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A. ढाल (-2), (y)-अवरोध (6)/Slope (-2), (y)-intercept (6)
Explanation
Simple Explanation
(3y=-6x+18) से (y=-2x+6) मिलता है। (x) का गुणांक ढाल और स्थिर पद (y)-अवरोध होता है। / From (3y=-6x+18), (y=-2x+6). The coefficient of (x) is slope and the constant term is the (y)-intercept.
रेखा का रूप y = mx + c होता है, जहाँ x का गुणांक m ढाल होता है। यहाँ x का गुणांक k - 3 है, इसलिए k - 3 = 5। दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर k = 8 मिलता है। विकल्प 2 तब मिलता है जब 3 को गलत दिशा में ले जाया जाए। परीक्षा टिप: y = mx + c में ढाल पहचानने के लिए x का पूरा गुणांक देखें। / A line in the form y = mx + c has slope m, the coefficient of x. Here, the coefficient of x is k - 3, so k - 3 = 5. Adding 3 to both sides gives k = 8. Option 2 results from moving 3 to the wrong side. Exam tip: In y = mx + c, identify the complete coefficient of x to find the slope.
रेखा का समीकरण \(y=4x+c\) है, जहाँ \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। दिए गए बिंदु \((3,19)\) को रखने पर \(19=4\times3+c\) मिलता है। अतः \(19=12+c\), इसलिए \(c=7\)। इसलिए \(y\)-अवरोध 7 है। विकल्प 19 बिंदु का \(y\)-निर्देशांक है, अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) सीधे \(y\)-अवरोध दर्शाता है। / The equation is \(y=4x+c\), where \(c\) represents the \(y\)-intercept. Substituting the given point \((3,19)\) gives \(19=4\times3+c\). Thus, \(19=12+c\), so \(c=7\). Hence, the \(y\)-intercept is 7. Option 19 is the y-coordinate of the given point, not the intercept. Exam tip: In \(y=mx+c\), \(c\) directly represents the \(y\)-intercept.
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। \(y=-3x+5\) में \(m=-3\) ऋणात्मक तथा \(c=5\) धनात्मक है। \(y=-3x-5\) की ढाल सही है, पर उसका y-अवरोध ऋणात्मक है। परीक्षा में \(x\) का गुणांक और स्थिर पद अलग-अलग जाँचें। / In slope-intercept form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For \(y=-3x+5\), \(m=-3\) is negative and \(c=5\) is positive. Although \(y=-3x-5\) has a negative slope, its y-intercept is negative. Exam tip: check the coefficient of \(x\) and the constant separately.
\(4x+2y=8\) को \(y=-2x+4\) लिखने पर ढाल \(-2\) और y-अवरोध \(4\) मिलता है। विकल्प C में y-अवरोध धनात्मक है, पर ढाल धनात्मक है। परीक्षा में समीकरण को \(y=mx+c\) रूप में पहचानें। / Rewriting \(4x+2y=8\) gives \(y=-2x+4\), so the slope is \(-2\) and the y-intercept is \(4\). Option C has a positive intercept but also a positive slope. In exams, compare equations using \(y=mx+c\).
सही समीकरण \(y=-2x+3\) है। \(x\) का गुणांक \(-2\) होने से ढाल ऋणात्मक है और नियत पद \(3\) y-अवरोध है। \(y=-2x-3\) में अवरोध मूलबिंदु के नीचे है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m\) और \(c\) के चिन्ह देखें। / The correct equation is \(y=-2x+3\). Its slope is \(-2\), so the line falls from left to right, and its y-intercept is 3. \(y=-2x-3\) has a negative intercept. Exam tip: in \(y=mx+c\), check the signs of \(m\) and \(c\).
\(y=\frac{12}{a}x-\frac{18}{a}\) होगा, इसलिए ढाल \(\frac{12}{a}\) है। \(\frac{12}{a}=4\) से (a=3) मिलता है। / \(y=\frac{12}{a}x-\frac{18}{a}\), so the slope is \(\frac{12}{a}\). From \(\frac{12}{a}=4\), (a=3).
