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B. (a) एक पूर्ण वर्ग नहीं है/(a) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
यदि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{a}\) अपरिमेय हो सकता है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / If (a) is not a perfect square then \(\sqrt{a}\) can be irrational. In exams first identify perfect squares.
\(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) होता है। \(\sqrt{2}\) बचने से यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\) remains, it is irrational.
\( \sqrt{25}=5 \) है और (5) परिमेय है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। / \( \sqrt{25}=5 \), and (5) is rational. The square root of a perfect square is rational.
(13) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। अपरिमेय संख्या \( \frac{p}{q} \) के रूप में नहीं लिखी जाती। / (13) is not a perfect square, so \( \sqrt{13} \) is irrational. An irrational number cannot be written as \( \frac{p}{q} \).
\( \sqrt{49}=7 \) है और (7) परिमेय है। पूर्ण वर्ग देखकर वर्गमूल का प्रकार तय करें। / \( \sqrt{49}=7 \), and (7) is rational. Use perfect squares to decide the type of square root.
(8) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{8} \) अपरिमेय है। वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह देखें। / (8) is not a perfect square, so \( \sqrt{8} \) is irrational. Check whether the number under the radical is a perfect square.
(15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{15} \) अपरिमेय है। आवर्ती दशमलव को अपरिमेय न मानें। / (15) is not a perfect square, so \( \sqrt{15} \) is irrational. Do not treat recurring decimals as irrational.
\( \sqrt{81}=9 \) है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल याद रखें। / \( \sqrt{81}=9 \), so it is a rational number. Remember square roots of perfect squares.
\( \sqrt{6} \) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। अपरिमेय संख्या का दशमलव न समाप्त होता है न दोहरता है। / \( \sqrt{6} \) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. An irrational decimal neither terminates nor repeats.
(50) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{50} \) अपरिमेय है। केवल पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / (50) is not a perfect square, so \( \sqrt{50} \) is irrational. Only the square root of a perfect square is an integer.
B. \( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{3} \)/\( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{3} \)
Explanation
Simple Explanation
(2) और (3) पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए \( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{3} \) अपरिमेय हैं। अपूर्ण वर्गों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं। / (2) and (3) are not perfect squares, so \( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{3} \) are irrational. Square roots of non-perfect squares are irrational.
\(0.6=\frac{3}{5}\) है, इसलिए परिमेय है। सांत दशमलव अपरिमेय नहीं होता। / \(0.6=\frac{3}{5}\), so it is rational. A terminating decimal is not irrational.
\( \sqrt{121}=11 \) है, इसलिए यह परिमेय है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / \( \sqrt{121}=11 \), so it is rational. The square root of a perfect square is an integer.
\( \sqrt{18} \) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / \( \sqrt{18} \) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating non-recurring. Recurring decimals are rational.
\( \sqrt{14} \) अपरिमेय है और हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या भी होती है। वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों आते हैं। / \( \sqrt{14} \) is irrational, and every irrational number is also real. Real numbers include both rational and irrational numbers.
(27) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{27} \) अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों और अपूर्ण वर्गों में फर्क करें। / (27) is not a perfect square, so \( \sqrt{27} \) is irrational. Distinguish perfect squares from non-perfect squares.
\( \sqrt{0.04}=0.2 \) है और (0.2) परिमेय है। दशमलव पूर्ण वर्गों को भी पहचानें। / \( \sqrt{0.04}=0.2 \), and (0.2) is rational. Identify decimal perfect squares too.
\(0.\overline{45}\) असांत आवर्ती दशमलव है, इसलिए परिमेय है। आवर्ती दशमलव को अपरिमेय न मानें। / \(0.\overline{45}\) is a non-terminating recurring decimal, so it is rational. Do not treat recurring decimals as irrational.
(32) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \( \sqrt{32} \) अपरिमेय है। वर्गमूल देखते समय पूर्ण वर्ग जांचें। / (32) is not a perfect square, so \( \sqrt{32} \) is irrational. Check perfect squares when seeing a square root.
\( \sqrt{26} \) अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल है, इसलिए अपरिमेय है। \( \frac{22}{7} \) परिमेय है, \( \pi \) नहीं। / \( \sqrt{26} \) is the square root of a non-perfect square, so it is irrational. \( \frac{22}{7} \) is rational, but \( \pi \) is not.
अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार असांत अनावर्ती होता है। यह परीक्षा में सबसे महत्वपूर्ण पहचान है। / The decimal expansion of an irrational number is non-terminating non-recurring. This is a key exam identification.
\( \sqrt{0.09}=0.3 \) है और (0.3) परिमेय है। दशमलव वर्गों के वर्गमूल भी परिमेय हो सकते हैं। / \( \sqrt{0.09}=0.3 \), and (0.3) is rational. Square roots of decimal squares can also be rational.
\(0.4040040004\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या को दर्शाता है। / \(0.4040040004\ldots\) has no fixed repetition. Such a decimal represents an irrational number.
\( \sqrt{1}=1 \) है और (1) परिमेय है। सबसे छोटे पूर्ण वर्गों को भी ध्यान में रखें। / \( \sqrt{1}=1 \), and (1) is rational. Remember even the smallest perfect squares.
A. \( \sqrt{4} \) और \( \sqrt{7} \)/\( \sqrt{4} \) and \( \sqrt{7} \)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{4}=2 \) परिमेय है और \( \sqrt{7} \) अपरिमेय है। जोड़ी में दोनों संख्याओं का प्रकार अलग-अलग जांचें। / \( \sqrt{4}=2 \) is rational and \( \sqrt{7} \) is irrational. Check the type of both numbers in a pair.
