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C. उसमें अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/It contains infinitely many rational and infinitely many irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्या रेखा पर किसी भी \(a<b\) के बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, इसलिए C सही है। परीक्षा में ‘बीच’ दिखे तो कोई रिक्त स्थान न मानें। / Between any \(a<b\), there are infinitely many rational as well as irrational numbers, so C is correct. In exams, remember that the real number line has no gaps between two real numbers.
B. अनंत परिमेय संख्याएँ/Infinitely many rational numbers
Explanation
Simple Explanation
सही उत्तर अनंत परिमेय संख्याएँ है। \(a\) और \(b\) के बीच \(\frac{a+b}{2}\) एक परिमेय संख्या होती है। फिर इसी प्रकार नए मध्य मान लेते रहने पर अनंत परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा टिप: ‘दो परिमेय संख्याओं के बीच’ हमेशा अनंत परिमेय संख्याएँ याद रखें। / The correct answer is infinitely many rational numbers. The midpoint \(\frac{a+b}{2}\) is rational and lies between \(a\) and \(b\). Repeatedly taking midpoints produces endlessly many rational numbers. Exam tip: between any two distinct rational numbers, rationals are always infinite.
A. कम-से-कम एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या होती है/There is at least one rational and one irrational number
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। इसलिए केवल परिमेय या केवल अपरिमेय वाला कथन गलत है। परीक्षा में ‘सदैव’ शब्द पर विशेष ध्यान दें। / Every interval between two distinct real numbers contains infinitely many rational as well as irrational numbers. Thus, the “only rational” and “only irrational” statements are false. Exam tip: pay close attention to the word “always”.
दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच कम-से-कम एक परिमेय संख्या अवश्य होती है; वास्तव में ऐसी अनंत परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। पूर्णांक होना आवश्यक नहीं, जैसे 0.2 और 0.3 के बीच कोई पूर्णांक नहीं है। परीक्षा टिप: दो संख्याओं का औसत अक्सर बीच की संख्या देता है। / Between any two distinct real numbers, there is at least one rational number; in fact, infinitely many exist. An integer is not necessary: there is no integer between 0.2 and 0.3. Exam tip: the average of two numbers often gives a number between them.
A. किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच कम-से-कम एक अपरिमेय संख्या होती है।/Between any two rational numbers, there is at least one irrational number.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(r<s\) परिमेय हों, तो \(r+\frac{s-r}{\sqrt2}\) अपरिमेय होकर दोनों के बीच रहता है। अतः A सही है, B नहीं। टिप: संख्या रेखा पर परिमेय और अपरिमेय दोनों सघन हैं। / For rational \(r<s\), \(r+\frac{s-r}{\sqrt2}\) is irrational and lies between them, so A is correct and B is false. Exam tip: rational and irrational numbers are both dense on the number line.
A. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A सही है। \(\frac{a+b}{2}\) परिमेय है और \(a,b\) के बीच है; मध्यबिंदु दोहराने से अनंत परिमेय मिलते हैं। हर खुले अंतराल में अनंत अपरिमेय भी होते हैं। टिप: दोनों समुच्चय सघन हैं। / Option A is correct. \(\frac{a+b}{2}\) is rational and lies between \(a\) and \(b\); repeated midpoints give infinitely many rationals. Every open interval also contains infinitely many irrationals. Exam tip: both sets are dense.
A. उनके बीच असंख्य परिमेय तथा असंख्य अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers lie between them
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच असंख्य परिमेय और असंख्य अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए A सही है; सीमित संख्या वाला विकल्प गलत है। परीक्षा टिप: इसे परिमेय व अपरिमेय संख्याओं का घनत्व गुण याद रखें। / Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational as well as infinitely many irrational numbers. Hence A is correct; choices claiming a finite number are false. Exam tip: remember this as the density property of rational and irrational numbers.
A. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
हर दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं; दोनों समुच्चय सघन हैं। पूर्णांक का होना जरूरी नहीं है। परीक्षा टिप: ‘सदैव’ वाले प्रश्न में सघनता का गुण याद रखें। / Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational and irrational numbers because both sets are dense. An integer need not lie between them. Exam tip: for “always” questions, recall density.
C. अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प C है। किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) के बीच दोनों प्रकार मिलते हैं। परीक्षा-टिप: इसे वास्तविक संख्याओं का सघनता गुण याद रखें। / Option C is correct. Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational numbers and infinitely many irrational numbers. Hence both types lie between \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\). Exam tip: remember this as the density property of real numbers.
A. उनके बीच अपरिमित रूप से अनेक परिमेय तथा अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/There are infinitely many rational as well as irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं; किसी भी दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अपरिमित परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा संकेत:
\(\sqrt{2}\) भी संख्या रेखा पर एक निश्चित बिंदु है। / Real numbers are dense on the number line: between any two distinct real numbers, infinitely many rational and irrational numbers exist. Exam tip:
\(\sqrt{2}\) also corresponds to one definite point on the number line.