D. हर (p) के लिए (y)-अवरोध (5) होगा/For every (p), the (y)-intercept will be (5)
Explanation
Simple Explanation
(5) से भाग देने पर \(y=\frac{p}{5}x+5\) मिलता है। स्थिर पद (5) है, इसलिए (p) कोई भी हो सकता है। / Dividing by (5) gives \(y=\frac{p}{5}x+5\). The constant term is (5), so (p) can be any value.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल होती है। यहाँ \(x\) का गुणांक \(2a-1\) है, इसलिए \(2a-1=7\)। अतः \(2a=8\) और \(a=4\)। विकल्प 3 लेने पर ढाल \(2(3)-1=5\) होगी, जो 7 नहीं है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में हमेशा \(x\) के गुणांक को ढाल मानें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope. Here, the coefficient of \(x\) is \(2a-1\), so \(2a-1=7\). Hence \(2a=8\) and \(a=4\). If \(a=3\), the slope would be \(2(3)-1=5\), not 7. Exam tip: In \(y=mx+c\), identify the coefficient of \(x\) as the slope.
बिंदु रखने पर (-4=-3(5)+b) मिलता है। इसलिए (b=11) नहीं, (b=11) होता है; सही विकल्प (A) होना चाहिए। / Substituting the point gives (-4=-3(5)+b). Therefore (b=11); option (A) is correct.
ढाल और y-अवरोध ज्ञात करने के लिए समीकरण को y=mx+c के रूप में लिखते हैं। 4y=8x-28 के दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर y=2x-7 मिलता है। अतः m=2 ढाल है और c=-7 y-अवरोध है। विकल्प A में 4 से भाग नहीं दिया गया है। परीक्षा टिप: y के गुणांक से सभी पदों को भाग देकर m और c सीधे पहचानें। / To identify the slope and y-intercept, write the equation in the form y=mx+c. Dividing every term of 4y=8x-28 by 4 gives y=2x-7. Hence, m=2 is the slope and c=-7 is the y-intercept. Option A incorrectly uses the coefficients before dividing by 4. Exam tip: divide every term by the coefficient of y before identifying m and c.
\(ax+by=c\) को \(y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}\) लिखते हैं। \(y=mx+k\) में \(x\) का गुणांक ढाल होता है, इसलिए ढाल \(-\frac{a}{b}\) है। \(\frac{c}{b}\) y-अवरोध है। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को \(y=mx+k\) रूप में बदलें। / Rewrite \(ax+by=c\) as \(y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}\). In \(y=mx+k\), the coefficient of \(x\) is the slope, so it is \(-\frac{a}{b}\). \(\frac{c}{b}\) is the y-intercept, not the slope. Exam tip: compare with slope-intercept form.
\(x=4\) में x का मान हर बिंदु पर स्थिर रहता है, इसलिए इसका ग्राफ ऊर्ध्वाधर रेखा और y-अक्ष के समानांतर होता है। \(y=4\) क्षैतिज रेखा है। परीक्षा टिप: स्थिर x वाली रेखा हमेशा ऊर्ध्वाधर होती है। / In \(x=4\), the x-coordinate remains fixed for every point, so the graph is vertical and parallel to the y-axis. \(y=4\) is horizontal instead. Exam tip: an equation with a fixed x-value always represents a vertical line.
रेखा के ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल \(m\) होता है। यहाँ ढाल \(3k+2\) है। दिया है \(3k+2=11\), अतः \(3k=9\) और \(k=3\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(k=4\) रखने पर ढाल \(14\) होगी, जो \(11\) नहीं है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m\) को सीधे ढाल पहचानें। / In the slope-intercept form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope \(m\). Here, the slope is \(3k+2\). Since \(3k+2=11\), we get \(3k=9\) and hence \(k=3\). Therefore, option B is correct. If \(k=4\), the slope would be \(14\), not \(11\). Exam tip: In \(y=mx+c\), identify \(m\) directly as the slope.
रेखा \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है; समान अवरोध के लिए \(c=-5\) भी चाहिए। इसलिए केवल \(y=3x-5\) सही है। परीक्षा टिप: \(m\) और स्थिर पद अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. A parallel line needs slope \(3\), and the same intercept requires \(c=-5\). Thus only \(y=3x-5\) fits. Exam tip: check slope and constant separately.
दिया गया बिंदु \((-2,3)\) रेखा \(y=mx+9\) पर स्थित है। इसलिए \(x=-2\) और \(y=3\) रखने पर \(3=-2m+9\) मिलता है। अतः \(-2m=-6\), इसलिए \(m=3\)। विकल्प \(-3\) लेने पर बिंदु के लिए \(y=15\) आता है, जो गलत है। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए दिए गए बिंदु के \(x\) और \(y\) मानों को रेखा के समीकरण में रखें। / The point \((-2,3)\) lies on the line \(y=mx+9\). Substituting \(x=-2\) and \(y=3\) gives \(3=-2m+9\). Hence, \(-2m=-6\), so \(m=3\). If \(-3\) is used, the point gives \(y=15\), so it is incorrect. Exam tip: To find an unknown slope, substitute the coordinates of the given point into the line equation.
