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From (a+e+ae=a), we get (e(1+a)=0). Since \(a\neq -1\), (e=0).
Step 3
Exam Tip
In identity questions, always apply the condition with a general element. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। चरण 2: (a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) मिलता है। चूँकि \(a\neq -1\), इसलिए (e=0)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले सामान्य अवयव (a) लेकर तत्समक की शर्त लगाएं।
For inverse (b), (a*b=0), so (a+b+ab=0). Thus (b(1+a)=-a), giving \(b=\frac{-a}{1+a}\).
Step 3
Exam Tip
To find inverse, set (a*b=e). चरण 1: पिछले विचार से तत्समक (0) है। चरण 2: प्रतिलोम (b) के लिए (a*b=0), यानी (a+b+ab=0)। इससे (b(1+a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1+a}\)। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय हमेशा (a*b=e) लिखें।
Here \(a^{\log b}=b^{\log a}\). Taking \(\log\) on both sides gives (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), always true.
Step 3
Exam Tip
For exponential operations, logarithms often simplify comparison. चरण 1: क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। चरण 2: \(a^{\log b}=b^{\log a}\)। दोनों ओर \(\log\) लेने पर (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), जो सदा सत्य है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में लघुगणक लेने से तुलना सरल हो जाती है।
Both sides become \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\). Hence associativity holds for every real (k).
Step 3
Exam Tip
In associativity checks, expand fully before deciding. चरण 1: ((a*b)*c) और (a*(b*c)) की तुलना करें। चरण 2: दोनों तरफ \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\) मिलता है। इसलिए बराबरी हर वास्तविक (k) के लिए सही है। चरण 3: साहचर्य जांच में विस्तार पूरा करें, जल्दी अनुमान न लगाएं।
Always find the identity before finding an inverse. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a+e-2=a), इसलिए (e=2)। चरण 2: (7) के प्रतिलोम (x) के लिए (7+x-2=2), इसलिए (x=-3)। चरण 3: प्रतिलोम से पहले तत्समक अवयव जरूर निकालें।
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य है, पर तत्समक (1) है/It is commutative and associative, with identity (1)
Step 1
Concept
(\max(a,b)=\max(b,a)), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(\max(\max(a,b),c)=\max(a,\max(b,c))), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
In \(\mathbb{N}\), the least element is (1), hence (\max(a,1)=a). चरण 1: (\max(a,b)=\max(b,a)), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: (\max(\max(a,b),c)=\max(a,\max(b,c))), इसलिए साहचर्य भी है। चरण 3: \(\mathbb{N}\) में सबसे छोटा अवयव (1) है, अतः (\max(a,1)=a)।
Identity (e) must satisfy (\min(a,e)=a) for every \(a\in\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
This means (e) must be greater than or equal to every natural number, but \(\mathbb{N}\) has no greatest element.
Step 3
Exam Tip
A \(\min\) operation has identity only when the set has a greatest element. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) हर \(a\in\mathbb{N}\) के लिए चाहिए। चरण 2: इसका अर्थ है (e) सभी प्राकृतिक संख्याओं से बड़ा या बराबर हो। \(\mathbb{N}\) में ऐसा सबसे बड़ा अवयव नहीं है। चरण 3: \(\min\) में तत्समक तभी मिलता है जब समुच्चय में सबसे बड़ा अवयव हो।
This is possible only when (e) is the greatest element of the set. Here the greatest element is (5).
Step 3
Exam Tip
For finite sets, connect \(\min\) and \(\max\) identities with greatest and least elements. चरण 1: (\min(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। चरण 2: ऐसा तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो। यहाँ सबसे बड़ा अवयव (5) है। चरण 3: सीमित समुच्चय में \(\min\) और \(\max\) के तत्समक को सबसे बड़े और सबसे छोटे अवयव से जोड़कर देखें।
\(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
But ((1*2)*3=5*3=34), while (1*(2*3)=1*13=170). So it is not associative.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to disprove associativity. चरण 1: \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: ((1*1)*1=2*1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=5); यह एक उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा लें: ((1*2)*3=5*3=34), पर (1*(2*3)=1*13=170)। साहचर्य नहीं है। चरण 3: साहचर्य गलत दिखाने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है।
In division-type operations, pay attention to nonzero restrictions. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: \(\frac{ae}{2}=a\)। चूँकि \(a\neq0\), इसलिए (e=2)। चरण 3: भाग वाले ऑपरेशन में शून्य से भाग या शून्य अवयव की शर्त पर ध्यान दें।
For inverse (x), (5*x=2), so \(\frac{5x}{2}=2\). Hence \(x=\frac{4}{5}\).