\( \sqrt{5} \) लगभग (2) और (3) के बीच है और अपरिमेय है। अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल अच्छा उदाहरण होता है। / \( \sqrt{5} \) lies approximately between (2) and (3) and is irrational. A square root of a non-perfect square is a good example.
परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। (3) परिमेय है और \( \sqrt{2} \) अपरिमेय है। / Adding a rational number to an irrational number gives an irrational number. (3) is rational and \( \sqrt{2} \) is irrational.
गैर-शून्य परिमेय संख्या (5) को अपरिमेय \( \sqrt{3} \) से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। गुणन में शून्य का मामला अलग होता है। / Multiplying non-zero rational (5) by irrational \( \sqrt{3} \) gives an irrational number. The zero case is different.
A. पूर्ण वर्ग का वर्गमूल/Square root of a perfect square
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, इसलिए परिमेय होता है। जैसे \( \sqrt{64}=8 \)। / The square root of a perfect square is an integer, so it is rational. For example, \( \sqrt{64}=8 \).
\( \sqrt{20} \) अपरिमेय है और सभी अपरिमेय संख्याएं वास्तविक होती हैं। वास्तविक लेकिन परिमेय नहीं होने का अर्थ अपरिमेय है। / \( \sqrt{20} \) is irrational and all irrational numbers are real. Real but not rational means irrational.
\( \sqrt{3} \) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होता है। अपरिमेय संख्या का दशमलव कभी आवर्ती नहीं होता। / \( \sqrt{3} \) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. The decimal of an irrational number is never recurring.
A. \( \sqrt{6} \), \( \sqrt{10} \), \( \sqrt{11} \)
Explanation
Simple Explanation
(6), (10) और (11) पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए तीनों वर्गमूल अपरिमेय हैं। सभी संख्याओं को अलग-अलग जांचें। / (6), (10), and (11) are not perfect squares, so all three square roots are irrational. Check each number separately.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{2}=2 \) है, इसलिए परिमेय है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणन हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{2}=2 \), so it is rational. The product of two irrational numbers is not always irrational.
\(28=4\times7\), इसलिए \( \sqrt{28}=2\sqrt{7} \) है। वर्गमूल सरल करने में पूर्ण वर्ग अलग करें। / \(28=4\times7\), so \( \sqrt{28}=2\sqrt{7} \). Separate perfect-square factors while simplifying square roots.
\(18=9\times2\), इसलिए \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \) है। पूर्ण वर्ग (9) को वर्गमूल से बाहर निकालें। / \(18=9\times2\), so \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). Take the perfect square (9) out of the radical.
(2) परिमेय है और \( \sqrt{5} \) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परिमेय में अपरिमेय जोड़ने से अपरिमेय मिलता है। / (2) is rational and \( \sqrt{5} \) is irrational, so the sum is irrational. Adding rational and irrational gives irrational.
समान पद जोड़ने पर \( \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} \) होता है। समान वर्गमूलों को बीजीय पदों की तरह जोड़ें। / Adding like terms gives \( \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} \). Add like radicals like algebraic terms.
\(12=4\times3\), इसलिए \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) है। वर्गमूल में पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / \(12=4\times3\), so \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \). Take the perfect-square factor out of the radical.
\(48=16\times3\), इसलिए \( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालने से उत्तर सरल मिलता है। / \(48=16\times3\), so \( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \). Taking out the largest perfect square gives the simplest answer.
\( \sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6 \) है, इसलिए परिमेय है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणन हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \( \sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6 \), so it is rational. The product of two irrational numbers is not always irrational.
\(72=36\times2\), इसलिए \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \) है। पूर्ण वर्ग (36) को वर्गमूल से बाहर निकालें। / \(72=36\times2\), so \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \). Take the perfect square (36) out of the radical.
\( \sqrt{11} \) अपरिमेय है और उसका ऋणात्मक भी अपरिमेय रहता है। चिन्ह बदलने से संख्या का परिमेय-अपरिमेय प्रकार नहीं बदलता। / \( \sqrt{11} \) is irrational, and its negative remains irrational. Changing the sign does not change rational or irrational type.
\(1.01001000100001\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं है और यह समाप्त भी नहीं होता। ऐसा दशमलव अपरिमेय होता है। / \(1.01001000100001\ldots\) has no fixed repetition and does not terminate. Such a decimal is irrational.
\( \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \) है, इसलिए यह अपरिमेय है। हर में अपरिमेय हो तो पहले सरल रूप सोचें। / \( \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \), so it is irrational. If the denominator is irrational, first think of the simplified form.
परिमेय संख्या (4) में से अपरिमेय \( \sqrt{6} \) घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। परिमेय और अपरिमेय का योग या अंतर सामान्यतः अपरिमेय होता है। / Subtracting irrational \( \sqrt{6} \) from rational (4) gives an irrational number. The sum or difference of rational and irrational is generally irrational.
\(108=36\times3\), इसलिए \( \sqrt{108}=6\sqrt{3} \) है। वर्गमूल सरल करते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें। / \(108=36\times3\), so \( \sqrt{108}=6\sqrt{3} \). While simplifying radicals, take out the largest perfect square.
(9<13<16), इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\) और (13) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। / Since (9<13<16), \(3<\sqrt{13}<4\), and (13) is not a perfect square. Therefore, \( \sqrt{13} \) is irrational.
\( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \), इसलिए \( \frac{\sqrt{18}}{3}=\sqrt{2} \) है। पहले वर्गमूल सरल करें और फिर समान गुणक काटें। / \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \), so \( \frac{\sqrt{18}}{3}=\sqrt{2} \). First simplify the radical and then cancel common factors.
