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First find the identity. Since (a*0=a), the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
Put (2*x=0). Then \(2+x+2x=0\Rightarrow 3x=-2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}\).
Step 3
Exam Tip
In exams, always identify the identity before finding an inverse. चरण 1: पहले तत्समक अवयव निकालते हैं। (a*0=a), इसलिए तत्समक (0) है। चरण 2: (2*x=0) रखने पर \(2+x+2x=0\Rightarrow 3x=-2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}\)। चरण 3: परीक्षा में पहले तत्समक अवयव जरूर पहचानें, फिर प्रतिलोम निकालें।
For operations like (a+b-c), compare directly to find the identity. चरण 1: (a*e=a) से (a+e-1=a), अतः (e=1)। चरण 2: (7*x=1) रखने पर \(7+x-1=1\Rightarrow x=-5\)। चरण 3: (a+b-c) जैसी क्रियाओं में तत्समक अवयव सीधे तुलना से मिल जाता है।
Here ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) and (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), which are not equal in general.
Step 3
Exam Tip
A small counterexample is a quick way to disprove associativity. चरण 1: साहचर्य के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) होना चाहिए। चरण 2: ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) और (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्य रूप से बराबर नहीं होते। चरण 3: एक छोटा प्रतिउदाहरण साहचर्य को खारिज करने का तेज तरीका है।
Adding (0) leaves every element unchanged, so the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(3*x=0) means (3+x) must have remainder (0) on division by (4). With (x=1), the sum is (4).
Step 3
Exam Tip
In remainder operations, the inverse makes the sum a multiple of the modulus. चरण 1: इस क्रिया में (0) जोड़ने पर वही अवयव मिलता है, इसलिए तत्समक (0) है। चरण 2: (3*x=0) का अर्थ है (3+x) का (4) से शेषफल (0) हो। (x=1) रखने पर (4) का शेषफल (0) है। चरण 3: शेषफल वाली क्रिया में प्रतिलोम वही अवयव है जो योग को गुणज बना दे।
One valid counterexample is enough to disprove commutativity. चरण 1: क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। चरण 2: \(2*3=2^3=8\), जबकि \(3*2=3^2=9\), दोनों बराबर नहीं हैं। चरण 3: एक सही प्रतिउदाहरण पूरे दावे को गलत सिद्ध कर देता है।
For unknown-constant questions, directly use the given operation value. चरण 1: दी हुई क्रिया में (a=2), (b=3) रखें। चरण 2: \(2*3=2+3+6k=11\Rightarrow 6k=6\Rightarrow k=1\)। चरण 3: अज्ञात नियतांक वाले प्रश्नों में पहले दिए गए मान को सीधे क्रिया में रखें।
(a+e-2ae=a\Rightarrow e(1-2a)=0). This is true for every (a) when (e=0).
Step 3
Exam Tip
An identity must work for all elements, not just one value. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। चरण 2: (a+e-2ae=a\Rightarrow e(1-2a)=0)। यह हर (a) के लिए तभी होगा जब (e=0)। चरण 3: तत्समक अवयव हर अवयव के लिए काम करना चाहिए, केवल किसी एक (a) के लिए नहीं।
\(\frac{ae}{2}=a\). Since \(a\neq 0\), we get (e=2).
Step 3
Exam Tip
Before dividing by a variable, check that the set excludes zero. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: \(\frac{ae}{2}=a\)। चूँकि \(a\neq 0\), इसलिए (e=2)। चरण 3: भाग देकर सरल करते समय यह देखना जरूरी है कि दिया गया समुच्चय अशून्य है या नहीं।
Put (5*x=2). Then \(\frac{5x}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{5}\).
Step 3
Exam Tip
Inverses are always found with respect to the identity element. चरण 1: पिछली तरह इस क्रिया का तत्समक (2) है। चरण 2: (5*x=2) रखने पर \(\frac{5x}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{5}\)। चरण 3: प्रतिलोम हमेशा तत्समक अवयव के सापेक्ष निकाला जाता है।
From (a*x=0), (a+x+ax=0\Rightarrow x(1+a)=-a). If (a=-1), no value of (x) can satisfy it.
