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ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। \(-17=-17.0\) और \(-17.0>-17.8\), इसलिए \(-17\) बड़ा है। \(-17.08\), \(-17\) के निकट है, पर वह भी \(-17\) से छोटा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय उन्हें समान दशमलव स्थानों तक लिखें। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. Since \(-17=-17.0\) and \(-17.0>-17.8\), \(-17\) is greater. Although \(-17.08\) is close to \(-17\), it is still smaller than \(-17\). Exam tip: Write negative decimals to equal decimal places before comparing them.
C. परिमेय और अपरिमेय, दोनों प्रकार की संख्याएँ होती हैं/Both rational and irrational numbers lie between them.
Explanation
Simple Explanation
दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, इसलिए C सही है। ‘केवल परिमेय’ अधूरा है। परीक्षा में ‘बीच’ को खुला अंतराल मानें। / Infinitely many rational and irrational numbers lie between two distinct rational numbers, so C is correct. “Only rationals” is incomplete. Exam tip: treat “between” as an open interval.
-0.125, -0.12 से छोटा है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या संख्या रेखा पर अधिक बाईं ओर होती है, वह छोटी होती है। -0.125 को -0.120 लिखने पर तुलना स्पष्ट होती है: -0.125 < -0.120। इसलिए विकल्प B सही है। -0.12 बड़ा है, क्योंकि वह शून्य के अधिक निकट है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थानों की संख्या समान कर लें। / -0.125 is smaller than -0.12 because, among negative numbers, the number farther to the left on the number line is smaller. Write -0.12 as -0.120: -0.125 < -0.120. Hence, option B is correct. -0.12 is larger because it is closer to zero. Exam tip: Add zeros at the end of decimals, when needed, to make the number of decimal places equal before comparing.
\(-15.0\) में दशमलव के बाद का 0 संख्या का मान नहीं बदलता है। इसलिए \(-15.0=-15\) और दोनों संख्या रेखा पर एक ही बिंदु को दर्शाते हैं। \(-15\) या \(-15.0\) को बड़ा मानना गलत है, क्योंकि वे समान हैं। परीक्षा टिप: किसी संख्या के अंत में लगे दशमलव शून्य उसके मान को नहीं बदलते। / The zero after the decimal does not change the value of \(-15.0\). Thus, \(-15.0=-15\), and both represent the same point on the number line. Choosing either \(-15\) or \(-15.0\) as greater is incorrect because they are equal. Exam tip: Zeros written at the end of a decimal do not change its value.
B. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers lie between them.
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच का अंतराल अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ रखता है, इसलिए B सही है। परीक्षा में इसे संख्या-समुच्चयों का सघनता गुण याद रखें। / The interval between any two distinct real numbers contains infinitely many rational as well as irrational numbers, so B is correct. Exam tip: remember this as the density property of number sets.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-4+9}{2}=\frac{5}{2}=2.5\)। इसलिए सही उत्तर 2.5 है। 3, 2.5 के निकट है, पर वह दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए हमेशा दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-4+9}{2}=\frac{5}{2}=2.5\). Therefore, 2.5 is correct. Although 3 is close to 2.5, it is not equally distant from both numbers. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
A. किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच कम-से-कम एक अपरिमेय संख्या होती है/Between any two distinct rational numbers, there is at least one irrational number.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p<q\) परिमेय हैं, तो \(p+\frac{q-p}{\sqrt{2}}\) उनके बीच की अपरिमेय संख्या है, क्योंकि \(0<\frac{1}{\sqrt{2}}<1\)। अतः A सही है। परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय दोनों का घनत्व याद रखें। / For rational \(p<q\), \(p+\frac{q-p}{\sqrt{2}}\) is irrational and lies between them, since \(0<\frac{1}{\sqrt{2}}<1\). Thus A is correct. Exam tip: remember that both rational and irrational numbers are dense.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-9+4}{2}=\frac{-5}{2}=-2.5\)। इसलिए सही उत्तर \( -2.5 \) है। \( -3 \) निकट है, पर वह दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-9+4}{2}=\frac{-5}{2}=-2.5\). Hence, \( -2.5 \) is correct. Although \( -3 \) is close, it is not at an equal distance from both numbers. Exam tip: add the two numbers first, then divide the sum by 2.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(|7-(-13)|=|20|=20\)। इसलिए सही उत्तर 20 है। 18 प्राप्त करने के लिए ऋण चिह्न को गलत तरीके से संभाला जा सकता है। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय हमेशा बड़े और छोटे मान का अंतर लेकर उसका निरपेक्ष मान लिखें। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(|7-(-13)|=|20|=20\). Therefore, the correct answer is 20. A value such as 18 can result from handling the negative sign incorrectly. Exam tip: always take the absolute value of the difference when finding distance.
