known, solve the sum formula directly for (d).
(1128=6[2x+11(3x-2)]) से (x=6) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) स्पष्ट लिखें। / From (1128=6[2x+11(3x-2)]), (x=6). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
\(S_{33}=4983\) और \(S_{34}=5287\), इसलिए पहली बार (34) पदों पर योग (5000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{33}=4983\) and \(S_{34}=5287\), so the sum first exceeds (5000) at (34) terms. In such questions, also check the previous sum.
(445=5[2x+9(2x+1)]) से (x=4) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) स्पष्ट लिखें। / From (445=5[2x+9(2x+1)]), (x=4). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
\(S_{25}=2800\) और \(S_{26}=3029\), इसलिए पहली बार (26) पदों पर योग (3000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{25}=2800\) and \(S_{26}=3029\), so the sum first exceeds (3000) at (26) terms. In such questions, also check the previous sum.
(365=5[2x+9(x+2)]) से (x=5) मिलता है। चर वाले प्रश्न में पहले (a) और (d) को साफ लिखें। / From (365=5[2x+9(x+2)]), (x=5). In variable-based questions, write (a) and (d) clearly first.
\(S_{17}=986\) और \(S_{18}=1107\), इसलिए पहली बार (18) पदों पर योग (1000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{17}=986\) and \(S_{18}=1107\), so the sum first exceeds (1000) at (18) terms. In such questions, also check the previous sum.
(441=9[6+17d]) से (d=3) आता है। अज्ञात (d) वाले प्रश्नों में पहले दोनों पक्षों को सरल करें। / From (441=9[6+17d]), (d=3). In questions with unknown (d), simplify both sides first.
(780=10[10+19d]) से (d=4) मिलता है। योग और पहला पद दिए हों तो सार्व अंतर सीधे निकाला जा सकता है। / From (780=10[10+19d]), (d=4). When sum and first term are given, the common difference can be found directly.
(912=\frac{12}{2}(18+l)) से (l=134)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी परीक्षा में आता है। / From (912=\frac{12}{2}(18+l)), (l=134). Using the sum formula in reverse also appears in exams.
शेष योग \(28\times29-11\times12=680\) है। सम संख्याओं के योग के लिए (n(n+1)) लगाएँ। / The remaining sum is \(28\times29-11\times12=680\). Use (n(n+1)) for the sum of even numbers.
शेष योग \(26^2-14^2=480\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का प्रयोग करें। / The remaining sum is \(26^2-14^2=480\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
शेष योग \(24\times25-9\times10=510\) नहीं बल्कि (600-90=510) है, इसलिए दिए विकल्प गलत हैं। प्रश्न आयात से पहले सुधारें। / The remaining sum is \(24\times25-9\times10=510\), not any listed option. This question should be corrected before import.
(203=\frac{7}{2}(5+l)) से (l=53)। योग से अंतिम पद निकालने में (a+l) को अलग करें। / From (203=\frac{7}{2}(5+l)), (l=53). To find the last term from the sum, isolate (a+l).
शेष योग \(18^2-10^2=224\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का उपयोग करें। / The remaining sum is \(18^2-10^2=224\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
(456=\frac{12}{2}(8+l)) से (l=68)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी जरूरी कौशल है। / From (456=\frac{12}{2}(8+l)), (l=68). Using the sum formula in reverse is also an important skill.
छठे से दसवें पदों का योग (145-45=100) है। कुल योग में से पहले भाग का योग घटाएँ। / The sum of the (6)th to (10)th terms is (145-45=100). Subtract the first part from the total sum.
(140=\frac{7}{2}(5+l)) से (l=35)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी सीखें। / From (140=\frac{7}{2}(5+l)), (l=35). Learn to use the sum formula in reverse too.
शर्त से (5+11d=4(5+2d)), इसलिए (d=5) और \(S_{20}=1050\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (5+11d=4(5+2d)), so (d=5) and \(S_{20}=1050\). Convert the term condition into an equation first.
शर्त से (6+8d=2(6+3d)), इसलिए (d=3) और \(S_{25}=1050\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (6+8d=2(6+3d)), so (d=3) and \(S_{25}=1050\). Convert the term condition into an equation first.
शर्त से (4+7d=3(4+2d)), इसलिए (d=8) और \(S_{12}=576\)। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (4+7d=3(4+2d)), so (d=8) and \(S_{12}=576\). Convert the term condition into an equation first.