\(y=\frac{a-4}{2}x+8\) होगा, इसलिए ढाल \(\frac{a-4}{2}\) है। \(\frac{a-4}{2}=3\) से (a=10) मिलता है। / \(y=\frac{a-4}{2}x+8\), so the slope is \(\frac{a-4}{2}\). From \(\frac{a-4}{2}=3\), (a=10).
रेखा का रूप \(y=mx+c\) है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। विकल्प A में दोनों का \(c=5\) है, जबकि ढालें \(2\) और \(-3\) हैं। परीक्षा में स्थिर पद देखकर y-अवरोध पहचानें। / A line has the form \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In A, both lines have \(c=5\), but their slopes are \(2\) and \(-3\). Exam tip: compare constant terms first.
रेखा की ढाल \(\frac{3}{4}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक 4 इकाई की वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई बढ़ता है। यहाँ \(\Delta x=16-4=12\) है। इसलिए \(\Delta y=\frac{3}{4}\times12=9\)। अतः \(y\) में 9 की वृद्धि होती है। 12, \(x\) का परिवर्तन है, \(y\) का नहीं। परीक्षा टिप: कुल परिवर्तन के लिए \(\Delta y=m\Delta x\) का प्रयोग करें; स्थिर पद \(-8\) परिवर्तन को प्रभावित नहीं करता। / The slope is \(\frac{3}{4}\), so for every increase of 4 units in \(x\), \(y\) increases by 3 units. Here, \(\Delta x=16-4=12\). Therefore, \(\Delta y=\frac{3}{4}\times12=9\). Hence, \(y\) increases by 9. Note that 12 is the change in \(x\), not in \(y\). Exam tip: use \(\Delta y=m\Delta x\) for total change; the constant term \(-8\) does not affect the change.
रेखा का ढाल \(-\frac{5}{6}\) है, इसलिए \(x\) में प्रत्येक 6 इकाई की वृद्धि पर \(y\) 5 इकाई घटता है। यहाँ \(\Delta x=18\) है, अतः \(\Delta y=-\frac{5}{6}\times18=-15\)। इसलिए \(y\) कुल \(15\) इकाई घटेगा। \(20\) रेखा का y-अवरोध है, परिवर्तन नहीं। परीक्षा टिप: कुल परिवर्तन ज्ञात करने के लिए हमेशा ढाल को \(\Delta x\) से गुणा करें। / The slope is \(-\frac{5}{6}\), so for every increase of 6 units in \(x\), \(y\) decreases by 5 units. Here, \(\Delta x=18\), so \(\Delta y=-\frac{5}{6}\times18=-15\). Therefore, \(y\) decreases by \(15\) units in total. The value \(20\) is the y-intercept, not the change in \(y\). Exam tip: find total change by multiplying the slope by \(\Delta x\).
A. ढाल −3 तथा y-अवरोध 9/Slope −3 and y-intercept 9
Explanation
Simple Explanation
दिए गए समीकरण को y के लिए हल करें: 9x+3y−27=0, अतः 3y=−9x+27 और y=−3x+9। रूप y=mx+c में m ढाल तथा c y-अवरोध होता है। इसलिए ढाल −3 और y-अवरोध 9 है। विकल्प B में y-अवरोध सही है, लेकिन ढाल का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को y=mx+c के रूप में लिखकर m और c पहचानें। / Solve the given equation for y: 9x+3y−27=0, so 3y=−9x+27 and y=−3x+9. In the form y=mx+c, m is the slope and c is the y-intercept. Therefore, the slope is −3 and the y-intercept is 9. Option B has the correct intercept but the wrong sign for the slope. Exam tip: Rewrite the equation in y=mx+c form before identifying m and c.