सही उत्तर -3.05 है। क्योंकि -3.5 को -3.50 लिखा जा सकता है और -3.05, -3.50 से बड़ा है। संख्या रेखा पर ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। इसलिए -3.05 > -3.5। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करने के लिए आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थानों को समान कर लें। / The correct answer is -3.05. We can write -3.5 as -3.50, and -3.05 is greater than -3.50. On a number line, among negative numbers, the number closer to zero is greater. Therefore, -3.05 > -3.5. Exam tip: Add trailing zeros when needed to make the decimal places equal before comparing decimals.
\(0\), \(-0.001\) से बड़ा है क्योंकि \(-0.001\) एक ऋणात्मक संख्या है और संख्या रेखा पर प्रत्येक ऋणात्मक संख्या शून्य के बाईं ओर होती है। इसलिए शून्य दाईं ओर होने के कारण बड़ा है। ‘दोनों बराबर हैं’ विकल्प गलत है, क्योंकि एक संख्या शून्य है और दूसरी ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर स्थित संख्या हमेशा बड़ी होती है। / \(0\) is greater than \(-0.001\) because \(-0.001\) is a negative number. On a number line, every negative number lies to the left of zero, so zero is greater. The option ‘Both numbers are equal’ is incorrect because one number is zero and the other is negative. Exam tip: On a number line, the number farther to the right is always greater.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी उनका निरपेक्ष अंतर होती है: \(|9-(-4)|=|13|=13\)। इसलिए सही उत्तर 13 इकाई है। 5 केवल \(|-4|+1\) जैसी गलत गणना से आ सकता है, दूरी ज्ञात करने का सही तरीका नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या को घटाते समय उसके चिह्न का विशेष ध्यान रखें। / The distance between two numbers on a number line is their absolute difference: \(|9-(-4)|=|13|=13\). Therefore, the correct distance is 13 units. The value 5 can result from an incorrect calculation such as \(|-4|+1\), which does not represent the distance here. Exam tip: When subtracting a negative number, carefully account for its sign.
C. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers lie between them
Explanation
Simple Explanation
विकल्प C सही है। \(n(b-a)>1\) लेने पर \(a\) और \(b\) के बीच \(m/n\) जैसा परिमेय रखा जा सकता है; अपरिमेय भी अनंत हैं। इसलिए A, B, D गलत हैं। परीक्षा संकेत: सघनता गुण याद रखें। / C is correct. With \(n(b-a)>1\), a rational \(m/n\) can lie between \(a\) and \(b\); infinitely many irrationals lie there too. Thus A, B and D fail. Exam tip: recall the density property.
