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\(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=2\) धनात्मक तथा \(c=-3\) ऋणात्मक है। विकल्प B का y-अवरोध सही है, पर उसकी ढाल ऋणात्मक है। परीक्षा में \(x\) के गुणांक और स्थिर पद के चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, \(m=2\) is positive and \(c=-3\) is negative. Option B has the correct intercept sign but a negative slope. Exam tip: check the signs of the coefficient of \(x\) and the constant separately.
\(x=5\) में x-निर्देशांक स्थिर रहता है, इसलिए यह y-अक्ष के समानांतर ऊर्ध्वाधर रेखा है और इसका ढाल अपरिभाषित है। \(y=5\) की ढाल 0 होती है। परीक्षा टिप: \(x=\text{constant}\) ऊर्ध्वाधर रेखा होती है। / In \(x=5\), x remains fixed, so the line is vertical, parallel to the y-axis, and has an undefined slope. \(y=5\) is horizontal with slope 0. Exam tip: \(x=\text{constant}\) represents a vertical line.
B. रेखा बाएँ से दाएँ जाने पर नीचे गिरती है और y-अक्ष को \(7\) पर काटती है।/The line falls from left to right and intersects the y-axis at \(7\).
Explanation
Simple Explanation
\(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। यहाँ \(m=-3\), इसलिए x बढ़ने पर रेखा नीचे जाती है, तथा \(c=7\) होने से वह y-अक्ष को \(7\) पर काटती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल का अर्थ downward line है। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here \(m=-3\), so the line falls as x increases, while \(c=7\) means it meets the y-axis at \(7\). Exam tip: a negative slope always indicates a downward line.
रेखा \(y=mx+c\) में \(x=0\) रखने पर \(y=c\) मिलता है, इसलिए y-अक्ष पर बिंदु \((0,c)\) होता है। अतः समान y-अवरोध के लिए \(c_1=c_2\) आवश्यक है। \(m_1=m_2\) समान ढाल वाली समानांतर रेखाएँ दर्शाता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध जाँचने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / In \(y=mx+c\), putting \(x=0\) gives \(y=c\), so the y-axis point is \((0,c)\). Therefore, both lines have the same y-intercept only when \(c_1=c_2\). \(m_1=m_2\) indicates equal slopes, usually parallel lines. Exam tip: set \(x=0\) to identify a y-intercept.
रेखा के समीकरण y=mx+7 में बिंदु (-2,1) रखने पर 1=m(-2)+7 प्राप्त होता है। अतः 1=-2m+7, इसलिए -2m=-6 और m=3। इसलिए ढाल 3 है। -3 लेने पर बिंदु का y-निर्देशांक 13 आएगा, 1 नहीं। परीक्षा में दिए गए बिंदु के x और y मानों को समीकरण में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Substitute the point (-2,1) into y=mx+7: 1=m(-2)+7. Thus, 1=-2m+7, so -2m=-6 and m=3. Therefore, the slope is 3. If m were -3, the y-coordinate would be 13, not 1. Exam tip: substitute both coordinates carefully, especially when the x-coordinate is negative.
A. इसकी ढाल अपरिभाषित है और इसका कोई y-अवरोध नहीं है/Its slope is undefined and it has no y-intercept.
Explanation
Simple Explanation
\(x=4\) में x का मान स्थिर रहता है, इसलिए ग्राफ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसमें \(\Delta x=0\) होने से ढाल अपरिभाषित होती है और यह y-अक्ष को नहीं काटती। परीक्षा टिप: \(x=a\) सदैव ऊर्ध्वाधर रेखा होती है। / In \(x=4\), the x-coordinate remains fixed, so the graph is a vertical line. Since \(\Delta x=0\), its slope is undefined, and it does not meet the y-axis. Exam tip: \(x=a\) always represents a vertical line.
समीकरण \(y=3x-4\) में \(x=0\) रखने पर \(y=-4\) मिलता है, इसलिए ग्राफ y-अक्ष को \((0,-4)\) पर काटता है। विकल्प C का y-अवरोध \(-4/3\) है। परीक्षा में y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें। / In \(y=3x-4\), putting \(x=0\) gives \(y=-4\), so the graph meets the y-axis at \((0,-4)\). Option C has y-intercept \(-4/3\). Exam tip: set \(x=0\) to identify the y-intercept.
\(y=mx+c\) में \(m\) रेखा की ढाल है। \(x\)-अक्ष के समानांतर रेखा क्षैतिज होती है, इसलिए उसकी ढाल \(0\) होती है। \(c=0\) केवल यह बताता है कि रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। परीक्षा टिप: समानांतर \(x\)-अक्ष के लिए हमेशा \(m=0\) याद रखें। / In \(y=mx+c\), \(m\) represents the slope. A line parallel to the \(x\)-axis is horizontal, so its slope is \(0\). The condition \(c=0\) only means that the line passes through the origin. Exam tip: for a line parallel to the \(x\)-axis, always use \(m=0\).