C. उनके बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए C सही है; B गलत है क्योंकि अपरिमेय भी बीच में होते हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं। / Between any two distinct rational numbers, there are infinitely many rational as well as irrational numbers. Hence C is correct; B is false because irrationals also occur between them. Exam tip: real numbers are dense on the number line.
A. किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational as well as infinitely many irrational numbers.
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं। जैसे 1 और 2 के बीच \(3/2\) परिमेय तथा \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है; ऐसे अनंत उदाहरण मिलते हैं। परीक्षा में याद रखें कि वास्तविक संख्याओं में कोई क्रमागत संख्या नहीं होती। / Real numbers are dense on the number line. For example, between 1 and 2, \(3/2\) is rational while \(\sqrt{2}\) is irrational, and infinitely many more exist. Exam tip: unlike integers, real numbers have no consecutive pair.
A. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए संख्या रेखा के किसी भी गैर-शून्य अंतराल में दोनों प्रकार की संख्याएँ होती हैं। परीक्षा टिप: ‘दो भिन्न वास्तविक संख्याएँ’ दिखे तो घनत्व का गुण याद रखें। / Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers. Hence every non-zero interval on the number line contains both types. Exam tip: when you see “two distinct real numbers,” recall the density property.
A. अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a<b\) हों, तो उनके बीच परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ दोनों सघन होती हैं; इसलिए दोनों प्रकार की अनंत संख्याएँ मिलती हैं। \((a+b)/2\) केवल एक मध्य बिंदु है। परीक्षा-टिप: “सघन” का अर्थ हर अंतराल में मौजूद होना है। / For \(a<b\), both rational and irrational numbers are dense between them, so each type occurs infinitely often. \((a+b)/2\) gives only one midpoint, not the full set. Exam tip: density means that every interval contains such numbers.
C. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers lie between them
Explanation
Simple Explanation
\(p<q\) होने पर \((p+q)/2\) एक परिमेय संख्या है और दोनों के बीच स्थित है। मध्यबिंदु बार-बार लेने पर अनंत परिमेय मिलते हैं; इसी अंतराल में अनंत अपरिमेय भी होते हैं। परीक्षा में ‘सदैव’ शब्द अवश्य जाँचें। / For \(p<q\), \((p+q)/2\) is rational and lies between them. Repeatedly taking midpoints gives infinitely many rationals, and every such interval also contains infinitely many irrationals. Exam tip: check words such as “always” carefully.
C. परिमेय और अपरिमेय, दोनों प्रकार की संख्याएँ होती हैं/Both rational and irrational numbers lie between them.
Explanation
Simple Explanation
दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, इसलिए C सही है। ‘केवल परिमेय’ अधूरा है। परीक्षा में ‘बीच’ को खुला अंतराल मानें। / Infinitely many rational and irrational numbers lie between two distinct rational numbers, so C is correct. “Only rationals” is incomplete. Exam tip: treat “between” as an open interval.
A. हर दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many irrational numbers lie between every two distinct rational numbers.
Explanation
Simple Explanation
यदि परिमेय संख्याएँ \(r<s\) हों, तो \(r+(s-r)\frac{\sqrt2}{n}\), जहाँ \(n\ge2\), उनके बीच एक अपरिमेय संख्या देता है। अलग-अलग \(n\) से अनंत ऐसी संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा टिप: परिमेय और अपरिमेय दोनों हर अंतराल में सघन होते हैं। / For rational \(r<s\), \(r+(s-r)\frac{\sqrt2}{n}\) with \(n\ge2\) lies between them and is irrational. Different values of \(n\) give infinitely many such numbers. Exam tip: every interval contains both rational and irrational numbers.
C. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers lie between them
Explanation
Simple Explanation
विकल्प C सही है। \(n(b-a)>1\) लेने पर \(a\) और \(b\) के बीच \(m/n\) जैसा परिमेय रखा जा सकता है; अपरिमेय भी अनंत हैं। इसलिए A, B, D गलत हैं। परीक्षा संकेत: सघनता गुण याद रखें। / C is correct. With \(n(b-a)>1\), a rational \(m/n\) can lie between \(a\) and \(b\); infinitely many irrationals lie there too. Thus A, B and D fail. Exam tip: recall the density property.
B. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers lie between them.
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच का अंतराल अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ रखता है, इसलिए B सही है। परीक्षा में इसे संख्या-समुच्चयों का सघनता गुण याद रखें। / The interval between any two distinct real numbers contains infinitely many rational as well as irrational numbers, so B is correct. Exam tip: remember this as the density property of number sets.