A. यह 3.5 और 4 के बीच है, क्योंकि \(3.5^2<13<4^2\)।/It lies between 3.5 and 4 because \(3.5^2<13<4^2\).
Explanation
Simple Explanation
\(3.5^2=12.25\) और \(4^2=16\) हैं। अतः \(12.25<13<16\), इसलिए \(\sqrt{13}\), 3.5 और 4 के बीच है। 3 से 3.5 वाला विकल्प गलत है। परीक्षा में पहले सीमाओं के वर्ग जाँचें। / Since \(3.5^2=12.25\) and \(4^2=16\), we get \(12.25<13<16\). Hence \(\sqrt{13}\) lies between 3.5 and 4, not between 3 and 3.5. Exam tip: compare nearby squares.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-8+(-2)}{2}=\frac{-10}{2}=-5\)। इसलिए सही उत्तर \( -5 \) है। \( -4 \), \( -8 \) और \( -2 \) के बीच में तो है, पर दोनों से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय दोनों संख्याओं के चिह्नों सहित जोड़ करें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-8+(-2)}{2}=\frac{-10}{2}=-5\). Therefore, \( -5 \) is correct. Although \( -4 \) lies between \( -8 \) and \( -2 \), it is not equally distant from both numbers. Exam tip: include the signs of negative numbers while adding them for a midpoint.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(\lvert -15-(-5)\rvert=\lvert -10\rvert=10\)। इसलिए सही उत्तर 10 है। 5 केवल दोनों संख्याओं के परिमाणों का अंतर है, उनके वास्तविक स्थानों के बीच की दूरी नहीं। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय उत्तर हमेशा धनात्मक या शून्य होता है। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(\lvert -15-(-5)\rvert=\lvert -10\rvert=10\). Therefore, the correct answer is 10. The value 5 is only the difference of the magnitudes, not the distance between the actual positions. Exam tip: a distance is always non-negative.
\( -6.7 = -6.70 \), क्योंकि दशमलव के दाईं ओर अंत में शून्य लगाने से संख्या का मान नहीं बदलता। अतः दोनों संख्याएँ संख्या रेखा पर एक ही बिंदु दर्शाती हैं; कोई भी बड़ी नहीं है। \( -6.70 \) को अधिक दशमलव अंक होने के कारण छोटा मानना गलत है। परीक्षा टिप: दशमलव के अंत के शून्य हटाकर तुलना करें। / \( -6.7 = -6.70 \) because adding a zero at the end of the decimal part does not change the value of a number. Therefore, both numbers represent the same point on the number line, so neither is greater. It is incorrect to treat \( -6.70 \) as smaller merely because it has more decimal places. Exam tip: Remove trailing zeros before comparing decimals.
\(\sqrt{5}\) अपरिमेय है, क्योंकि \(4<5<9\) और 5 पूर्ण वर्ग नहीं है। इसका दशमलव प्रसार अनंत व अनावर्ती होता है। \(0.125\) समाप्त दशमलव है, इसलिए परिमेय है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग न होने पर उसकी वर्गमूल अपरिमेय होती है। / \(\sqrt{5}\) is irrational because \(4<5<9\) and 5 is not a perfect square. Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating. \(0.125\) terminates, so it is rational. Exam tip: the square root of a non-perfect-square natural number is irrational.
A. हर दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many irrational numbers lie between every two distinct rational numbers.
Explanation
Simple Explanation
यदि परिमेय संख्याएँ \(r<s\) हों, तो \(r+(s-r)\frac{\sqrt2}{n}\), जहाँ \(n\ge2\), उनके बीच एक अपरिमेय संख्या देता है। अलग-अलग \(n\) से अनंत ऐसी संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा टिप: परिमेय और अपरिमेय दोनों हर अंतराल में सघन होते हैं। / For rational \(r<s\), \(r+(s-r)\frac{\sqrt2}{n}\) with \(n\ge2\) lies between them and is irrational. Different values of \(n\) give infinitely many such numbers. Exam tip: every interval contains both rational and irrational numbers.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(\lvert 8-(-1)\rvert=\lvert 9\rvert=9\)। इसलिए सही उत्तर \(9\) है। \(7\) लेने पर ऋणात्मक संख्या को घटाते समय होने वाली गलती होती है। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय उत्तर हमेशा धनात्मक या शून्य होता है। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(\lvert 8-(-1)\rvert=\lvert 9\rvert=9\). Hence, the correct answer is \(9\). Choosing \(7\) usually results from an error while subtracting a negative number. Exam tip: a distance is always non-negative.