रेखा के रूप y = mx + c में x का गुणांक m ढाल होता है। यहाँ ढाल 3p - 2 है। इसलिए 3p - 2 = 16, अर्थात 3p = 18 और p = 6। अतः सही विकल्प C है। विकल्प 5 लेने पर ढाल 13 होगी, 16 नहीं। परीक्षा टिप: y = mx + c में ढाल ज्ञात करने के लिए x के गुणांक को पहचानें। / In the form y = mx + c, the coefficient of x, m, is the slope. Here, the slope is 3p - 2. So, 3p - 2 = 16, which gives 3p = 18 and p = 6. Therefore, option C is correct. If p were 5, the slope would be 13, not 16. Exam tip: In y = mx + c, identify the coefficient of x to find the slope.
रेखा का समीकरण \(y=(r-4)x+(r+6)\) है। मूल बिंदु \((0,0)\) से गुजरने पर \(x=0\) और \(y=0\) रखने से \(r+6=0\) मिलता है। अतः \(r=-6\)। इसलिए ढाल \(r-4=-6-4=-10\) होगी। \(-6\) पैरामीटर \(r\) का मान है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल \(m\) और y-अवरोध \(c\) होता है। / The line is \(y=(r-4)x+(r+6)\). Since it passes through the origin \((0,0)\), substituting \(x=0\) and \(y=0\) gives \(r+6=0\). Hence, \(r=-6\). Therefore, the slope is \(r-4=-6-4=-10\). Note that \(-6\) is the value of the parameter \(r\), not the slope. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept.
दिए गए समीकरण से 3y को अलग करने पर 3y=-12x+21 मिलता है। 3 से भाग देने पर y=-4x+7 प्राप्त होता है। y=mx+c के रूप में m ढाल और c y-अवरोध होता है, इसलिए ढाल -4 तथा y-अवरोध 7 है। निकटतम भ्रमकारी विकल्प में ढाल का चिह्न गलत हो सकता है; -12x को दूसरी ओर ले जाने पर उसका चिह्न ऋणात्मक ही रहता है। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को y=mx+c के रूप में लिखें, फिर x का गुणांक और स्थिर पद पहचानें। / Rearranging the given equation gives 3y=-12x+21. Dividing by 3, we get y=-4x+7. In the form y=mx+c, m is the slope and c is the y-intercept. Hence, the slope is -4 and the y-intercept is 7. A common close error is to use a positive slope; moving 12x to the other side makes its sign negative. Exam tip: Rewrite the line in y=mx+c form before identifying the slope and intercept.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं, क्योंकि y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। तब -2y+10=0, अतः -2y=-10 और y=5। इसलिए रेखा y-अक्ष को बिंदु (0,5) पर काटती है और y-अवरोध 5 है। -4 चिह्न की गलती से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा x=0 रखें। / To find the y-intercept, put x=0 because every point on the y-axis has x-coordinate 0. This gives -2y+10=0, so -2y=-10 and y=5. Hence, the line meets the y-axis at (0,5), and its y-intercept is 5. The value -4 can result from a sign error. Exam tip: always set x=0 to find the y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल होता है। पहली रेखा की ढाल \(q+3\) और दूसरी की ढाल \(11\) है। समान ढाल के लिए \(q+3=11\), अतः \(q=8\)। \(7\) रखने पर ढाल \(10\) होगी, जो \(11\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करते समय नियत पद, जैसे \(-6\) या \(2\), को नहीं बल्कि \(x\) के गुणांक को देखें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope. The slopes of the first and second lines are \(q+3\) and \(11\), respectively. For equal slopes, \(q+3=11\), so \(q=8\). If \(q=7\), the slope would be \(10\), not \(11\). Exam tip: while comparing slopes, use the coefficient of \(x\), not the constant terms such as \(-6\) or \(2\).
रेखा के समीकरण \(y=mx+c\) में स्थिर पद \(c\), y-अवरोध होता है। पहली रेखा \(y=-7x+s\) का y-अवरोध \(s\) है, जबकि दूसरी रेखा \(y=4x-12\) का y-अवरोध \(-12\) है। दोनों y-अवरोध समान होने पर \(s=-12\) होगा। \(-7\) पहली रेखा का ढाल है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। / In the line equation \(y=mx+c\), the constant term \(c\) is the y-intercept. The y-intercept of \(y=-7x+s\) is \(s\), while that of \(y=4x-12\) is \(-12\). Since the intercepts are equal, \(s=-12\). Note that \(-7\) is the slope of the first line, not its y-intercept. Exam tip: put \(x=0\) to find the y-intercept.