Step 3
Exam Tip
If the denominator in an inverse formula becomes zero, check that element separately. चरण 1: इस क्रिया का तत्समक (0) है। चरण 2: (a*x=0) से (a+x+ax=0\Rightarrow x(1+a)=-a)। यदि (a=-1), तो (x) का मान नहीं मिल सकता। चरण 3: प्रतिलोम के सूत्र में हर शून्य हो जाए तो उस अवयव को अलग से जाँचें।
For identity (e), (\max(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
This happens when (e) is the least element of the set. Here the least element is (1).
Step 3
Exam Tip
For a \(\max\) operation, the identity is the smallest element of the set. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। चरण 2: यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे छोटा अवयव हो। यहाँ सबसे छोटा अवयव (1) है। चरण 3: \(\max\) क्रिया में तत्समक सबसे छोटा अवयव होता है।
If (e) is the identity, (\min(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
This is possible only when (e) is the greatest element. In (A), the greatest element is (5).
Step 3
Exam Tip
For a \(\min\) operation, the identity is the greatest element. चरण 1: (e) तत्समक हो तो (\min(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए होना चाहिए। चरण 2: यह तभी संभव है जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। (A) में सबसे बड़ा अवयव (5) है। चरण 3: \(\min\) क्रिया में तत्समक सबसे बड़ा अवयव होता है।
A. साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं/Associative but not commutative
Step 1
Concept
((a*b)*c=a*c=a) and (a*(b*c)=a*b=a), so it is associative.
Step 2
Why this answer is correct
(1*2=1), but (2*1=2), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
Check commutativity and associativity separately. चरण 1: ((a*b)*c=a*c=a) और (a*(b*c)=a*b=a), इसलिए साहचर्य है। चरण 2: (1*2=1), जबकि (2*1=2), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं है। चरण 3: दोनों गुणों को अलग-अलग जाँचना चाहिए।
Be careful with signs because the (ab) term can change the inverse. चरण 1: (a*0=a), इसलिए तत्समक (0) है। चरण 2: \(3*x=0\Rightarrow 3+x-3x=0\Rightarrow 3-2x=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)। चरण 3: चिन्हों पर ध्यान रखें, क्योंकि (ab) वाला पद उत्तर बदल सकता है।
A. तत्समक (3) है और (a) का प्रतिलोम (6-a) है/Identity is (3) and inverse of (a) is (6-a)
Step 1
Concept
\(a*e=a\Rightarrow a+e-3=a\), so (e=3).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*x=3\Rightarrow a+x-3=3\Rightarrow x=6-a\).
Step 3
Exam Tip
In this type of operation, the subtracted constant becomes the identity. चरण 1: \(a*e=a\Rightarrow a+e-3=a\), इसलिए (e=3)। चरण 2: \(a*x=3\Rightarrow a+x-3=3\Rightarrow x=6-a\)। चरण 3: ऐसी क्रिया में घटाई गई संख्या ही तत्समक बनती है।
A. हाँ, क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक है/Yes, because the result is always an integer
Step 1
Concept
For closure, if \(a,b\in \mathbb{Z}\), then \(a*b\in \mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+2ab) is formed using sums and products of integers, so it is always an integer.
Step 3
Exam Tip
To check closure, verify that the result stays in the same set. चरण 1: आंतरिक क्रिया के लिए \(a,b\in \mathbb{Z}\) होने पर \(a*b\in \mathbb{Z}\) होना चाहिए। चरण 2: (a+b+2ab) पूर्णांकों का योग और गुणनफल है, इसलिए हमेशा पूर्णांक रहेगा। चरण 3: आंतरिकता जाँचते समय परिणाम का उसी समुच्चय में रहना जरूरी है।
A. क्योंकि (1*2=-1) प्राकृत संख्या नहीं है/Because (1*2=-1) is not a natural number
Step 1
Concept
For a binary operation on natural numbers, the result must also be natural.