(x-2+16x+64=(x+8)2), इसलिए दोनों मूल (-8) हैं। दोनों मूल बराबर और ऋणात्मक हैं। / (x-2+16x+64=(x+8)2), so both roots are (-8). Both roots are equal and negative.
समान मूलों के लिए \(p^2-36=0\) से \(p=\pm6\) मिलता है। ऋणात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}<0\), इसलिए (p=6)। / For equal roots, \(p^2-36=0\) gives \(p=\pm6\). For equal negative roots, \(-\frac{p}{2}<0\), so (p=6).
(S_{20}=10[50+19(-2)]=120) है। परीक्षा में ब्रैकेट के अंदर ऋणात्मक भाग को सावधानी से जोड़ें। / (S_{20}=10[50+19(-2)]=120). Exam tip: add the negative part inside the bracket carefully.
यहाँ (d=-13) है और \(S_{35}=2765\) आता है। घटती श्रेढ़ी में सार्व अंतर का ऋणात्मक चिह्न न भूलें। / Here (d=-13), and \(S_{35}=2765\). Do not forget the negative sign of the common difference in a decreasing AP.
\(\frac{41}{2}[2a-440]=0\) से (a=220) मिलता है। शून्य योग में कोष्ठक को शून्य रखकर हल करें। / From \(\frac{41}{2}[2a-440]=0\), (a=220). In a zero-sum question, set the bracket equal to zero.
यहाँ (d=-9) है और सूत्र से \(S_{22}=1441\) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में सार्व अंतर ऋणात्मक लिखें। / Here (d=-9), and the formula gives \(S_{22}=1441\). In a decreasing AP, write the common difference as negative.
\(\frac{31}{2}[2a-270]=0\) से (a=135) मिलता है। शून्य योग में कोष्ठक को शून्य रखकर हल करें। / From \(\frac{31}{2}[2a-270]=0\), (a=135). In a zero-sum question, set the bracket equal to zero.
यहाँ (d=-7) है और सूत्र से \(S_{25}=900\) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में सार्व अंतर ऋणात्मक लिखें। / Here (d=-7), and the formula gives \(S_{25}=900\). In a decreasing AP, write the common difference as negative.
\(\frac{21}{2}[2a-80]=0\) से (a=40) मिलता है। शून्य योग में कोष्ठक को शून्य रखकर हल करें। / From \(\frac{21}{2}[2a-80]=0\), (a=40). In a zero-sum question, set the bracket equal to zero.
यहाँ (a=80), (d=-5), (n=18) है और योग (675) आता है। घटती श्रेढ़ी में (d) का ऋणात्मक चिह्न न भूलें। / Here (a=80), (d=-5), (n=18), and the sum is (675). Do not forget the negative sign of (d) in a decreasing AP.
यहाँ अंतिम पद (-26) है और \(S_{20}=50\) मिलता है। घटती श्रेढ़ी में योग बहुत छोटा भी हो सकता है। / Here the last term is (-26), and \(S_{20}=50\). In a decreasing AP, the sum can become quite small.
A. क्योंकि इसमें स्वदेशी खादी और राष्ट्रीय शिक्षा जैसे रचनात्मक कार्य भी शामिल थे/Because it also included constructive work like swadeshi khadi and national education
Step 1
Concept
आंदोलन ने औपनिवेशिक संस्थाओं का बहिष्कार किया। / The movement boycotted colonial institutions.
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही खादी स्वदेशी और राष्ट्रीय शिक्षा को बढ़ावा दिया। / It also promoted khadi swadeshi and national education.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोध और निर्माण दोनों का आंदोलन था। / Therefore it was a movement of both protest and construction.
A. क्योंकि इसमें स्वदेशी राष्ट्रीय शिक्षा और आत्मनिर्भरता जैसे रचनात्मक पक्ष भी थे/Because it also had constructive aspects like swadeshi national education and self-reliance
Step 1
Concept
आंदोलन में विदेशी संस्थाओं का बहिष्कार था। / The movement included boycott of foreign institutions.
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही खादी स्वदेशी और राष्ट्रीय शिक्षा को बढ़ावा दिया गया। / At the same time khadi swadeshi and national education were promoted.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोध और निर्माण दोनों का कार्यक्रम था। / So it was both a programme of protest and construction.
(1788=12(2x+115)) से (x=17) मिलता है। परीक्षा में चर वाले प्रथम पद को सीधे सूत्र में रखें। / From (1788=12(2x+115)), (x=17). Exam tip: put the variable first term directly into the formula.