B. हर वास्तविक मान a के लिए/For every real value of a
Explanation
Simple Explanation
रेखा का मानक रूप y=mx+c है, जहाँ ढाल m और y-अवरोध c होता है। यहाँ ढाल a-4 तथा y-अवरोध a है। इसलिए उनका अंतर
\((a-4)-a=-4\) होता है, जो a के किसी भी वास्तविक मान पर निर्भर नहीं करता। अतः सही विकल्प हर वास्तविक a के लिए है। a=4 रखने पर भी कथन सही है, लेकिन वह एकमात्र मान नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले m और c अलग पहचानकर दिए गए अंतर को सरल कीजिए। / In the standard form y=mx+c, m is the slope and c is the y-intercept. Here, the slope is a-4 and the y-intercept is a. Hence, their difference is \((a-4)-a=-4\), which does not depend on the value of a. Therefore, the statement is true for every real value of a. Although a=4 also works, it is not the only value. Exam tip: Identify m and c first, then simplify the stated difference.
A. The y-intercept is 1, because substituting x = 0 gives y = 1.
Explanation
Simple Explanation
ढाल \(m=\frac{-7-5}{4-(-2)}=-2\) है। बिंदु \((-2,5)\) रखने पर \(5=4+b\), इसलिए \(b=1\)। 5 y-अवरोध नहीं है, क्योंकि उस बिंदु पर \(x=-2\) है। परीक्षा में y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें। / The slope is \(m=\frac{-7-5}{4-(-2)}=-2\). Using \((-2,5)\), \(5=4+b\), so \(b=1\). The value 5 is not a y-intercept because its x-coordinate is -2. Exam tip: put \(x=0\) to find the y-intercept.
C. ढाल \(-\frac{3}{4}\), y-अवरोधन \(3\)/Slope \(-\frac{3}{4}\), y-intercept \(3\)
Explanation
Simple Explanation
\(3x+4y=12\) को \(y=-\frac{3}{4}x+3\) लिखने पर \(x\) का गुणांक ढाल और स्थिर पद y-अवरोधन होता है। विकल्प A में केवल ढाल का चिह्न गलत है। परीक्षा में पहले \(y\) को अकेला करें। / Writing \(3x+4y=12\) as \(y=-\frac{3}{4}x+3\) shows that the coefficient of \(x\) is the slope and the constant is the y-intercept. Option A misses the negative sign. Exam tip: isolate \(y\) first.
रेखा के रूप y = mx + c में x का गुणांक m ढाल होता है। पहली रेखा की ढाल k - 6 तथा दूसरी रेखा की ढाल 5 है। समान ढाल के लिए k - 6 = 5, अतः k = 11। 10 लेने पर पहली ढाल 4 होगी, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करते समय x के गुणांक को पहचानें; स्थिर पद ढाल को प्रभावित नहीं करता। / In the form y = mx + c, the coefficient of x, m, is the slope. The first line has slope k - 6 and the second has slope 5. For equal slopes, k - 6 = 5, so k = 11. If k were 10, the first slope would be 4, so it would not match. Exam tip: identify the coefficient of x for the slope; the constant term does not affect it.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध स्थिर पद \(c\) होता है। पहली रेखा का \(y\)-अवरोध \(-5\) और दूसरी रेखा का \(y\)-अवरोध \(m-9\) है। समान अवरोध के लिए \(m-9=-5\), अतः \(m=4\)। विकल्प 5 लेने पर दूसरा अवरोध \(-4\) होगा, जो \(-5\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। / In the form \(y=mx+c\), the \(y\)-intercept is the constant term \(c\). The first line has \(y\)-intercept \(-5\), while the second has \(y\)-intercept \(m-9\). For equal intercepts, \(m-9=-5\), so \(m=4\). If \(m=5\), the second intercept would be \(-4\), not \(-5\). Exam tip: put \(x=0\) to find a \(y\)-intercept.
A में \(2y=-3x+6\), इसलिए \(y=-\frac{3}{2}x+3\)। इसकी ढाल ऋणात्मक और y-अवरोधन 3 है, अतः यह y-अक्ष को मूलबिंदु के ऊपर काटती है। C की ढाल ऋणात्मक है, लेकिन उसका अवरोधन \(-3\) है। परीक्षा में समीकरण को पहले \(y=mx+c\) रूप में लिखें। / For A, \(2y=-3x+6\), so \(y=-\frac{3}{2}x+3\). Its slope is negative and its y-intercept is 3, so it crosses the y-axis above the origin. C also has a negative slope, but its intercept is \(-3\). Exam tip: first rewrite the equation as \(y=mx+c\).