\(y=mx+c\) में \(m\) रेखा की ढाल है। समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है; यहाँ \(m=-3\) है। विकल्प A की ढाल \(-3\) और अवरोध अलग है, इसलिए यह भिन्न समानांतर रेखा है। विकल्प D वही रेखा है। परीक्षा टिप: पहले \(x\) का गुणांक मिलाइए। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope. Parallel lines have equal slopes; the given line has slope \(-3\). Option A also has slope \(-3\) but a different intercept, so it is distinct. Option D is the same line. Exam tip: compare the coefficient of \(x\) first.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल होती है। पहली रेखा की ढाल \(p+1\) और दूसरी की ढाल \(6\) है। समान ढाल के लिए \(p+1=6\), अतः \(p=5\)। विकल्प 6 लेने पर पहली ढाल 7 हो जाएगी, जो 6 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: ढाल की तुलना करते समय \(x\) के गुणांक को पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) represents the slope. The slopes of the first and second lines are \(p+1\) and \(6\), respectively. For equal slopes, \(p+1=6\), so \(p=5\). If 6 were chosen, the first slope would be 7, not 6. Exam tip: identify the coefficient of \(x\) when comparing slopes.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में स्थिर पद \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। पहली रेखा \(y=-4x+q\) का \(y\)-अवरोध \(q\) है, जबकि दूसरी रेखा \(y=7x-2\) का \(y\)-अवरोध \(-2\) है। दोनों अवरोध समान होने पर \(q=-2\) होगा। \(-4\) पहली रेखा का ढाल है, \(y\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। / In the form \(y=mx+c\), the constant term \(c\) is the \(y\)-intercept. The \(y\)-intercept of \(y=-4x+q\) is \(q\), while that of \(y=7x-2\) is \(-2\). Since the intercepts are equal, \(q=-2\). Note that \(-4\) is the slope of the first line, not its \(y\)-intercept. Exam tip: put \(x=0\) to find a \(y\)-intercept.
रेखा का रूप y=mx+c होता है, जहाँ c y-अवरोध है। मूल बिंदु (0,0) से गुजरने वाली रेखा के लिए y-अवरोध 0 होना चाहिए। अतः r+1=0, इसलिए r=-1। उदाहरण के लिए, r=1 रखने पर y-अवरोध 2 होगा, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: मूल बिंदु के प्रश्न में सीधे x=0 और y=0 रखकर जाँच करें। / A line has the form y=mx+c, where c is its y-intercept. For the line to pass through the origin (0,0), its y-intercept must be 0. Hence, r+1=0, so r=-1. For example, if r=1, the y-intercept is 2, so that option is incorrect. Exam tip: In questions involving the origin, directly substitute x=0 and y=0.
समीकरण (y=(a-2)x+a) को ढाल-अवरोध रूप में देखें। यहाँ ढाल (a-2) और y-अवरोध a है। दोनों बराबर होने पर (a-2=a) होना चाहिए। दोनों पक्षों से a घटाने पर (-2=0) मिलता है, जो असंभव है। इसलिए a का कोई मान नहीं है। 0, 1 या 2 रखने पर भी ढाल y-अवरोध से 2 कम ही रहती है। परीक्षा टिप: y=mx+c में x का गुणांक ढाल और स्थिर पद y-अवरोध होता है। / Write the equation in slope-intercept form. In (y=(a-2)x+a), the slope is (a-2) and the y-intercept is a. If they were equal, then (a-2=a). Subtracting a from both sides gives (-2=0), which is impossible. Hence, no value of a satisfies the condition. Even for 0, 1, or 2, the slope remains 2 less than the y-intercept. Exam tip: in y=mx+c, the coefficient of x is the slope and the constant term is the y-intercept.
बिंदु \((1,5)\) को रेखा \(y=2x+b\) में रखने पर \(5=2(1)+b\) मिलता है। अतः \(b=5-2=3\)। जाँच के लिए, \(x=3\) रखने पर \(y=2(3)+3=9\) आता है, इसलिए दूसरा बिंदु \((3,9)\) भी संतुष्ट होता है। \(2\) रेखा का ढाल है, जबकि \(b\) y-अवरोध है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के \(x,y\) मानों को रेखा के समीकरण में रखकर अज्ञात नियतांक ज्ञात करें। / Substitute the point \((1,5)\) into \(y=2x+b\): \(5=2(1)+b\). Hence, \(b=5-2=3\). To verify, when \(x=3\), \(y=2(3)+3=9\), so the second point \((3,9)\) is also satisfied. Here, \(2\) is the slope, whereas \(b\) is the y-intercept. Exam tip: Substitute the coordinates of a given point into the line equation to find an unknown constant.