Step 3
Exam Tip
Do not confuse operation inverse with ordinary reciprocal. चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक (2) है। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए (5*x=2), यानी \(\frac{5x}{2}=2\)। इससे \(x=\frac{4}{5}\)। चरण 3: प्रतिलोम को सामान्य गुणा का प्रतिलोम समझकर जल्दी उत्तर न दें।
From (a+e+1=a), we get (e=-1). Then (a*x=-1) gives (x=-a-2), a real number.
Step 3
Exam Tip
Finding the identity first makes inverse existence clear. चरण 1: (a*e=a) लिखें। चरण 2: (a+e+1=a) से (e=-1) मिलता है। फिर (a*x=-1) से (x=-a-2), जो वास्तविक है। चरण 3: पहले तत्समक पहचानने से प्रतिलोम का अस्तित्व साफ हो जाता है।
If \(a\neq1\) and \(b\neq1\), then ((1-a)(1-b)\neq0), so \(a*b\neq1\).
Step 3
Exam Tip
For closure, rewriting into a product form can reveal excluded values. चरण 1: (a*b=1-(1-a)(1-b)) लिखा जा सकता है। चरण 2: यदि \(a\neq1\) और \(b\neq1\), तो ((1-a)(1-b)\neq0), इसलिए \(a*b\neq1\)। चरण 3: ऐसी संक्रिया में बंदता समझने के लिए अभिव्यक्ति को गुणन रूप में बदलना उपयोगी है।
(a+e-ae=a) gives (e(1-a)=0). Since \(a\neq1\), (e=0).
Step 3
Exam Tip
Use the excluded-value condition while solving the identity equation. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: (a+e-ae=a) से (e(1-a)=0) मिलता है। चूँकि \(a\neq1\), इसलिए (e=0)। चरण 3: निष्कासित अवयव की शर्त का उपयोग समीकरण हल करते समय करें।
For inverse (x), (a+x-ax=0). Hence (x(1-a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1-a}\).
Step 3
Exam Tip
Watch signs carefully because (1-a) and (a-1) differ by a negative sign. चरण 1: तत्समक (0) है। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-ax=0)। इसलिए (x(1-a)=-a), अतः \(x=\frac{-a}{1-a}\)। चरण 3: चिह्नों पर ध्यान दें, क्योंकि (1-a) और (a-1) में ऋण चिह्न का अंतर होता है।
D. कुछ अवयवों के प्रतिलोम नहीं हैं/Some elements have no inverse
Step 1
Concept
The operation is closed in \(\mathbb{Z}\) and associative.
Step 2
Why this answer is correct
The identity is (0). For inverse, (a*x=0) gives \(x=\frac{-a}{1+a}\).
Step 3
Exam Tip
For (a=1), \(x=-\frac{1}{2}\), not an integer, so not every element has an inverse. चरण 1: संक्रिया \(\mathbb{Z}\) में बंद है और साहचर्य भी है। चरण 2: तत्समक (0) है। प्रतिलोम के लिए (a*x=0) से \(x=\frac{-a}{1+a}\) मिलता है। चरण 3: (a=1) पर \(x=-\frac{1}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है; इसलिए सभी प्रतिलोम नहीं मिलते।
For commutativity, compare the value after swapping the order. चरण 1: (a*b=a+b-ab) है। चरण 2: (b*a=b+a-ba=a+b-ab), इसलिए (a*b=b*a)। चरण 3: क्रमविनिमेयता में केवल क्रम बदलने पर मान की तुलना करनी होती है।
A. दोनों ओर (a+b+c-ab-ac-bc+abc) मिलता है/Both sides become (a+b+c-ab-ac-bc+abc)
Step 1
Concept
Expanding ((a*b)*c) gives (a+b-ab+c-c(a+b-ab)).
Step 2
Why this answer is correct
It simplifies to (a+b+c-ab-ac-bc+abc). The same expression comes from (a*(b*c)).