रेखा का ढाल \(\frac{4}{3}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक 3 इकाई वृद्धि पर \(y\) 4 इकाई बढ़ता है। इसलिए \(\Delta y=\frac{4}{3}\Delta x\) होगा। \(24=\frac{4}{3}\Delta x\) से \(\Delta x=24\times\frac{3}{4}=18\) मिलता है। विकल्प 24 लेने पर \(y\) में वृद्धि 32 होगी, 24 नहीं। परीक्षा टिप: परिवर्तन वाले प्रश्नों में स्थिर पद \(-6\) का प्रभाव नहीं पड़ता; केवल ढाल का उपयोग करें। / The slope is \(\frac{4}{3}\), meaning that for every increase of 3 units in \(x\), \(y\) increases by 4 units. Thus, \(\Delta y=\frac{4}{3}\Delta x\). Putting \(\Delta y=24\), we get \(24=\frac{4}{3}\Delta x\), so \(\Delta x=24\times\frac{3}{4}=18\). If \(x\) increased by 24, then \(y\) would increase by 32, not 24. Exam tip: In change-based questions, the constant term \(-6\) does not affect the change; use only the slope.
B. रेखा बढ़ती है और (y)-अवरोध ऋणात्मक है/The line increases and the (y)-intercept is negative
Explanation
Simple Explanation
समीकरण (y=px+q) में p रेखा की ढाल और q उसका (y)-अवरोध होता है। यहाँ (p=6) धनात्मक है, इसलिए x बढ़ने पर y भी बढ़ता है और रेखा बढ़ती है। साथ ही, (q=-8) होने पर रेखा (y)-अक्ष को -8 पर काटती है, इसलिए (y)-अवरोध ऋणात्मक है। विकल्प C गलत है क्योंकि क्षैतिज रेखा के लिए ढाल 0 होती है। परीक्षा टिप: ढाल का चिन्ह रेखा के बढ़ने या घटने को बताता है, जबकि स्थिर पद (y)-अवरोध बताता है। / In (y=px+q), p is the slope of the line and q is its y-intercept. Here, (p=6) is positive, so y increases as x increases and the line rises. Also, (q=-8) means that the line cuts the y-axis at -8, so its y-intercept is negative. Option C is incorrect because a horizontal line has slope 0. Exam tip: the sign of the slope shows whether a line rises or falls, while the constant term gives the y-intercept.
\(x=3\) में x स्थिर है, अतः रेखा ऊर्ध्वाधर और y-अक्ष के समानांतर है; इसकी ढाल अपरिभाषित होती है। \(x=0\) न होने से यह y-अक्ष नहीं काटती। परीक्षा टिप: \(x=k\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। / In \(x=3\), x is fixed, so the graph is vertical and parallel to the y-axis; therefore, its slope is undefined. Since it is not \(x=0\), it does not meet the y-axis. Exam tip: \(x=k\) represents a vertical line.
विकल्प A को y के लिए लिखने पर \(y=-2x+4\) मिलता है। अतः ढाल \(-2\) ऋणात्मक और y-अवरोध 4 है। विकल्प D की ढाल ऋणात्मक है, पर उसका y-अवरोध 2 है। परीक्षा में पहले समीकरण को \(y=mx+c\) रूप में लिखें। / Rewriting option A gives \(y=-2x+4\). Therefore, its slope is \(-2\), which is negative, and its y-intercept is 4. Option D has a negative slope but intercepts the y-axis at 2. Exam tip: convert the equation to \(y=mx+c\) first.
दी गई रेखा की ढाल \(-3\) और \(y\)-अवरोध \(7\) है। लम्बवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल \(-1\) होता है, इसलिए नई ढाल \(\frac{1}{3}\) होगी। समान अवरोध रखने पर समीकरण विकल्प A है। B समानांतर रेखा है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। / The given line has slope \(-3\) and y-intercept \(7\). For perpendicular non-vertical lines, the product of slopes is \(-1\), so the required slope is \(\frac{1}{3}\). Keeping intercept \(7\) gives option A. Option B is parallel, not perpendicular. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept.
रेखा \(y=mx+c\) में नीचे उतरने के लिए ढाल \(m<0\) और \(y\)-अक्ष पर मूलबिंदु के ऊपर कटने के लिए \(c>0\) होना चाहिए। विकल्प B में \(m=-4\), \(c=7\) हैं। विकल्प A का अवरोध सही है, पर उसकी ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: ढाल और अवरोध के चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / For \(y=mx+c\), a line falls left to right when \(m<0\), and it meets the \(y\)-axis above the origin when \(c>0\). In option B, \(m=-4\) and \(c=7\). Option A has the correct intercept sign but a positive slope. Exam tip: check the signs of slope and intercept separately.