A. दोनों 2 और 3 के बीच हैं तथा \(\sqrt{5}\), \(\frac{11}{5}\) के दाईं ओर है।/Both lie between 2 and 3, and \(\sqrt{5}\) lies to the right of \(\frac{11}{5}\).
Explanation
Simple Explanation
\(2^2<5<3^2\), इसलिए \(\sqrt{5}\), 2 और 3 के बीच है। साथ ही \(\left(\frac{11}{5}\right)^2=\frac{121}{25}<5\), अतः \(\frac{11}{5}<\sqrt{5}\)। इसलिए विकल्प B में क्रम उलटा है। परीक्षा-टिप: धनात्मक संख्याओं की तुलना में उनके वर्गों की तुलना करें। / Since \(2^2<5<3^2\), \(\sqrt{5}\) lies between 2 and 3. Also, \(\left(\frac{11}{5}\right)^2=\frac{121}{25}<5\), so \(\frac{11}{5}<\sqrt{5}\). Thus option B reverses their order. Exam tip: for positive numbers, comparing squares is often quicker.
संख्या रेखा पर -2 और 5 के बीच वे पूर्णांक आते हैं जो -2 से बड़े और 5 से छोटे हों: -1, 0, 1, 2, 3, 4। इसलिए 1 सही उत्तर है। -3, -2 के बाईं ओर है, जबकि 5 और 6, 5 से छोटे नहीं हैं। परीक्षा टिप: “के बीच” का अर्थ प्रायः दोनों सिरों को छोड़कर होता है। / On the number line, the integers between -2 and 5 must be greater than -2 and less than 5: -1, 0, 1, 2, 3, and 4. Therefore, 1 is correct. -3 lies to the left of -2, while 5 and 6 are not less than 5. Exam tip: “Between” usually excludes the two endpoints.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(|10-(-10)|=|20|=20\)। इसलिए सही उत्तर 20 है। 10 केवल एक संख्या का 0 से दूरी है, दोनों संख्याओं के बीच की दूरी नहीं। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय हमेशा अंतर का निरपेक्ष मान लें। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(|10-(-10)|=|20|=20\). Therefore, the correct answer is 20. The value 10 is the distance of either number from 0, not the distance between the two numbers. Exam tip: Always take the absolute value of the difference when finding distance.
( -3.001 ), ( -3 ) से अधिक ऋणात्मक है। संख्या रेखा पर अधिक ऋणात्मक संख्या बाईं ओर होती है और इसलिए छोटी होती है। अतः ( -3.001 ) सही उत्तर है; दोनों बराबर नहीं हैं क्योंकि उनके दशमलव मान अलग हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में जिसका परिमाण अधिक होता है, वह संख्या छोटी होती है। / ( -3.001 ) is more negative than ( -3 ). On a number line, the more negative number lies farther to the left and is therefore smaller. Hence, ( -3.001 ) is correct; the two numbers are not equal because their decimal values differ. Exam tip: Among negative numbers, the number with the greater magnitude is the smaller number.
किसी संख्या का परिमाण संख्या रेखा पर उसकी शून्य से दूरी होता है, इसलिए वह ऋणात्मक नहीं होता। \(-12\) शून्य से 12 इकाई दूर है, अतः \(|-12|=12\)। \(-12\) मूल संख्या है, उसका परिमाण नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या के परिमाण का चिह्न हटाकर उसका धनात्मक मान लिखें। / The absolute value of a number is its distance from zero on the number line, so it is never negative. Since \(-12\) is 12 units from zero, \(|-12|=12\). \(-12\) is the original number, not its absolute value. Exam tip: for a negative number, remove the minus sign to find its absolute value.