\(x=-4\) में x का मान स्थिर है, इसलिए यह y-अक्ष के समानांतर ऊर्ध्वाधर रेखा है। यह y-अक्ष \(x=0\) को नहीं काटती। \(y=-4\) क्षैतिज रेखा है। परीक्षा टिप: \(x=a\) हमेशा ऊर्ध्वाधर रेखा दर्शाता है। / In \(x=-4\), the x-coordinate is fixed, so the graph is a vertical line parallel to the y-axis. It cannot meet the y-axis, where \(x=0\). In contrast, \(y=-4\) is horizontal. Exam tip: \(x=a\) always represents a vertical line.
रेखा के समीकरण \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध स्थिर पद \(c\) होता है। पहली रेखा का \(y\)-अवरोध \(-4\) और दूसरी रेखा का \(y\)-अवरोध \(k-1\) है। समान अवरोध के लिए \(k-1=-4\), अतः \(k=-3\)। \(-2\) रखने पर दूसरा अवरोध \(-3\) होगा, जो \(-4\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध पहचानने के लिए \(x=0\) रखें। / In the form \(y=mx+c\), the constant term \(c\) is the \(y\)-intercept. The first line has \(y\)-intercept \(-4\), while the second has \(k-1\). For equal intercepts, \(k-1=-4\), so \(k=-3\). If \(-2\) were used, the second intercept would be \(-3\), not \(-4\). Exam tip: set \(x=0\) to identify a \(y\)-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल होता है। पहली रेखा की ढाल \(m-1\) तथा दूसरी रेखा की ढाल \(2\) है। समान ढालों के लिए \(m-1=2\), अतः \(m=3\)। विकल्प 2 लेने पर पहली ढाल \(1\) होगी, जो दूसरी रेखा की ढाल के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करते समय \(x\) के गुणांक को सीधे पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope. The slopes of the first and second lines are \(m-1\) and \(2\), respectively. Equal slopes give \(m-1=2\), so \(m=3\). If 2 were chosen, the first slope would be 1, not equal to the second slope. Exam tip: identify the coefficient of \(x\) directly to find the slope.
रेखा \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोधक होता है। विकल्प A में \(m=-2\) ऋणात्मक तथा \(c=5\) धनात्मक है। विकल्प C का ढाल तो ऋणात्मक है, पर उसका अवरोधक ऋणात्मक है। परीक्षा में \(x\) के गुणांक और स्थिरांक के चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, \(m=-2\) is negative while \(c=5\) is positive. Option C has a negative slope too, but its intercept is negative. Exam tip: check the signs of the x-coefficient and constant separately.
रेखा की ढाल \(\frac{5}{2}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक 2 इकाई वृद्धि पर \(y\) में 5 इकाई वृद्धि होती है। इसलिए \(\Delta y=\frac{5}{2}\Delta x\) होगा। \(20=\frac{5}{2}\Delta x\) से \(\Delta x=20\times\frac{2}{5}=8\) मिलता है। विकल्प 10 लेने पर \(y\) में वृद्धि 25 होती, 20 नहीं। परीक्षा टिप: रेखा \(y=mx+c\) में परिवर्तन के प्रश्नों के लिए \(\Delta y=m\Delta x\) प्रयोग करें। / The slope is \(\frac{5}{2}\), meaning that an increase of 2 units in \(x\) increases \(y\) by 5 units. Hence, \(\Delta y=\frac{5}{2}\Delta x\). Putting \(\Delta y=20\), we get \(20=\frac{5}{2}\Delta x\), so \(\Delta x=20\times\frac{2}{5}=8\). If \(x\) increased by 10, \(y\) would increase by 25, not 20. Exam tip: For a line \(y=mx+c\), use \(\Delta y=m\Delta x\) in change-based questions.
B. रेखा घटती है और y-अवरोध धनात्मक है/The line decreases and the y-intercept is positive
Explanation
Simple Explanation
रेखा का समीकरण y=px+q के रूप में है, जहाँ p ढाल और q y-अवरोध होता है। p=-4 ऋणात्मक है, इसलिए x बढ़ने पर y घटता है; अतः रेखा घटती है। q=9 धनात्मक है, इसलिए रेखा y-अक्ष को मूल बिंदु के ऊपर काटती है। विकल्प C गलत है क्योंकि क्षैतिज रेखा के लिए ढाल 0 होनी चाहिए। परीक्षा टिप: p का चिन्ह रेखा के बढ़ने या घटने को बताता है, जबकि q का चिन्ह y-अवरोध की स्थिति बताता है। / In y=px+q, p is the slope and q is the y-intercept. Since p=-4 is negative, y decreases as x increases, so the line decreases. Since q=9 is positive, the line cuts the y-axis above the origin. Option C is incorrect because a horizontal line must have slope 0. Exam tip: use the sign of p to identify whether the line rises or falls, and the sign of q to locate the y-intercept.