ढाल \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{28}{4}=7\) है। रेखा का \(y\)-अवरोध \(-10\) है, इसलिए ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(m=7\) और \(c=-10\) रखने पर \(y=7x-10\) मिलता है। \(y=28x-10\) में ढाल 28 है, जबकि \(y=-7x-10\) में \(y\) घटता है। परीक्षा टिप: परिवर्तन की दर से ढाल पाने के लिए हमेशा \(\Delta y/\Delta x\) निकालें। / The slope is \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{28}{4}=7\). The \(y\)-intercept is \(-10\), so in slope-intercept form \(y=mx+c\), substituting \(m=7\) and \(c=-10\) gives \(y=7x-10\). In \(y=28x-10\), the slope is 28, while in \(y=-7x-10\), \(y\) decreases as \(x\) increases. Exam tip: find slope by calculating \(\Delta y/\Delta x\).
(x) में 5 की वृद्धि पर (y) 30 घटता है, इसलिए ढाल \(m=\frac{-30}{5}=-6\) होगी। रेखा (0,14) से गुजरती है, अतः उसका (y)-अवरोध 14 है। इसलिए समीकरण \(y=-6x+14\) है। \(y=-30x+14\) में अवरोध सही है, लेकिन उसकी ढाल -30 है, -6 नहीं। परीक्षा टिप: परिवर्तन की दर निकालने के लिए हमेशा \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) लें। / When (x) increases by 5, (y) decreases by 30, so the slope is \(m=\frac{-30}{5}=-6\). Since the line passes through (0,14), its (y)-intercept is 14. Hence the equation is \(y=-6x+14\). In \(y=-30x+14\), the intercept is correct but the slope is -30, not -6. Exam tip: find the rate of change using \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
रेखा का समीकरण \,\(y=(a+4)x+(a-10)\) है। मूल बिंदु पर \,\(x=0\) और \,\(y=0\) होता है, इसलिए \,\(a-10=0\), अतः \,\(a=10\)। अब ढाल \,\(x\) का गुणांक है: \,\(a+4=10+4=14\)। इसलिए सही उत्तर 14 है। 12 केवल \,\(a\) का गलत मान लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: \,\(y=mx+c\) में ढाल \,\(m\) तथा y-अवरोध \,\(c\) होता है। / The line is \,\(y=(a+4)x+(a-10)\). At the origin, \,\(x=0\) and \,\(y=0\), so \,\(a-10=0\), giving \,\(a=10\). The slope is the coefficient of \,\(x\): \,\(a+4=10+4=14\). Hence, 14 is correct. A value such as 12 would result from using an incorrect value of \,\(a\). Exam tip: in \,\(y=mx+c\), \,\(m\) is the slope and \,\(c\) is the y-intercept.
रेखा के रूप y=mx+c में y-अवरोध c होता है। यहाँ u-2=6, अतः u=8। इसलिए ढाल m=2u+1=2(8)+1=17 है। विकल्प 16 तब मिलता यदि +1 पद को छोड़ दिया जाता। परीक्षा टिप: पहले y-अवरोध से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर उसे ढाल के व्यंजक में रखें। / In the form y=mx+c, the y-intercept is c. Here, u-2=6, so u=8. Therefore, the slope is m=2u+1=2(8)+1=17. Option 16 would result from incorrectly omitting the +1 term. Exam tip: first use the y-intercept to find the parameter, then substitute it into the slope expression.
A. (y)-अवरोध (6), ढाल \(-\frac{6}{7}\)/(y)-intercept (6), slope \(-\frac{6}{7}\)
Explanation
Simple Explanation
(7y=-6x+42) से \(y=-\frac{6}{7}x+6\) मिलता है। इसलिए (y)-अवरोध (6) और ढाल \(-\frac{6}{7}\) है। / From (7y=-6x+42), \(y=-\frac{6}{7}x+6\). So the (y)-intercept is (6) and slope is \(-\frac{6}{7}\).
रेखा के समीकरण में y-अवरोध पाने के लिए x का मान 0 रखा जाता है। पहली रेखा का y-अवरोध \(b\) है, जबकि दूसरी रेखा में \(x=0\) रखने पर \(y=8\) मिलता है। दोनों रेखाएँ y-अक्ष को एक ही बिंदु पर काटती हैं, इसलिए उनके y-अवरोध समान होंगे: \(b=8\)। \(6\) और \(-4\) ढाल हैं, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) सीधे y-अवरोध होता है। / To find a y-intercept, put \(x=0\) in the equation of the line. The y-intercept of the first line is \(b\), while for the second line, putting \(x=0\) gives \(y=8\). Since both lines cut the y-axis at the same point, their y-intercepts must be equal: \(b=8\). The numbers \(6\) and \(-4\) are slopes, not y-intercepts. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept directly.