Step 2
Why this answer is correct
(1*2=1-2=-1), which is not a natural number.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to disprove closure. चरण 1: प्राकृत संख्याओं पर आंतरिक क्रिया में परिणाम भी प्राकृत होना चाहिए। चरण 2: (1*2=1-2=-1), जो प्राकृत संख्या नहीं है। चरण 3: आंतरिकता गलत सिद्ध करने के लिए एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त है।
A. क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं/Commutative but not associative
Step 1
Concept
\(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*1)*2=2*2=8), while (1*(1*2)=1*5=26), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
Test commutativity and associativity with separate checks. चरण 1: \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेय है। चरण 2: ((1*1)*2=2*2=8), जबकि (1*(1*2)=1*5=26), इसलिए साहचर्य नहीं है। चरण 3: क्रमविनिमेयता और साहचर्य को अलग उदाहरणों से जाँचें।
The identity may be negative, so solve the equation instead of guessing. चरण 1: \(a*e=a\Rightarrow a+e+1=a\), इसलिए (e=-1)। चरण 2: \(a*x=-1\Rightarrow a+x+1=-1\Rightarrow x=-a-2\)। चरण 3: तत्समक ऋणात्मक हो सकता है, इसलिए अनुमान लगाने के बजाय समीकरण हल करें।
Multiplication of real numbers is commutative, so (ab=ba).
Step 2
Why this answer is correct
Multiplication is also associative, so ((ab)c=a(bc)).
Step 3
Exam Tip
Recognizing ordinary multiplication helps simplify many binary-operation questions. चरण 1: वास्तविक संख्याओं का गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। चरण 2: गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। चरण 3: सामान्य गुणन को पहचानना कई कठिन प्रश्नों को सरल बना देता है।
First evaluate the inner operation: \(4\circ 5=4+5-2=7\).
Step 2
Why this answer is correct
Now (3*7=3+7+2=12).
Step 3
Exam Tip
In mixed-operation questions, solve the bracketed operation first. चरण 1: पहले अंदर की क्रिया करें: \(4\circ 5=4+5-2=7\)। चरण 2: अब (3*7=3+7+2=12)। चरण 3: मिश्रित क्रियाओं में कोष्ठक वाली क्रिया पहले करें।
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
The remainder is always (0) or (1), so the operation is closed.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder of (a+b) does not change with order, and associativity follows from addition modulo (2).
Step 3
Exam Tip
For small sets, an operation table quickly verifies properties. चरण 1: शेषफल (0) या (1) ही आता है, इसलिए क्रिया आंतरिक है। चरण 2: (a+b) का शेषफल क्रम बदलने से नहीं बदलता और योग के साहचर्य गुण से यह साहचर्य भी है। चरण 3: छोटे समुच्चय में क्रिया सारणी बनाकर गुण जल्दी जाँचे जा सकते हैं।
For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a) for every positive integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
(\operatorname{lcm}(a,1)=a), so (e=1).
Step 3
Exam Tip
In the least common multiple operation, (1) acts as the identity. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। चरण 2: (\operatorname{lcm}(a,1)=a), इसलिए (e=1)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में (1) अक्सर तत्समक की भूमिका निभाता है।
A. नहीं, धनात्मक पूर्णांकों में कोई सार्वत्रिक तत्समक नहीं है/No, there is no universal identity in positive integers
Step 1
Concept
If (e) is the identity, then (\gcd(a,e)=a) for every positive integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
Such an (e) would need to be a multiple of every positive integer, which no finite positive integer can be.
Step 3
Exam Tip
Pay attention to the set; if (0) were included, the conclusion could change. चरण 1: (e) तत्समक हो तो (\gcd(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। चरण 2: ऐसा (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए, पर कोई सीमित धनात्मक पूर्णांक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणज नहीं होता। चरण 3: समुच्चय पर ध्यान दें; यदि (0) शामिल होता तो स्थिति अलग हो सकती थी।
This can be written as ((a+1)(b+1)), which is (f(a)f(b)).
Step 3
Exam Tip
Sometimes a binary operation hides an ordinary multiplication structure. चरण 1: (f(a*b)=a+b+ab+1)। चरण 2: इसे ((a+1)(b+1)) लिखा जा सकता है, जो (f(a)f(b)) है। चरण 3: कभी-कभी द्विआधारी क्रिया साधारण गुणन से जुड़ी हुई छिपी रहती है।
If associativity is not already established, evaluate according to the given brackets. चरण 1: पहले (1*2=1+2+2=5)। चरण 2: अब (5*3=5+3+15=23)। चरण 3: यदि क्रिया साहचर्य सिद्ध न हो, तो दिए गए कोष्ठक के अनुसार ही गणना करें।
For any \(x\in A\), (\gcd(4,x)) can be at most (4), so it cannot be (6).