Step 3
Exam Tip
To prove associativity, reduce both sides to the same form. चरण 1: ((a*b)*c) फैलाने पर (a+b-ab+c-c(a+b-ab)) मिलता है। चरण 2: सरलीकरण से (a+b+c-ab-ac-bc+abc) आता है। (a*(b*c)) से भी यही रूप मिलता है। चरण 3: साहचर्य सिद्ध करने में दोनों पक्षों को एक जैसे रूप तक लाना सबसे सुरक्षित तरीका है।
For finite sets, a small table helps identify the operation quickly. चरण 1: (0*0=0), (0*1=1), (1*0=1), और (1*1=1)। चरण 2: यही परिणाम तार्किक या में मिलते हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में सारणी बनाकर संक्रिया को पहचानना आसान होता है।
A. तत्समक (1) है और (0) का प्रतिलोम नहीं है/Identity is (1) and (0) has no inverse
Step 1
Concept
In multiplication, (1) is the identity because \(a\cdot1=a\).
Step 2
Why this answer is correct
The inverse of (1) is (1), but (0*x=1) is impossible. So (0) has no inverse.
Step 3
Exam Tip
In multiplication-like operations, check zero carefully. चरण 1: गुणा में (1) तत्समक है क्योंकि \(a\cdot1=a\)। चरण 2: (1) का प्रतिलोम (1) है, पर (0*x=1) कभी नहीं हो सकता। इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं है। चरण 3: शून्य वाले गुणन में प्रतिलोम पर विशेष ध्यान दें।
The right side is ((a*b)\circ(a*c)=a+b+ab+a+c+ac=2a+b+c+ab+ac). Equality needs (a=2a), so (a=0).
Step 3
Exam Tip
In distributive questions, expand both sides separately. चरण 1: बायाँ पक्ष (a*\(b\circ c\)=a+b+c+a(b+c)) है। चरण 2: दायाँ पक्ष ((a*b)\circ(a*c)=a+b+ab+a+c+ac=2a+b+c+ab+ac) है। बराबरी के लिए (a=2a), इसलिए (a=0)। चरण 3: वितरण में दोनों पक्षों को अलग-अलग फैलाकर तुलना करें।
A. \(\circ\), (*) पर वितरित होती है/\(\circ\) distributes over (*)
Step 1
Concept
(a\circ(b*c)=a(b+c)=ab+ac).
Step 2
Why this answer is correct
(\(a\circ b\)*\(a\circ c\)=ab+ac), so \(\circ\) distributes over (*).
Step 3
Exam Tip
Conversely, (a*(bc)=a+bc) and ((a+b)(a+c)) are not generally equal. चरण 1: (a\circ(b*c)=a(b+c)=ab+ac)। चरण 2: (\(a\circ b\)*\(a\circ c\)=ab+ac), इसलिए \(\circ\), (*) पर वितरित है। चरण 3: उल्टा (a*(bc)=a+bc) और ((a+b)(a+c)) बराबर नहीं होते।
A. यह बंद है, पर क्रमविनिमेय और साहचर्य नहीं/It is closed, but neither commutative nor associative
Step 1
Concept
The difference of two real numbers is real, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a-b) is not generally equal to (b-a), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
((a-b)-c) and (a-(b-c)) are generally different, so it is not associative. चरण 1: दो वास्तविक संख्याओं का अंतर वास्तविक होता है, इसलिए बंदता है। चरण 2: (a-b) सामान्यतः (b-a) के बराबर नहीं, इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं। चरण 3: ((a-b)-c) और (a-(b-c)) सामान्यतः अलग हैं, इसलिए साहचर्य नहीं।
For an operation (a+b+k), the identity is (-k). चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a+e+3=a), इसलिए (e=-3)। चरण 2: (4*x=-3) रखें। (4+x+3=-3), इसलिए (x=-10)। चरण 3: (a+b+k) प्रकार में तत्समक (-k) होता है।
When identity is given, substitute it directly into the identity condition. चरण 1: यदि (5) तत्समक है, तो (a*5=a)। चरण 2: \(a+5+\lambda=a\) से \(\lambda=-5\) मिलता है। चरण 3: जब तत्समक दिया हो, उसे सीधे शर्त में रखकर पैरामीटर निकालें।
Commutativity requires \(a+\mu b=b+\mu a\) for all (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
This can be written as (\(1-\mu\)a=\(1-\mu\)b). For all (a,b), this is possible only when \(\mu=1\).
Step 3
Exam Tip
In parameter questions, equality must hold for all elements. चरण 1: क्रमविनिमेयता के लिए \(a+\mu b=b+\mu a\) हर (a,b) के लिए चाहिए। चरण 2: इसे (\(1-\mu\)a=\(1-\mu\)b) की तरह देखा जा सकता है। हर (a,b) के लिए यह तभी संभव है जब \(\mu=1\)। चरण 3: पैरामीटर प्रश्नों में बराबरी सभी अवयवों के लिए होनी चाहिए।
(a*(b*c)=a+\mu\(b+\mu c\)=a+\mu b+\mu-2c). Equality needs \(\mu c=\mu^2c\) for every (c), so \(\mu=\mu^2\).