A. वे अलग-अलग समानांतर रेखाएँ हैं/They are distinct parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं की ढाल \(m\) समान है, इसलिए उनकी दिशाएँ समान हैं। चूँकि \(c\ne d\), उनके y-अवरोध अलग हैं; अतः वे संपाती नहीं, अलग-अलग समानांतर रेखाएँ हैं। परीक्षा टिप: समान ढाल और अलग y-अवरोध = समानांतर रेखाएँ। / Both lines have the same slope \(m\), so they have the same direction. Since \(c\ne d\), their y-intercepts differ; therefore, they are not coincident but distinct parallel lines. Exam tip: same slope with different y-intercepts means parallel lines.
रेखा का y-अवरोध 4 होने का अर्थ है कि x=0 पर y=4 है, इसलिए c=4। अब x=-3 रखने पर y=-9(-3)+4=27+4=31 मिलता है। 27 केवल -9×(-3) का मान है; इसमें अवरोध 4 जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: y=mx+c में y-अवरोध हमेशा स्थिरांक c होता है। / A y-intercept of 4 means that y=4 when x=0, so c=4. Substituting x=-3 gives y=-9(-3)+4=27+4=31. The value 27 is only the product -9×(-3); the intercept 4 must also be added. Exam tip: in y=mx+c, the y-intercept is the constant term c.
रेखा का ढाल \(k-3\) है। यहाँ \(x\) में वृद्धि \(6\) और \(y\) में वृद्धि \(48\) है, इसलिए ढाल \(\frac{48}{6}=8\) होगी। अतः \(k-3=8\), जिससे \(k=11\) मिलता है। \(10\) लेने पर ढाल केवल \(7\) होगी, जो \(x\) में \(6\) की वृद्धि पर \(y\) को \(42\) ही बढ़ाएगी। परीक्षा टिप: रेखा \(y=mx+c\) में \(m\) हमेशा ढाल होता है। / The slope of the line is \(k-3\). Since \(y\) increases by \(48\) when \(x\) increases by \(6\), the slope is \(\frac{48}{6}=8\). Thus, \(k-3=8\), so \(k=11\). If \(k=10\), the slope would be only \(7\), giving a rise of \(42\) for a run of \(6\). Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m\) is the slope.
रेखा की ढाल \,\(-(p-1)\) है। जब \(x\) में \(5\) की वृद्धि होती है, तब \(y\) में \(35\) की कमी का अर्थ है \(\Delta y=-35\)। अतः ढाल \(\frac{-35}{5}=-7\) होगी। इसलिए \(-(p-1)=-7\), जिससे \(p-1=7\) और \(p=8\) मिलता है। विकल्प 7 लेने पर ढाल \(-6\) होगी, जो आवश्यक ढाल \(-7\) नहीं है। परीक्षा टिप: ‘कमी’ को \(\Delta y\) में ऋणात्मक चिह्न के साथ लिखें। / The slope of the line is \(-(p-1)\). An increase of \(5\) in \(x\) and a decrease of \(35\) in \(y\) give \(\Delta y=-35\). Hence, the slope is \(\frac{-35}{5}=-7\). Therefore, \(-(p-1)=-7\), so \(p-1=7\) and \(p=8\). If \(p=7\), the slope would be \(-6\), not the required \(-7\). Exam tip: Write a decrease in \(y\) as a negative change before finding the slope.
रूप \(y=mx+c\) में \(c\), \(y\)-अवरोध तथा \(m\), ढाल है। इसलिए समान \(y\)-अवरोध के लिए \(c=5\) और अलग ढाल के लिए \(m\ne-2\) चाहिए। विकल्प B समान ढाल देता है। परीक्षा टिप: \(m\) और \(c\) की भूमिकाएँ न बदलें। / In \(y=mx+c\), \(c\) is the \(y\)-intercept and \(m\) is the slope. Thus, the same intercept requires \(c=5\), while a different slope requires \(m\ne-2\). Option B gives the same slope. Exam tip: do not interchange the roles of \(m\) and \(c\).
रेखा के रूप (y=mx+c) में m ढाल को दर्शाता है। दिया है m+c=15 तथा c=6। अतः m+6=15, इसलिए m=15-6=9। इसलिए सही उत्तर 9 है। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि 15 में से 6 घटाने पर 9 प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: y=mx+c में m को ढाल और c को y-अवरोधक पहचानें। / In the form (y=mx+c), m represents the slope. Given m+c=15 and c=6, we get m+6=15. Therefore, m=15-6=9. Hence, the correct answer is 9. Option 8 is incorrect because subtracting 6 from 15 gives 9. Exam tip: In y=mx+c, identify m as the slope and c as the y-intercept.