समीकरण से (4n+26=6n+6) मिलता है इसलिए (n=10)। परीक्षा में दोनों योगों में सामान्य \(\frac{n}{2}\) को सरल करें। / The equation gives (4n+26=6n+6), so (n=10). Exam tip: simplify the common \(\frac{n}{2}\) in both sums.
(999=9[2a+85]) से (a=13) मिलता है। परीक्षा में पहले दोनों ओर को (n/2) से भाग दें। / From (999=9[2a+85]), (a=13). Exam tip: first divide both sides by (n/2).
\(S_{24}=1476\) और \(S_{25}=1600\) है इसलिए पहली बार (n=25) पर योग (1500) से अधिक होगा। परीक्षा में सीमा वाले प्रश्नों में पास के पूर्णांक जांचें। / \(S_{24}=1476\) and \(S_{25}=1600\), so the sum first exceeds (1500) at (n=25). Exam tip: check nearby integers in boundary questions.
(S_{24}=\frac{24}{2}[144+23(-4)]=624) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह सावधानी से रखें। / (S_{24}=\frac{24}{2}[144+23(-4)]=624). Exam tip: handle the negative common difference carefully.
(S_{28}=\frac{28}{2}[30+27(6)]=2688) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / (S_{28}=\frac{28}{2}[30+27(6)]=2688). Exam tip: simplify the bracket first.
(777=7(a+96)) से (a=15) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद और योग से प्रथम पद निकालें। / From (777=7(a+96)), (a=15). Exam tip: use the last term and sum to find the first term.
अंतिम पद (25+19(-2)=-13) है इसलिए औसत \(\frac{25-13}{2}=6\) है। परीक्षा में औसत प्रथम और अंतिम पद का औसत होता है। / The last term is (25+19(-2)=-13), so the average is \(\frac{25-13}{2}=6\). Exam tip: the average is the average of first and last terms.
(336=6(a+51)) से (a=5) मिलता है। परीक्षा में अंतिम पद और योग से प्रथम पद तुरंत निकलता है। / From (336=6(a+51)), (a=5). Exam tip: use last term and sum to get the first term quickly.
(S_{22}=\frac{22}{2}[26+21(7)]=1903) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / (S_{22}=\frac{22}{2}[26+21(7)]=1903). Exam tip: simplify the bracket first.
(S_{15}=\frac{15}{2}[130+14(-5)]=450) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह सावधानी से रखें। / (S_{15}=\frac{15}{2}[130+14(-5)]=450). Exam tip: handle the negative common difference carefully.
(S_{30}=\frac{30}{2}[18+29(4)]=2010) मिलता है। परीक्षा में कोष्ठक को पहले सरल करें। / (S_{30}=\frac{30}{2}[18+29(4)]=2010). Exam tip: simplify the bracket first.
\(a_1=S_1=9\) और \(a_2=S_2-S_1=13\) इसलिए (d=4) और (a+d=13)। परीक्षा में \(S_1\) और \(S_2-S_1\) से शुरुआत करें। / \(a_1=S_1=9\) and \(a_2=S_2-S_1=13\), so (d=4) and (a+d=13). Exam tip: start with \(S_1\) and \(S_2-S_1\).
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से (516=6(a+75)) इसलिए (a=11)। परीक्षा में अंतिम पद दिया हो तो (a+l) वाला सूत्र तेज होता है। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), (516=6(a+75)), so (a=11). Exam tip: when the last term is given, use the (a+l) form.
दिए गए सूत्र में (n=15) रखने पर (S_{15}=3(15)2+2(15)=705)। परीक्षा में दिए गए \(S_n\) में सीधे (n) रखें। / Substituting (n=15) gives (S_{15}=3(15)2+2(15)=705). Exam tip: when \(S_n\) is given directly, substitute (n) first.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) लगाने पर (n=24) मिलता है। परीक्षा में पहले समीकरण को सरल वर्ग समीकरण में बदलें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) gives (n=24). Exam tip: first reduce the equation to a simple quadratic.
\(S_{42}=9975\) और \(S_{43}=10449\), इसलिए पहली बार (43) पदों पर योग (10000) से अधिक है। पिछले योग की जाँच जरूर करें। / \(S_{42}=9975\) and \(S_{43}=10449\), so the sum first exceeds (10000) at (43) terms. Always check the previous sum.