1.2 को समान दशमलव स्थानों तक 1.20 लिखा जा सकता है। अब 1.20 और 1.02 की तुलना करने पर दशमांश स्थान पर 2, 0 से बड़ा है; इसलिए 1.2 बड़ा है। 1.02 में सैकड़ाांश स्थान पर 2 होने से वह 1.2 के बराबर नहीं हो जाता। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना से पहले उनके दाईं ओर शून्य लगाकर दशमलव स्थान बराबर कर लें। / Write 1.2 as 1.20 so that both decimals have the same number of decimal places. Comparing 1.20 and 1.02, the tenths digit 2 is greater than 0, so 1.2 is greater. The 2 in the hundredths place of 1.02 does not make it equal to 1.2. Exam tip: add zeros to the right of decimals before comparing place values.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-5+5}{2}=\frac{0}{2}=0\)। इसलिए \(-5\) और \(5\) से समान दूरी पर स्थित संख्या \(0\) है। \(5\) और \(-5\) दिए गए अंतिम बिंदु हैं, मध्य बिंदु नहीं हैं। परीक्षा टिप: विपरीत संख्याओं \(a\) और \(-a\) का मध्य बिंदु हमेशा \(0\) होता है। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-5+5}{2}=\frac{0}{2}=0\). Therefore, \(0\) is at an equal distance from \(-5\) and \(5\). The numbers \(5\) and \(-5\) are the given endpoints, not the midpoint. Exam tip: The midpoint of opposite numbers \(a\) and \(-a\) is always \(0\).
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनका निरपेक्ष अंतर होती है: \(\lvert -9-(-1)\rvert=\lvert -8\rvert=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। 9 केवल \(-9\) का निरपेक्ष मान है, दोनों संख्याओं के बीच की दूरी नहीं। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय उत्तर हमेशा धनात्मक होता है। / The distance between two numbers on a number line is their absolute difference: \(\lvert -9-(-1)\rvert=\lvert -8\rvert=8\). Therefore, the correct answer is 8. The number 9 is only the absolute value of \(-9\), not the distance between the two points. Exam tip: a distance is always non-negative.
C. प्रत्येक वास्तविक संख्या का संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु होता है और प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है।/Every real number has a unique point on the number line, and every point represents a real number.
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्या रेखा पर परिमेय और अपरिमेय, दोनों प्रकार की संख्याओं का अपना अलग बिंदु होता है। जैसे, \(1<\sqrt{2}<2\), इसलिए \(\sqrt{2}\) भी रेखा पर स्थित है। परीक्षा में याद रखें: एक बिंदु केवल एक वास्तविक संख्या दर्शाता है। / Both rational and irrational numbers correspond to distinct points on the real number line. For example, \(1<\sqrt{2}<2\), so \(\sqrt{2}\) has a position on the line. Exam tip: one point represents only one real number.
संख्या रेखा पर \(-7\) के दाईं ओर और \(2\) के बाईं ओर आने वाली संख्याएँ इनके बीच होती हैं। \(-2\), \(-7\) से बड़ा और \(2\) से छोटा है, इसलिए सही उत्तर \(-2\) है। \(-8\), \(-7\) से भी छोटा है, इसलिए वह बीच में नहीं है। परीक्षा टिप: ‘के बीच’ के लिए जाँचें कि संख्या पहली संख्या से बड़ी और दूसरी संख्या से छोटी हो। / On the number line, a number between \(-7\) and \(2\) must lie to the right of \(-7\) and to the left of \(2\). Since \(-2\) is greater than \(-7\) and less than \(2\), it is the correct answer. \(-8\) is less than \(-7\), so it is not between them. Exam tip: For “between”, check that the number is greater than the lower number and less than the higher number.