ऊपर 4 इकाई खिसकाने पर नया समीकरण \(y=mx+(c+4)\) होता है। इसलिए \(c\), अर्थात y-अवरोध, बदलता है; \(m\) वही रहता है क्योंकि रेखा का झुकाव नहीं बदलता। परीक्षा टिप: ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण में केवल स्थिर पद बदलता है। / After shifting upward by 4 units, the equation becomes \(y=mx+(c+4)\). Thus, \(c\), the y-intercept, changes, while \(m\) remains unchanged because the line’s steepness is unchanged. Exam tip: a vertical shift changes only the constant term.
दिया गया बिंदु \((8,10)\) रेखा पर स्थित है, इसलिए \(x=8\) और \(y=10\) को समीकरण \(y=\frac{3}{4}x+c\) में रखें। \(10=\frac{3}{4}\times8+c=6+c\), अतः \(c=4\)। इसलिए सही विकल्प 4 है। विकल्प 3 लेने पर दायाँ पक्ष \(9\) होगा, जो दिए गए बिंदु के \(y\)-निर्देशांक 10 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु से गुजरने वाली रेखा में उस बिंदु के \(x\) और \(y\) मान सीधे प्रतिस्थापित करें। / Since the given point \((8,10)\) lies on the line, substitute \(x=8\) and \(y=10\) in \(y=\frac{3}{4}x+c\). This gives \(10=\frac{3}{4}\times8+c=6+c\), so \(c=4\). Hence, 4 is the correct option. If \(c=3\), the right-hand side would be 9, not the given y-coordinate 10. Exam tip: For a line passing through a point, directly substitute the point’s coordinates into its equation.
A. यह रेखा y-अक्ष को 5 पर काटती है और दाईं ओर 4 इकाई जाने पर 3 इकाई नीचे जाती है।/The line crosses the y-axis at 5 and moves 3 units down for every 4 units to the right.
Explanation
Simple Explanation
\(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। यहाँ \(m=-\frac{3}{4}\) तथा \(c=5\) है; \(x=0\) रखने पर \(y=5\) मिलता है। विकल्प D की ढाल \(-\frac{4}{3}\) है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल का अर्थ दाईं ओर जाने पर रेखा नीचे आना है। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here \(m=-\frac{3}{4}\) and \(c=5\); putting \(x=0\) gives \(y=5\). Option D has slope \(-\frac{4}{3}\), not \(-\frac{3}{4}\). Exam tip: a negative slope means the line falls from left to right.
रेखा के रूप y = mx + c में y-अवरोध c होता है। यहाँ a + 2 = 9, अतः a = 7। इसलिए ढाल 4a - 1 = 4(7) - 1 = 27 है। 28 प्राप्त करना सामान्यतः घटाने के चरण में गलती से होता है। परीक्षा टिप: पहले स्थिर पद से y-अवरोध की तुलना करके पैरामीटर ज्ञात करें, फिर x के गुणांक से ढाल निकालें। / In the form y = mx + c, the y-intercept is c. Here, a + 2 = 9, so a = 7. Therefore, the slope is 4a - 1 = 4(7) - 1 = 27. Getting 28 usually results from an error in the subtraction step. Exam tip: first compare the constant term with the y-intercept to find the parameter, then use the coefficient of x to find the slope.
रेखीय समीकरण में x का गुणांक ढाल होता है। यहाँ ढाल b-9 है, इसलिए b-9=1 से b=10 मिलता है। y-अवरोध स्थिर पद 3b-2 होता है। अतः 3(10)-2=28, इसलिए सही उत्तर 28 है। 30 प्राप्त करने पर घटाए जाने वाले 2 को भूलने की त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखें। / In a linear equation, the coefficient of x is the slope. Here the slope is b-9, so b-9=1 gives b=10. The y-intercept is the constant term 3b-2. Thus, 3(10)-2=28, so 28 is correct. Getting 30 would mean forgetting to subtract 2. Exam tip: put x=0 to find the y-intercept.