Step 3
Exam Tip
An inverse exists only if the operation can reach the identity element. चरण 1: प्रतिलोम (x) के लिए (\gcd(4,x)=6) चाहिए। चरण 2: किसी भी \(x\in A\) के लिए (\gcd(4,x)) अधिकतम (4) हो सकता है, इसलिए (6) नहीं मिलेगा। चरण 3: प्रतिलोम तभी होगा जब क्रिया का परिणाम तत्समक तक पहुँच सके।
For inverse (x), (\operatorname{lcm}(6,x)=1) is required.
Step 2
Why this answer is correct
The least common multiple with (6) can never be (1).
Step 3
Exam Tip
Having an identity does not mean every element has an inverse. चरण 1: प्रतिलोम (x) के लिए (\operatorname{lcm}(6,x)=1) चाहिए। चरण 2: (6) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य कभी (1) नहीं हो सकता। चरण 3: हर तत्समक वाली क्रिया में हर अवयव का प्रतिलोम होना जरूरी नहीं है।
\(0*a=0+a+\lambda 0a=a\). Both hold for every \(\lambda\).
Step 3
Exam Tip
A term multiplied by zero often makes the parameter irrelevant for the identity. चरण 1: \(a*0=a+0+\lambda a0=a\)। चरण 2: \(0*a=0+a+\lambda 0a=a\)। दोनों हर \(\lambda\) पर सही हैं। चरण 3: शून्य से गुणा होने वाला पद अक्सर नियतांक को अप्रभावी बना देता है।
(a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). If \(1+\lambda a=0\), no inverse is obtained.
Step 3
Exam Tip
Identify the value that makes the denominator zero. चरण 1: इस क्रिया का तत्समक (0) है। चरण 2: (a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। यदि \(1+\lambda a=0\), तो प्रतिलोम नहीं मिलेगा। चरण 3: हर वाले पद को शून्य बनाने वाले मान को अलग पहचानें।
(a*x=0\Rightarrow a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a). If (a=1), no value of (x) can satisfy it.
Step 3
Exam Tip
While finding inverse, check where factors like (1-a) become zero. चरण 1: (a*0=a), इसलिए तत्समक (0) है। चरण 2: (a*x=0\Rightarrow a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a)। यदि (a=1), तो (x) का मान नहीं मिल सकता। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय (1-a) जैसे गुणक को शून्य होने से रोकना जरूरी है।
The remainder when (4) is divided by (3) is (1), so (2*2=1).
Step 3
Exam Tip
In a remainder-based operation, the final answer must lie in the given set. चरण 1: (2+2=4)। चरण 2: (4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है, इसलिए (2*2=1)। चरण 3: शेषफल आधारित क्रिया में अंतिम उत्तर समुच्चय के भीतर होना चाहिए।
(a*x=0\Rightarrow a+x-4ax=0\Rightarrow x(1-4a)=-a). At \(a=\frac{1}{4}\), (1-4a=0), so no solution exists.
Step 3
Exam Tip
Check the denominator before substituting special values. चरण 1: इस क्रिया का तत्समक (0) है क्योंकि (a*0=a)। चरण 2: (a*x=0\Rightarrow a+x-4ax=0\Rightarrow x(1-4a)=-a)। \(a=\frac{1}{4}\) पर (1-4a=0), इसलिए समाधान नहीं है। चरण 3: विशेष मान को सामान्य सूत्र में रखने से पहले हर की जाँच करें।
In equation-based problems, first convert the operation into an algebraic equation. चरण 1: परिभाषा के अनुसार (x*2=x+2+2x)। चरण 2: \(x+2+2x=7\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\frac{5}{3}\)। चरण 3: समीकरण वाले प्रश्नों में क्रिया को पहले सामान्य बीजगणितीय रूप में लिखें।
A. नहीं, क्योंकि \(1*2\neq 2*1\)/No, because \(1*2\neq 2*1\)
Step 1
Concept
(1*2=2(1)+3(2)=8).