\(-\frac{3}{5}\) को दशमलव में बदलने पर \(-3 \div 5 = -0.6\) मिलता है। इसलिए \(-\frac{3}{5}\) और \(-0.6\) संख्या रेखा पर एक ही बिंदु को दर्शाते हैं; दोनों बराबर हैं। \(-\frac{3}{5}\) या \(-0.6\) को बड़ा कहना गलत होगा, क्योंकि उनके मान समान हैं। परीक्षा टिप: भिन्नों की तुलना दशमलव में बदलकर या समान हर बनाकर करें। / Converting \(-\frac{3}{5}\) into a decimal gives \(-3 \div 5 = -0.6\). Thus, \(-\frac{3}{5}\) and \(-0.6\) represent the same point on the number line, so they are equal. Choosing either number as greater is incorrect because their values are identical. Exam tip: compare fractions by converting them to decimals or by using a common denominator.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-4+7}{2}=\frac{3}{2}=1.5\)। इसलिए सही उत्तर \(1.5\) है। \(2\) सही नहीं है, क्योंकि यह \(-4\) और \(7\) से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु के लिए हमेशा दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-4+7}{2}=\frac{3}{2}=1.5\). Therefore, \(1.5\) is correct. \(2\) is not correct because it is not at an equal distance from \(-4\) and \(7\). Exam tip: To find a midpoint, add the two numbers and divide by 2.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(\left|-16-(-4)\right|=\left|-12\right|=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। \(20\) दोनों संख्याओं के निरपेक्ष मानों को जोड़ने से मिलता है, जो यहाँ दूरी निकालने का सही तरीका नहीं है। परीक्षा टिप: दूरी हमेशा धनात्मक होती है। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(\left|-16-(-4)\right|=\left|-12\right|=12\). Therefore, the correct answer is 12. \(20\) comes from adding the absolute values of the two numbers, which is not the correct method here. Exam tip: distance is always non-negative.
A. उनके बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers lie between them.
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएँ होती हैं। केवल परिमेय होने वाला विकल्प गलत है। परीक्षा टिप: वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं। / Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational as well as irrational numbers. The “only rational” choice is false. Exam tip: remember that real numbers are dense on the number line.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{0+(-5)}{2}=\frac{-5}{2}=-2.5\)। इसलिए सही उत्तर \(-2.5\) है। \(2.5\) धनात्मक दिशा में है, इसलिए वह 0 और −5 के बीच नहीं आता। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{0+(-5)}{2}=\frac{-5}{2}=-2.5\). Therefore, \(-2.5\) is correct. \(2.5\) lies on the positive side, so it is not between 0 and −5. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
एक विद्यार्थी कहता है कि संख्या रेखा पर बिंदु \(P=-\sqrt{15}\), \(-3\) और \(-4\) के बीच है तथा \(-4\) के अधिक निकट है। उसके कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
A. कथन सही है; \(P\), \(-3\) और \(-4\) के बीच है तथा \(-4\) के निकट है।/The statement is correct; \(P\) lies between \(-3\) and \(-4\) and is closer to \(-4\).
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(9<15<16\), इसलिए \(3<\sqrt{15}<4\)। ऋण चिह्न लगाने पर क्रम उलटता है: \(-4<-\sqrt{15}<-3\)। \(\sqrt{15}\approx3.87\), अतः बिंदु \(-4\) के अधिक निकट है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में बड़ा परिमाण बाईं ओर होता है। / Since \(9<15<16\), we get \(3<\sqrt{15}<4\). Multiplying by \(-1\) reverses the order: \(-4<-\sqrt{15}<-3\). Also, \(\sqrt{15}\approx3.87\), so the point is nearer to \(-4\), not \(-3\). Exam tip: greater magnitude means farther left for negative numbers.
A. किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच कम-से-कम एक अपरिमेय संख्या होती है।/Between any two distinct rational numbers, there is at least one irrational number.
Explanation
Simple Explanation
दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमेय संख्याएँ भी होती हैं, इसलिए A सही है। उदाहरणतः \(1^2<2<2^2\) से \(\sqrt{2}\), 1 और 2 के बीच है। परीक्षा में आवर्ती दशमलव को अपरिमेय न मानें। / Irrational numbers occur between any two distinct rational numbers, so A is correct. For example, \(1^2<2<2^2\) shows that \(\sqrt{2}\) lies between 1 and 2. Exam tip: recurring decimals are rational, not irrational.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-6+6}{2}=\frac{0}{2}=0\)। इसलिए \(-6\) और \(6\) से समान दूरी पर स्थित संख्या \(0\) है। \(3\) केवल \(6\) और \(0\) का मध्य बिंदु है, \(-6\) और \(6\) का नहीं। परीक्षा टिप: विपरीत संख्याओं \(a\) और \(-a\) का मध्य बिंदु हमेशा \(0\) होता है। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-6+6}{2}=\frac{0}{2}=0\). Therefore, \(0\) is at an equal distance from \(-6\) and \(6\). The number \(3\) is the midpoint of \(0\) and \(6\), not of \(-6\) and \(6\). Exam tip: The midpoint of opposite numbers \(a\) and \(-a\) is always \(0\).