A. ढाल \(\frac{3}{4}\), (y)-अवरोध (3)/Slope \(\frac{3}{4}\), (y)-intercept (3)
Explanation
Simple Explanation
(-4y=-3x-12) से \(y=\frac{3}{4}x+3\) मिलता है। इसलिए ढाल \(\frac{3}{4}\) और (y)-अवरोध (3) है। / From (-4y=-3x-12), \(y=\frac{3}{4}x+3\). So the slope is \(\frac{3}{4}\) and the (y)-intercept is (3).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। यहाँ ढालें \(t+2\) और \(9\) हैं। समान ढाल के लिए \(t+2=9\), इसलिए \(t=7\)। दूसरी रेखा का \(y\)-अवरोध \(2t-1=2(7)-1=13\) है। \(11\) केवल \(t+2\) का मान है, \(y\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: पहले ढालों को बराबर करके पैरामीटर ज्ञात करें, फिर स्थिर पद में उसका मान रखें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. The slopes here are \(t+2\) and \(9\). Equal slopes give \(t+2=9\), so \(t=7\). The \(y\)-intercept of the second line is \(2t-1=2(7)-1=13\). Although \(11\) is the value of \(t+2\), it is not the \(y\)-intercept. Exam tip: find the parameter from the slopes first, then substitute it into the constant term.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। पहली रेखा का \(y\)-अवरोध \(v-5\) और दूसरी रेखा का \(6\) है। समान होने पर \(v-5=6\), अतः \(v=11\)। दूसरी रेखा की ढाल \(x\) का गुणांक \(v+2\) है, इसलिए \(11+2=13\)। विकल्प 11, \(v\) का मान है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल हमेशा \(x\) का गुणांक होती है। / In the form \(y=mx+c\), \(c\) is the \(y\)-intercept. The first line has \(y\)-intercept \(v-5\), while the second has \(y\)-intercept \(6\). Since they are equal, \(v-5=6\), so \(v=11\). The slope of the second line is the coefficient of \(x\), namely \(v+2\); hence it is \(11+2=13\). Option 11 is the value of \(v\), not the slope. Exam tip: in \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is always the slope.
रेखा की ढाल \(-\frac{4}{3}\) है। अतः \(x\) में प्रत्येक 3 इकाई की वृद्धि पर \(y\), 4 इकाई घटता है। \(y\) को 28 घटाने के लिए \(\frac{4}{3}\Delta x=28\) होगा। इसलिए \(\Delta x=28\times\frac{3}{4}=21\)। अतः सही उत्तर 21 है। 18 लेने पर \(y\) केवल 24 घटेगा। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल में \(x\) बढ़ने पर \(y\) घटता है। / The slope is \(-\frac{4}{3}\). Thus, when \(x\) increases by 3 units, \(y\) decreases by 4 units. For a decrease of 28 in \(y\), \(\frac{4}{3}\Delta x=28\). Hence, \(\Delta x=28\times\frac{3}{4}=21\). Therefore, the correct answer is 21. An increase of 18 would decrease \(y\) by only 24. Exam tip: a negative slope means that \(y\) decreases as \(x\) increases.
रेखा \(y=mx+c\) में नीचे जाने के लिए \(m<0\) और मूलबिंदु के ऊपर y-अवरोधन के लिए \(c>0\) चाहिए। विकल्प A में \(m=-2\), \(c=5\) हैं। C का ढाल ऋणात्मक है, पर उसका अवरोधन ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: \(m\) और \(c\) के चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), a falling line needs \(m<0\), while an intercept above the origin needs \(c>0\). Option A has \(m=-2\) and \(c=5\). Option C falls too, but its y-intercept is below zero. Exam tip: check the signs of \(m\) and \(c\) separately.
रेखा के रूप (y=mx+c) में m ढाल को दर्शाता है। दिया है (m-c=16) तथा (c=-9)। अतः (m-(-9)=16), यानी (m+9=16)। इसलिए (m=7) है, इसलिए सही विकल्प 7 है। 8 लेने पर (m-c=8-(-9)=17) होगा, जो दी गई शर्त 16 के अनुकूल नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक c को घटाने पर उसके चिह्न बदलते हैं। / In the form (y=mx+c), m represents the slope. Given (m-c=16) and (c=-9), we get (m-(-9)=16), or (m+9=16). Hence, (m=7), so 7 is the correct option. If m were 8, then (m-c=8-(-9)=17), not 16. Exam tip: subtracting a negative value changes it to addition.
रेखा के रूप (y=mx+c) में y-अवरोध c होता है। m=-3 को 3c+m=18 में रखने पर 3c-3=18 मिलता है। अतः 3c=21 और c=7 है। इसलिए y-अवरोध 7 है। विकल्प 6 तब मिल सकता है जब -3 को जोड़ने की बजाय अनदेखा कर दिया जाए। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा c का मान निकालें। / In the form (y=mx+c), the y-intercept is c. Substituting m=-3 into 3c+m=18 gives 3c-3=18. Hence, 3c=21 and c=7. Therefore, the y-intercept is 7. Option 6 may result from incorrectly ignoring the -3 term. Exam tip: to find the y-intercept, determine the value of c.