Step 2
Why this answer is correct
(2*1=2(2)+3(1)=7), so the values are not equal.
Step 3
Exam Tip
A linear operation with different coefficients is generally not commutative. चरण 1: (1*2=2(1)+3(2)=8)। चरण 2: (2*1=2(2)+3(1)=7), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। चरण 3: अलग-अलग गुणांकों वाली रैखिक क्रिया सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होती।
For a right identity, \(a*e=a\Rightarrow 2a+3e=a\), giving (3e=-a), which depends on (a).
Step 2
Why this answer is correct
No fixed (e) works for all (a).
Step 3
Exam Tip
An identity must be a fixed element, not a value depending on (a). चरण 1: दाएँ तत्समक के लिए \(a*e=a\Rightarrow 2a+3e=a\), जिससे (3e=-a), जो (a) पर निर्भर है। चरण 2: एक स्थिर (e) सभी (a) के लिए नहीं मिल सकता। चरण 3: तत्समक अवयव को स्थिर होना चाहिए, बदलते (a) के साथ बदलना नहीं चाहिए।
Substitute the given identity directly into the operation to find the parameter. चरण 1: (5) तत्समक है, इसलिए (a*5=a)। चरण 2: \(a+5+m=a\Rightarrow m=-5\)। चरण 3: दिए गए तत्समक को सीधे परिभाषा में रखकर नियतांक निकाला जा सकता है।
We need (2*(-1)=0). Thus (2-1+m(2)(-1)=0\Rightarrow 1-2m=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}).
Step 3
Exam Tip
In inverse-related parameter problems, set the operation equal to the identity. चरण 1: इस क्रिया का तत्समक (0) है। चरण 2: (2*(-1)=0) होना चाहिए। इसलिए (2-1+m(2)(-1)=0\Rightarrow 1-2m=0\Rightarrow m=\frac{1}{2})। चरण 3: प्रतिलोम से जुड़े प्रश्न में दोनों अवयवों की क्रिया तत्समक के बराबर रखें।
(b(1+a)=-a), so \(b=-\frac{a}{a+1}\), where \(a\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Collect the (b)-terms and factor them for a quick solution. चरण 1: (a+b+ab=0) लिखें। चरण 2: (b(1+a)=-a), इसलिए \(b=-\frac{a}{a+1}\), जहाँ \(a\neq -1\)। चरण 3: (b) के पदों को साथ लेकर गुणनखंड निकालना ऐसे प्रश्नों में तेज तरीका है।
If \(a\neq 1\) and \(b\neq 1\), then ((1-a)(1-b)\neq 0), so \(a*b\neq 1\).
Step 3
Exam Tip
To check closure on an excluded-value set, show that the excluded value cannot appear as an output. चरण 1: (1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। चरण 2: यदि \(a\neq 1\) और \(b\neq 1\), तो ((1-a)(1-b)\neq 0), इसलिए \(a*b\neq 1\)। चरण 3: समुच्चय से हटाए गए मान को परिणाम में आने से रोकना आंतरिकता जाँचने का अच्छा तरीका है।
A. यह आंतरिक है और (0) तत्समक है/It is closed and (0) is the identity
Step 1
Concept
(1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)).
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\neq -1\) and \(b\neq -1\), this product is non-zero, so \(a*b\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Since (a*0=a), (0) is also the identity. चरण 1: (1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b))। चरण 2: यदि \(a\neq -1\) और \(b\neq -1\), तो यह गुणनफल शून्य नहीं है, अतः \(a*b\neq -1\)। चरण 3: (a*0=a), इसलिए (0) तत्समक भी है।
While expanding, write every term carefully. चरण 1: पहले (b*c=b+c+bc)। चरण 2: (a*(b*c)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc))। सरल करने पर (a+b+c+ab+bc+ca+abc) मिलता है। चरण 3: विस्तार करते समय हर पद को सावधानी से लिखें।
A. क्योंकि (1+(a*b)=(1+a)(1+b))/Because (1+(a*b)=(1+a)(1+b))
Step 1
Concept
(1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)).