\(x=-3\) में x का मान स्थिर है, इसलिए यह y-अक्ष के समानांतर ऊर्ध्वाधर रेखा है। यह y-अक्ष \((x=0)\) को नहीं काटती। \(x=0\) स्वयं y-अक्ष है। परीक्षा टिप: स्थिर x वाली रेखा का ढाल अपरिभाषित होता है। / In \(x=-3\), the x-coordinate stays fixed, so the graph is a vertical line parallel to the y-axis. It cannot meet the y-axis, where \(x=0\). In contrast, \(x=0\) is the y-axis itself. Exam tip: a constant-x line has undefined slope.
दी गई रेखा को \(y=-\frac{3}{2}x+4\) लिखने पर ढाल \(-\frac{3}{2}\) और \(y\)-अवरोध 4 मिलता है। लम्बवत रेखा की ढाल \(\frac{2}{3}\) होगी, इसलिए \(y=\frac{2}{3}x+4\), अर्थात विकल्प C। विकल्प B का अवरोध 4 है, पर उसकी ढाल \(-\frac{2}{3}\) है। परीक्षा टिप: लम्बवत ढालों का गुणनफल \(-1\) होता है। / Writing the given line as \(y=-\frac{3}{2}x+4\) gives slope \(-\frac{3}{2}\) and y-intercept 4. A perpendicular line has slope \(\frac{2}{3}\), so \(y=\frac{2}{3}x+4\), which is option C. Option B has intercept 4 but slope \(-\frac{2}{3}\). Exam tip: perpendicular slopes multiply to \(-1\).
रेखा का रूप y=mx+c होता है, जहाँ y-अवरोध c होता है। यहाँ 2n+1=11, अतः 2n=10 और n=5। इसलिए ढाल n-5=5-5=0 है। विकल्प 1 ढाल नहीं हो सकता, क्योंकि n=5 रखने पर x का गुणांक शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: y=mx+c में x का गुणांक हमेशा ढाल होता है। / A line in the form y=mx+c has y-intercept c. Here, 2n+1=11, so 2n=10 and n=5. Therefore, the slope is n-5=5-5=0. Option 1 cannot be the slope because substituting n=5 makes the coefficient of x zero. Exam tip: In y=mx+c, the coefficient of x is always the slope.
रेखा का रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ ढाल \(r+4\) है। इसलिए \(r+4=1\), जिससे \(r=-3\) मिलता है। अतः \(y\)-अवरोध \(r-2=-3-2=-5\) है। विकल्प \(-3\), \(r\) का मान है, \(y\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: पहले ढाल से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर स्थिर पद में उसका मान रखें। / A line in the form \(y=mx+c\) has slope \(m\) and y-intercept \(c\). Here, the slope is \(r+4\). Thus, \(r+4=1\), giving \(r=-3\). Therefore, the y-intercept is \(r-2=-3-2=-5\). Note that \(-3\) is the value of \(r\), not the y-intercept. Exam tip: first find the parameter from the slope, then substitute it into the constant term.
जब \(x\) में \(2\) की वृद्धि पर \(y\) में \(10\) की वृद्धि होती है, तो ढाल \(m=\frac{10}{2}=5\) होगी। रेखा \((0,-6)\) पर \(y\)-अक्ष को काटती है, इसलिए \(y\)-अवरोध \(b=-6\) है। अतः \(y=mx+b\) से समीकरण \(y=5x-6\) मिलता है। विकल्प \(y=10x-6\) का अवरोध सही है, पर उसकी ढाल \(10\) है। परीक्षा टिप: पहले परिवर्तन से ढाल और फिर \(x=0\) से \(y\)-अवरोध पहचानें। / An increase of \(10\) in \(y\) for an increase of \(2\) in \(x\) gives the slope \(m=\frac{10}{2}=5\). Since the line crosses the \(y\)-axis at \((0,-6)\), its \(y\)-intercept is \(b=-6\). Using \(y=mx+b\), the equation is \(y=5x-6\). The option \(y=10x-6\) has the correct intercept but an incorrect slope of \(10\). Exam tip: find the slope from the rate of change first, then identify the intercept by putting \(x=0\).