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(\lvert -11-(-3)\rvert=\lvert -8\rvert=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। 7 केवल एक कम गिनने पर आ सकता है, जबकि दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती। परीक्षा टिप: दूरी निकालते समय अंतर पर हमेशा निरपेक्ष मान लगाएँ। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(\lvert -11-(-3)\rvert=\lvert -8\rvert=8\). Therefore, the correct answer is 8. Choosing 7 may result from undercounting, whereas distance is never negative. Exam tip: always take the absolute value of the difference when finding distance.
( -2.2 ) को ( -2.20 ) लिखा जा सकता है। संख्या रेखा पर ( -2.22 ), ( -2.20 ) के बाईं ओर है, इसलिए वह अधिक ऋणात्मक और छोटी संख्या है। ( -2.2 ) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर यह ( -2.22 ) से बड़ा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना में जो संख्या अधिक ऋणात्मक हो, वह छोटी होती है। / ( -2.2 ) can be written as ( -2.20 ). On the number line, ( -2.22 ) lies to the left of ( -2.20 ), so it is more negative and therefore smaller. ( -2.2 ) is the closest distractor, but it is greater than ( -2.22 ). Exam tip: when comparing negative decimals, the more negative number is the smaller one.
\(2\), \(-3\) से बड़ा और \(8\) से छोटा है, अर्थात \(-3 < 2 < 8\)। इसलिए \(2\) दोनों संख्याओं के बीच स्थित पूर्णांक है। \(-4\) और \(-6\), \(-3\) से छोटे हैं, जबकि \(9\), \(8\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: ‘के बीच’ वाले प्रश्न में जाँचें कि संख्या बाएँ छोर से बड़ी और दाएँ छोर से छोटी हो। / \(2\) is greater than \(-3\) and less than \(8\), so \(-3 < 2 < 8\). Therefore, \(2\) is an integer between the two numbers. \(-4\) and \(-6\) are less than \(-3\), while \(9\) is greater than \(8\). Exam tip: For “between” questions, check that the number is greater than the left endpoint and less than the right endpoint.
दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-10+5}{2}=\frac{-5}{2}=-2.5\)। इसलिए सही उत्तर \( -2.5 \) है। \(2.5\) चिन्ह की गलती से मिल सकता है, क्योंकि योग \(-5\) है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं का औसत निकालते समय योग का चिन्ह अवश्य जाँचें। / The midpoint of two numbers is their average: \(\frac{-10+5}{2}=\frac{-5}{2}=-2.5\). Hence, \( -2.5 \) is correct. \(2.5\) results from a sign error, since the sum is \(-5\). Exam tip: When averaging a negative and a positive number, check the sign of their sum carefully.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(|2-(-14)|=|16|=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। 12 केवल \(|2-(-10)|\) जैसी किसी भिन्न जोड़ी की दूरी हो सकती है, जबकि दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती; अतः -16 गलत है। परीक्षा टिप: दूरी निकालते समय हमेशा अंतर पर निरपेक्ष मान लगाएँ। / The distance between two numbers on a number line is the absolute value of their difference: \(|2-(-14)|=|16|=16\). Therefore, the correct answer is 16. A distance cannot be negative, so -16 is incorrect; 12 would correspond to a different pair of numbers. Exam tip: Always use absolute value when finding distance on a number line.