Step 3
Exam Tip
Thus \(\mu=0\) or \(\mu=1\). चरण 1: ((a*b)*c=\(a+\mu b\)+\mu c=a+\mu b+\mu c)। चरण 2: (a*(b*c)=a+\mu\(b+\mu c\)=a+\mu b+\mu-2c)। बराबरी के लिए \(\mu c=\mu^2c\) हर (c) पर चाहिए, इसलिए \(\mu=\mu^2\)। चरण 3: अतः \(\mu=0\) या \(\mu=1\)।
For equality for every (a,b), the coefficients of (a) and (b) must match. Hence (p=q).
Step 3
Exam Tip
For linear operations, comparing coefficients is the fastest method. चरण 1: (a*b=pa+qb) और (b*a=pb+qa)। चरण 2: हर (a,b) के लिए बराबरी तभी होगी जब (a) और (b) के गुणांक समान मिलें। इसलिए (p=q)। चरण 3: रैखिक संक्रिया में गुणांकों की तुलना सबसे तेज तरीका है।
Equality for every (a,c) requires \(p^2=p\) and \(q^2=q\). चरण 1: ((a*b)*c=p(pa+qb)+qc=p-2a+pqb+qc)। चरण 2: (a*(b*c)=pa+q(pb+qc)=pa+pqb+q-2c)। चरण 3: हर (a,c) के लिए बराबरी हेतु \(p^2=p\) और \(q^2=q\) चाहिए।
Put (2*(-1)=0): \(2-1-2\alpha=0\), so \(\alpha=\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
Check: (3*\(-\frac{3}{2}\)=3-\frac{3}{2}-\frac{9\alpha}{2}), which is (0) when \(\alpha=\frac{1}{2}\). चरण 1: इस प्रकार की संक्रिया में तत्समक (0) होता है। चरण 2: (2*(-1)=0) रखने पर \(2-1-2\alpha=0\), इसलिए \(\alpha=\frac{1}{2}\)। चरण 3: जाँच करें: (3*\(-\frac{3}{2}\)=3-\frac{3}{2}-\frac{9\alpha}{2}), \(\alpha=\frac{1}{2}\) पर यह (0) है।
A. यह बंद है, पर क्रमविनिमेय नहीं है/It is closed but not commutative
Step 1
Concept
If \(a\neq0\) and \(b\neq0\), then \(\frac{a}{b}\neq0\), so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}\) is not generally equal to \(\frac{b}{a}\), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
For division operations, test closure and commutativity separately. चरण 1: \(a\neq0\) और \(b\neq0\) होने पर \(\frac{a}{b}\neq0\), इसलिए बंदता है। चरण 2: \(\frac{a}{b}\) सामान्यतः \(\frac{b}{a}\) के बराबर नहीं होता, इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं। चरण 3: भाग की संक्रिया में बंदता और क्रमविनिमेयता अलग-अलग जांचें।
A. बंद और क्रमविनिमेय है, पर साहचर्य नहीं/Closed and commutative, but not associative
Step 1
Concept
For positive (a,b), \(\sqrt{ab}\) is positive, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{ab}=\sqrt{ba}\), so it is commutative.
Step 3
Exam Tip
((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) and (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), not equal in general. चरण 1: धनात्मक (a,b) के लिए \(\sqrt{ab}\) धनात्मक है, इसलिए बंदता है। चरण 2: \(\sqrt{ab}=\sqrt{ba}\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 3: ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) और (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्यतः बराबर नहीं।
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
For positive (a,b), the result is also positive, so it is closed.
Step 3
Exam Tip
Identity would need \(\frac{ae}{a+e}=a\), giving \(ae=a^2+ae\), impossible for (a>0). चरण 1: \(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। चरण 2: धनात्मक (a,b) के लिए परिणाम भी धनात्मक है, इसलिए बंदता भी है। चरण 3: तत्समक के लिए \(\frac{ae}{a+e}=a\) से \(ae=a^2+ae\), यानी \(a^2=0\), असंभव; इसलिए तत्समक नहीं।
(3*4=6), then (2*6=7). So both are (7), but that is not among the options.