जब \(x\) में 3 की वृद्धि पर \(y\) 12 घटता है, तो ढाल \(m=\frac{-12}{3}=-4\) होगी। रेखा \((0,9)\) पर \(y\)-अक्ष को काटती है, इसलिए \(y\)-अवरोध \(9\) है। अतः समीकरण \(y=-4x+9\) है। विकल्प A की ढाल धनात्मक है, जबकि यहाँ \(y\) घट रहा है। परीक्षा टिप: परिवर्तन की दर से ढाल निकालते समय कमी के लिए ऋण चिह्न अवश्य लगाएँ। / When \(x\) increases by 3 and \(y\) decreases by 12, the slope is \(m=\frac{-12}{3}=-4\). Since the line cuts the \(y\)-axis at \((0,9)\), its \(y\)-intercept is 9. Therefore, its equation is \(y=-4x+9\). Option A has a positive slope, but \(y\) is decreasing here. Exam tip: Use a negative sign for the slope whenever the dependent variable decreases.
A. रेखा बाएँ से दाएँ नीचे जाती है और y-अक्ष को \((0,4)\) पर काटती है।/The line falls from left to right and intersects the y-axis at \((0,4)\).
Explanation
Simple Explanation
\(y=mx+c\) में \(m=-\frac{2}{3}\) ऋणात्मक है, इसलिए रेखा बाएँ से दाएँ नीचे जाती है। \(c=4\) होने से y-अवरोध \((0,4)\) है। परीक्षा टिप: \(m\) दिशा और \(c\) y-अवरोध बताता है। / In \(y=mx+c\), \(m=-\frac{2}{3}\) is negative, so the line falls from left to right. Since \(c=4\), its y-intercept is \((0,4)\). Exam tip: use \(m\) for direction and \(c\) for the y-intercept.
रेखा के रूप y = mx + c में y-अवरोध स्थिर पद c होता है। यहाँ y-अवरोध t + 4 है। t + 4 = 10 से t = 6 मिलता है। अतः ढाल 2t - 3 = 2(6) - 3 = 9 है। विकल्प 6, t का मान है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x = 0 रखें। / In the form y = mx + c, the y-intercept is the constant term c. Here, the y-intercept is t + 4. From t + 4 = 10, we get t = 6. Therefore, the slope is 2t - 3 = 2(6) - 3 = 9. Option 6 is the value of t, not the slope. Exam tip: set x = 0 to identify the y-intercept.
A. (y)-अवरोध (5), ढाल \(-\frac{2}{5}\)/(y)-intercept (5), slope \(-\frac{2}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
(5y=-2x+25) से \(y=-\frac{2}{5}x+5\) मिलता है। इसलिए (y)-अवरोध (5) और ढाल \(-\frac{2}{5}\) है। / From (5y=-2x+25), \(y=-\frac{2}{5}x+5\). So the (y)-intercept is (5) and slope is \(-\frac{2}{5}\).
रेखा (y=mx+c) में (y)-अवरोध c होता है, क्योंकि (y)-अक्ष पर x=0 होता है। पहली रेखा का (y)-अवरोध b और दूसरी रेखा का (y)-अवरोध 4 है। एक ही बिंदु पर (y)-अक्ष को काटने के लिए b=4 होना चाहिए। 3x और -2x ढाल हैं, इसलिए वे (y)-अवरोध निर्धारित नहीं करते। परीक्षा टिप: (y)-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखें। / In the line (y=mx+c), c is the y-intercept because x=0 on the y-axis. The first line has y-intercept b, while the second has y-intercept 4. For both lines to meet the y-axis at the same point, b=4. The terms 3x and -2x represent slopes, so they do not determine the y-intercept. Exam tip: put x=0 to find a y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल होता है। दोनों रेखाओं की ढाल समान है, इसलिए \(a=4\)। पहली रेखा में \(x=2\) रखने पर \(y=4\times2-5=3\) मिलता है। विकल्प 4 ढाल का मान है, \(y\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: पहले ढालों की तुलना करके अज्ञात गुणांक ज्ञात करें, फिर दिए गए \(x\) का मान रखें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope. Since the two lines have equal slopes, \(a=4\). Substituting \(x=2\) in the first line gives \(y=4\times2-5=3\). Option 4 is the value of the slope, not the value of \(y\). Exam tip: first equate the slopes to find the unknown coefficient, then substitute the given value of \(x\).