सही उत्तर
-0.003 है। ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। क्योंकि -0.003, -0.03 की अपेक्षा शून्य के अधिक निकट है, इसलिए
-0.003 > -0.03। निकट का विकल्प -0.03 छोटा है, क्योंकि उसका ऋणात्मक मान अधिक है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय उन्हें समान दशमलव स्थानों तक लिखें: -0.003 और -0.030। / The correct answer is
-0.003. Among negative numbers, the number closer to zero is greater. Since -0.003 is closer to zero than -0.03,
-0.003 > -0.03. The close distractor -0.03 is smaller because it has a greater negative magnitude. Exam tip: Write negative decimals to the same number of decimal places, as -0.003 and -0.030, before comparing them.
क्योंकि \(9<10<16\), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। ऋण चिह्न लगाने पर क्रम उलटता है, अतः \(-4<-\sqrt{10}<-3\)। विकल्प B में \(\sqrt{10}\) को 3 से छोटा मान लिया गया है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को निकटतम पूर्ण वर्गों से पहचानें। / Since \(9<10<16\), we get \(3<\sqrt{10}<4\). On multiplying by \(-1\), the order reverses, so \(-4<-\sqrt{10}<-3\). Option B wrongly places \(\sqrt{10}\) below 3. Exam tip: locate square roots using nearby perfect squares.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-7+7}{2}=\frac{0}{2}=0\)। इसलिए \(-7\) और \(7\) से समान दूरी पर स्थित बिंदु \(0\) है। \(1\) मध्य बिंदु नहीं है, क्योंकि वह दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-7+7}{2}=\frac{0}{2}=0\). Therefore, \(0\) is equally distant from \(-7\) and \(7\). Option \(1\) is not the midpoint because it is not at the same distance from both numbers. Exam tip: Add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनका निरपेक्ष अंतर होती है: \(\lvert -9-(-2)\rvert=\lvert -7\rvert=7\)। इसलिए सही उत्तर 7 है। 6 केवल अंतर की गलत गणना से आ सकता है। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय उत्तर हमेशा धनात्मक या शून्य होता है। / The distance between two numbers on a number line is their absolute difference: \(\lvert -9-(-2)\rvert=\lvert -7\rvert=7\). Hence, the correct answer is 7. Choosing 6 results from an incorrect subtraction. Exam tip: a distance is always non-negative.
\(-1.01=-1.010\) लिखने पर तुलना आसान हो जाती है। संख्या रेखा पर \(-1.010\), \(-1.001\) के बाईं ओर है, इसलिए \(-1.01\) छोटा है। \(-1.001\) शून्य के अधिक निकट है, इसलिए वह बड़ा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना में जो संख्या शून्य से अधिक दूर होती है, वह छोटी होती है। / Write \(-1.01\) as \(-1.010\) to compare the decimals. On the number line, \(-1.010\) lies to the left of \(-1.001\), so \(-1.01\) is smaller. \(-1.001\) is closer to zero, so it is greater. Exam tip: among negative decimals, the number farther from zero is the smaller number.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{2+(-5)}{2}=\frac{-3}{2}=-1.5\)। इसलिए सही उत्तर \(-1.5\) है। \(1.5\) धनात्मक चिन्ह लेने की गलती से मिल सकता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या को जोड़ते समय उसके चिन्ह को कोष्ठक सहित लिखें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{2+(-5)}{2}=\frac{-3}{2}=-1.5\). Hence, \(-1.5\) is correct. \(1.5\) may result from incorrectly ignoring the negative sign. Exam tip: write negative numbers in brackets while substituting in the average formula.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है। अतः
a\(\lvert 6-(-12)\rvert=\lvert 18\rvert=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। 12 केवल
-12 का निरपेक्ष मान है, दोनों संख्याओं के बीच की दूरी नहीं। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय हमेशा अंतर का निरपेक्ष मान लें। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference. Thus, \(\lvert 6-(-12)\rvert=\lvert 18\rvert=18\). Therefore, 18 is correct. The value 12 is only the absolute value of -12, not the distance between the two numbers. Exam tip: always take the absolute value of the difference when finding distance.