Step 3
Exam Tip
This shows the listed choices must be checked carefully. चरण 1: (2*3=2+3-1=4), फिर (4*4=4+4-1=7) नहीं, ध्यान दें तीसरा अवयव (4) है, इसलिए परिणाम (7) आता है। चरण 2: (3*4=6), फिर (2*6=7)। अतः दोनों (7) हैं, विकल्पों में यह नहीं है। चरण 3: ऐसी स्थिति में दिए विकल्पों की जांच जरूरी है।
First calculate inside the bracket: (2*3=2+3-1=4).
Step 2
Why this answer is correct
Now (4*4=4+4-1=7).
Step 3
Exam Tip
Do not treat the operation as ordinary addition; apply the given definition each time. चरण 1: पहले कोष्ठक के अंदर (2*3=2+3-1=4) निकालें। चरण 2: अब (4*4=4+4-1=7) मिलेगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में संक्रिया को सामान्य जोड़ न समझें, हर बार दी गई परिभाषा लगाएं।
In operations of the form (a+b-k), the identity is often (k), but always verify through the identity condition. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। चरण 2: (a+e-1=a) से (e=1) मिलता है। चरण 3: (a+b-k) रूप में तत्समक प्रायः (k) होता है, लेकिन फिर भी शर्त लगाकर जांचें।
An inverse is always found with respect to the identity of the given operation. चरण 1: इस संक्रिया में तत्समक (1) है। चरण 2: (8*x=1) रखें। इसलिए (8+x-1=1), जिससे (x=-6) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम हमेशा संक्रिया के तत्समक के सापेक्ष निकाला जाता है।
In operation equations, first convert the operation into an ordinary algebraic equation. चरण 1: परिभाषा के अनुसार (x*2=x+2+2x)। चरण 2: (x+2+2x=8) से (3x=6), इसलिए (x=2)। चरण 3: संक्रिया वाले समीकरण में पहले संक्रिया को सामान्य बीजीय रूप में बदलें।
\(a+e+\frac{ae}{2}=a\) gives (e\left\(1+\frac{a}{2}\right\)=0). Since \(a\neq-2\), (e=0).
Step 3
Exam Tip
Paying attention to the excluded value avoids algebraic mistakes. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a*e=a) लिखें। चरण 2: \(a+e+\frac{ae}{2}=a\) से (e\left\(1+\frac{a}{2}\right\)=0) मिलता है। चूँकि \(a\neq-2\), इसलिए (e=0)। चरण 3: निष्कासित मान पर ध्यान देने से भाग और गुणन की गलती नहीं होती।
For inverse (x), \(4+x+\frac{4x}{2}=0\). Thus (4+3x=0), so \(x=-\frac{4}{3}\).
Step 3
Exam Tip
The inverse must belong to the set; here \(-\frac{4}{3}\neq-2\), so it is valid. चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक (0) है। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए \(4+x+\frac{4x}{2}=0\)। इससे (4+3x=0), इसलिए \(x=-\frac{4}{3}\)। चरण 3: प्रतिलोम का मान समुच्चय में होना चाहिए; यहाँ \(-\frac{4}{3}\neq-2\), इसलिए मान्य है।
For any real (a,b), \(a^2+b\) is real, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b\), while \(b*a=b^2+a\). They are not generally equal; for example, (1*2=3) and (2*1=5).
Step 3
Exam Tip
One valid counterexample is enough to disprove commutativity. चरण 1: किसी भी वास्तविक (a,b) के लिए \(a^2+b\) वास्तविक है, इसलिए बंदता है। चरण 2: \(a*b=a^2+b\), जबकि \(b*a=b^2+a\)। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं, जैसे (1*2=3) और (2*1=5)। चरण 3: क्रमविनिमेयता गलत दिखाने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण काफी है।
If \(a\neq-1\) and \(b\neq-1\), then ((a+1)(b+1)\neq0), so the result cannot be (-1).
Step 3
Exam Tip
A product form is very useful for detecting excluded values in closure questions. चरण 1: (a+b+ab) को ((a+1)(b+1)-1) लिखा जा सकता है। चरण 2: यदि \(a\neq-1\) और \(b\neq-1\), तो ((a+1)(b+1)\neq0), इसलिए परिणाम (-1) नहीं होगा। चरण 3: बंदता में निष्कासित मान को पहचानने के लिए गुणन रूप बहुत उपयोगी है।
A. \(\frac{-a}{1+a}\), जहाँ \(a\neq-1\)/\(\frac{-a}{1+a}\), where \(a\neq-1\)
Step 1
Concept
From (a*b=0), we get (a+b+ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
(b(1+a)=-a), hence \(b=\frac{-a}{1+a}\), with \(a\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
Always mention the denominator condition in exam answers. चरण 1: (a*b=0) से (a+b+ab=0) मिलता है। चरण 2: (b(1+a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1+a}\), पर \(a\neq-1\) होना चाहिए। चरण 3: हर बार हर में आने वाली शर्त लिखना परीक्षा में जरूरी है।
A. \(\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\)/\(\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\)
Step 1
Concept
Write (a+b-ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
(b(1-a)=-a), so \(b=\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\).