रेखा के रूप y=-7x+c में y-अवरोध c होता है। दिया है कि y-अवरोध 3 है, इसलिए c=3। अब x=-2 रखने पर y=-7(-2)+3=14+3=17। अतः सही विकल्प 17 है। 14 केवल -7(-2) का मान है; इसमें y-अवरोध 3 जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: y-अवरोध दिए होने पर उसे स्थिर पद c के बराबर रखें। / In the form y=-7x+c, the y-intercept is c. Since the y-intercept is 3, c=3. Substituting x=-2 gives y=-7(-2)+3=14+3=17. Hence, 17 is correct. The value 14 comes only from -7(-2); the y-intercept 3 must also be added. Exam tip: When the y-intercept is given, use it as the constant term c.
C. यह \(y\)-अक्ष के समानांतर है और इसका ढाल अपरिभाषित है।/It is parallel to the \(y\)-axis and has an undefined slope.
Explanation
Simple Explanation
\(3x-6=0\) से \(x=2\) मिलता है। स्थिर \(x\)-मान वाली रेखा ऊर्ध्वाधर होती है, इसलिए वह \(y\)-अक्ष के समानांतर और उसका ढाल अपरिभाषित होता है। परीक्षा-टिप: \(x=c\) दिखे तो undefined slope पहचानें। / From \(3x-6=0\), we get \(x=2\). A line with a constant \(x\)-value is vertical, so it is parallel to the \(y\)-axis and has an undefined slope. Exam tip: whenever \(x=c\), identify the slope as undefined.
रेखा की ढाल \,\(-(p+1)\) है। \(x\) में 3 की वृद्धि पर \(y\) में 15 की कमी होने से ढाल \(\frac{-15}{3}=-5\) होगी। अतः \(-(p+1)=-5\), इसलिए \(p+1=5\) और \(p=4\)। विकल्प 5 तब मिलता यदि \(p+1\) को ही उत्तर मान लिया जाए। परीक्षा टिप: परिवर्तन वाले प्रश्नों में ढाल हमेशा \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) से निकालें। / The slope of the line is \(-(p+1)\). Since an increase of 3 in \(x\) causes a decrease of 15 in \(y\), the slope is \(\frac{-15}{3}=-5\). Therefore, \(-(p+1)=-5\), so \(p+1=5\) and \(p=4\). Option 5 would result from incorrectly taking \(p+1\) as the answer. Exam tip: for change-based questions, find the slope using \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। \(y=-2x\) में \(m=-2\) तथा \(c=0\) है, इसलिए यह मूलबिंदु से गुजरती है। परीक्षा टिप: \(c=0\) होने पर रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For \(y=-2x\), \(m=-2\) and \(c=0\), so it passes through the origin. Exam tip: check \(c=0\) first for an origin-passing line.
दिया है कि \(m+c=10\) और \(c=4\)। \(c\) का मान रखने पर \(m+4=10\) मिलता है, इसलिए \(m=6\)। रेखीय समीकरण \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल को दर्शाता है, अतः सही उत्तर 6 है। 4 केवल \(c\) अर्थात y-अवरोध है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल हमेशा \(x\) के गुणांक \(m\) से मिलती है। / Given \(m+c=10\) and \(c=4\), substitute the value of \(c\): \(m+4=10\). Hence, \(m=6\). In the linear equation \(y=mx+c\), \(m\) represents the slope, so the correct answer is 6. The value 4 is only \(c\), the y-intercept, not the slope. Exam tip: in \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), \(m\), is the slope.
रेखा के रूप y=mx+c में m ढाल तथा c, y-अवरोध होता है। दी गई ढाल से m=-3 है। अब m+c=5 में मान रखने पर -3+c=5, अतः c=8 मिलता है। इसलिए y-अवरोध 8 है। -8 चिन्ह की गलती से मिल सकता है; -3 को दूसरी ओर ले जाने पर उसमें 3 जुड़ता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए c को अकेला करके निकालें। / In the form y=mx+c, m is the slope and c is the y-intercept. Given m=-3, substitute it into m+c=5: -3+c=5, so c=8. Therefore, the y-intercept is 8. The value -8 can result from a sign error; moving -3 to the other side means adding 3. Exam tip: isolate c to find the y-intercept.