Step 2
Why this answer is correct
Multiplication is associative, so changing brackets in ((1+a)(1+b)(1+c)) does not change the value.
Step 3
Exam Tip
Recognizing a hidden structure saves lengthy calculation. चरण 1: (1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b))। चरण 2: गुणन साहचर्य है, इसलिए ((1+a)(1+b)(1+c)) में कोष्ठक बदलने से मान नहीं बदलता। चरण 3: छिपी हुई संरचना पहचानने से लंबी गणना बचती है।
In multiplication modulo (5), the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
We need (2*x) to have remainder (1) on division by (5). Since \(2\cdot 3=6\), the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
A multiplicative inverse must make the product congruent to (1). चरण 1: गुणन आधारित शेषफल क्रिया में तत्समक (1) है। चरण 2: (2*x) का (5) से शेषफल (1) चाहिए। \(2\cdot 3=6\), जिसका शेषफल (1) है। चरण 3: गुणनात्मक प्रतिलोम में गुणनफल को (1) के बराबर शेषफल देना चाहिए।
(0*x=0) for every (x), so it can never become (1).
Step 3
Exam Tip
Zero has no multiplicative inverse, even in a remainder-based operation. चरण 1: इस क्रिया का तत्समक (1) है। चरण 2: (0*x=0) हर (x) के लिए, इसलिए यह कभी (1) नहीं बन सकता। चरण 3: शून्य का गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं होता, यह बात शेषफल वाली क्रिया में भी याद रखें।
For positive (a,b), \(\frac{a}{b}\) is positive, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\frac{a}{bc}), while (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), which are not equal in general.
Step 3
Exam Tip
Division-type operations are often not associative. चरण 1: धनात्मक (a,b) के लिए \(\frac{a}{b}\) धनात्मक है, इसलिए आंतरिकता है। चरण 2: ((a*b)*c=\frac{a}{bc}), जबकि (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), ये सामान्य रूप से बराबर नहीं हैं। चरण 3: भाग वाली क्रियाएँ अक्सर साहचर्य नहीं होतीं।
A. क्योंकि (a+b=b+a) और (ab=ba)/Because (a+b=b+a) and (ab=ba)
Step 1
Concept
(a*b=a+b+ab).
Step 2
Why this answer is correct
(b*a=b+a+ba). In real numbers, addition and multiplication are commutative, so both are equal.
Step 3
Exam Tip
Check how changing order affects every term of the operation. चरण 1: (a*b=a+b+ab)। चरण 2: (b*a=b+a+ba)। वास्तविक संख्याओं में योग और गुणन क्रमविनिमेय हैं, इसलिए दोनों बराबर हैं। चरण 3: क्रिया के हर पद में क्रम बदलने का प्रभाव देखें।
(b+ab=0\Rightarrow b(1+a)=0). Since \(a\neq -1\), (b=0).
Step 3
Exam Tip
Such a question often hides the identity element condition. चरण 1: (a+b+ab=a) लिखें। चरण 2: (b+ab=0\Rightarrow b(1+a)=0)। क्योंकि \(a\neq -1\), इसलिए (b=0)। चरण 3: ऐसे प्रश्न में वास्तव में तत्समक अवयव की पहचान छिपी होती है।
Once the operation is converted into an algebraic expression, the equation becomes easy. चरण 1: (x*1=x+1+x=2x+1)। चरण 2: \(2x+1=5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\)। चरण 3: क्रिया को सामान्य बीजगणितीय रूप में बदलते ही समीकरण आसान हो जाता है।
Now \(x*2=-\frac{5}{6}+2-\frac{10}{6}=-\frac{1}{2}\). In exams, after finding the inverse, substitute it carefully into the next operation. चरण 1: इस क्रिया में तत्समक अवयव (0) है, क्योंकि (a*0=a)। चरण 2: \(5*x=0\Rightarrow 5+x+5x=0\Rightarrow 6x=-5\Rightarrow x=-\frac{5}{6}\)। चरण 3: अब \(x*2=-\frac{5}{6}+2-\frac{10}{6}=-\frac{1}{2}\)। परीक्षा में प्रतिलोम मिलने के बाद उसे अगली क्रिया में सावधानी से रखें।