Step 3
Exam Tip
The signs differ in (a+b+ab) and (a+b-ab), so do not reuse a formula blindly. चरण 1: (a+b-ab=0) लिखें। चरण 2: (b(1-a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\)। चरण 3: (a+b+ab) और (a+b-ab) में चिह्न अलग होता है, इसलिए जल्दबाजी में पुराना सूत्र न लगाएं।
To be self-inverse, (a*a=0), since the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*a=2a+a-2=a(a+2)=0), so (a=0) or (a=-2).
Step 3
Exam Tip
Since both (0) and (-2) appear in the options, the item has two correct choices and must be corrected before use. चरण 1: अपना ही प्रतिलोम होने के लिए (a*a=0) चाहिए, क्योंकि तत्समक (0) है। चरण 2: (a*a=2a+a-2=a(a+2)=0), इसलिए (a=0) या (a=-2)। चरण 3: दिए विकल्पों में (0) और (-2) दोनों दिख रहे हैं, पर (-2) भी सही है; इसलिए प्रश्न में यदि एक उत्तर चाहिए तो विकल्पों की रचना सावधानी से होनी चाहिए।
(a*a=a-2+2a=a(a+2)), so only (a=0) and (a=-2) are self-inverse.
Step 3
Exam Tip
\(1*1=3\neq0\), so (1) is not its own inverse. चरण 1: अपना ही प्रतिलोम होने के लिए (a*a=0) होना चाहिए। चरण 2: (a*a=a-2+2a=a(a+2)), इसलिए केवल (a=0) और (a=-2) अपने प्रतिलोम हैं। चरण 3: \(1*1=3\neq0\), इसलिए (1) अपना प्रतिलोम नहीं है।
Identity (e) must satisfy (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in S\).
Step 2
Why this answer is correct
This happens when every (a) divides (e). Here (12) is a multiple of all elements of the set.
Step 3
Exam Tip
For a \(\gcd\) operation, the identity is usually a greatest common multiple-like element inside the set. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in S\) के लिए चाहिए। चरण 2: ऐसा तब होता है जब हर (a), (e) को विभाजित करे। (12) इस समुच्चय के सभी अवयवों का गुणज है। चरण 3: \(\gcd\) संक्रिया में तत्समक सामान्यतः समुच्चय का ऐसा बड़ा अवयव होता है जो सभी से विभाज्य हो।
Identity (e) must satisfy (\operatorname{lcm}(a,e)=a) for every \(a\in S\).
Step 2
Why this answer is correct
This works for (e=1), since (\operatorname{lcm}(a,1)=a).
Step 3
Exam Tip
In an \(\operatorname{lcm}\) operation, check (1) first because it leaves every number unchanged. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) हर \(a\in S\) के लिए चाहिए। चरण 2: यह (e=1) पर सही है क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,1)=a)। चरण 3: \(\operatorname{lcm}\) में (1) को पहले जांचें, क्योंकि वह हर संख्या को अपरिवर्तित रखता है।
A. यह बंद और क्रमविनिमेय है, पर साहचर्य नहीं/It is closed and commutative, but not associative
Step 1
Concept
The average of two positive numbers is positive, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}\), so it is commutative.
Step 3
Exam Tip
((2*4)*8=3*8=\frac{11}{2}), but (2*(4*8)=2*6=4), so it is not associative. चरण 1: दो धनात्मक संख्याओं का औसत धनात्मक होता है, इसलिए बंदता है। चरण 2: \(\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 3: ((2*4)*8=3*8=\frac{11}{2}), पर (2*(4*8)=2*6=4), इसलिए साहचर्य नहीं।
The variable may appear in two places in an operation, so first form the complete algebraic equation. चरण 1: परिभाषा लगाएं: (2*x=2+x-2x)। चरण 2: (2-x=3) से (x=-1) मिलता है। चरण 3: संक्रिया में चर दो जगह आ सकता है, इसलिए पहले पूरा बीजीय समीकरण बनाएं।