शर्त से (6+13d=3(6+3d)), इसलिए (d=3) और \(S_{30}=1485\) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें। / The condition gives (6+13d=3(6+3d)), so (d=3) and \(S_{30}=1485\). Convert the term condition into an equation first.
\(7350=\frac{n}{2}\times420\) से (n=35) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / From \(7350=\frac{n}{2}\times420\), (n=35). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(4290=13[2a+275]) से \(a=\frac{55}{2}\) मिलता है। अज्ञात पहले पद वाले प्रश्नों में कोष्ठक को पहले सरल करें। / From (4290=13[2a+275]), \(a=\frac{55}{2}\). In unknown-first-term questions, simplify the bracket first.
शर्तों से (a=8) और (d=7) मिलते हैं, इसलिए \(S_{16}=968\) है। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=8) and (d=7), so \(S_{16}=968\). Convert the given term and sum into two equations.
\(5780=\frac{n}{2}\times340\) से (n=34) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / From \(5780=\frac{n}{2}\times340\), (n=34). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(2450=10[2a+171]) से (a=37) मिलता है। अज्ञात पहले पद के लिए समीकरण को साफ-साफ सरल करें। / From (2450=10[2a+171]), (a=37). For an unknown first term, simplify the equation clearly.
शर्तों से (a=18) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{14}=707\) है। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=18) and (d=5), so \(S_{14}=707\). Convert the given term and sum into two equations.
\(4160=\frac{n}{2}\times260\) से (n=32) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / From \(4160=\frac{n}{2}\times260\), (n=32). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(1512=9[2a+102]) से (a=33) मिलता है। अज्ञात पहले पद के लिए समीकरण को साफ-साफ सरल करें। / From (1512=9[2a+102]), (a=33). For an unknown first term, simplify the equation clearly.
शर्तों से (a=6) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{12}=402\)। दिए गए पद और योग को दो समीकरणों में बदलें। / The conditions give (a=6) and (d=5), so \(S_{12}=402\). Convert the given term and sum into two equations.
\(1800=\frac{n}{2}\times150\) से (n=24) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / From \(1800=\frac{n}{2}\times150\), (n=24). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
(1176=8[2a+105]) से (a=21) मिलता है। अज्ञात पहले पद के लिए समीकरण को धीरे-धीरे सरल करें। / From (1176=8[2a+105]), (a=21). For an unknown first term, simplify the equation step by step.
(S_{19}=\frac{19}{2}(14+104)=1121)। पहला और अंतिम पद दिए हों तो (d) निकालना जरूरी नहीं है। / (S_{19}=\frac{19}{2}(14+104)=1121). When first and last terms are given, finding (d) is not necessary.
यहाँ (a=1), (d=3), (n=30), इसलिए \(S_{30}=1335\)। छोटे पहले पद के कारण भी योग बड़ा हो सकता है। / Here (a=1), (d=3), (n=30), so \(S_{30}=1335\). Even with a small first term, the sum can be large.
सूत्र में (a=15), (d=4), (n=18) रखने पर \(S_{18}=882\) मिलता है। पहले तीन पदों से (d) जरूर जाँचें। / Putting (a=15), (d=4), (n=18) in the formula gives \(S_{18}=882\). Always check (d) from the first three terms.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से योग (350) आता है। जब अंतिम पद दिया हो तो यह सूत्र जल्दी काम करता है। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), the sum is (350). When the last term is given, this formula is faster.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) लगाने पर योग (1010) आता है। परीक्षा में (n-1) को ध्यान से रखें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]), the sum is (1010). In exams, handle (n-1) carefully.
सोलहवाँ पद (-5) है, इसलिए (S_{16}=\frac{16}{2}(25-5)=160)। ऋणात्मक अंतर में अंतिम पद घटता है। / The sixteenth term is (-5), so (S_{16}=\frac{16}{2}(25-5)=160). With a negative difference, the last term decreases.
(310=\frac{10}{2}(a+49)) से (a=13)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी परीक्षा में आता है। / From (310=\frac{10}{2}(a+49)), (a=13). Using the sum formula in reverse also appears in exams.
औसत \(=\frac{198}{9}=22\)। योग को पदों की संख्या से भाग देने पर औसत मिलता है। / Average \(=\frac{198}{9}=22\). Dividing the sum by the number of terms gives the average.
औसत \(=\frac{126}{6}=21\)। योग और पदों की संख्या से औसत तुरंत मिल जाता है। / Average \(=\frac{126}{6}=21\). The average is found directly from the sum and number of terms.
