Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं। / Exactly two diagonal pairs can be selected in \(\binom{4}{2}=6\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों की संख्या \(4\cdot3/2=6\) है, जिनके लिए \(2^6\) चुनाव हैं। / There are \(4\cdot3/2=6\) unordered off-diagonal pair groups, giving \(2^6\) choices.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण चुनाव और गैर-विकर्ण सममित चुनाव को गुणा करें। / Multiply the diagonal choices and off-diagonal symmetric choices.
दिए गए तीनों युग्म गैर-विकर्ण हैं। / All three given pairs are off-diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के कारण ((2,1),(3,2),(4,3)) भी होने जरूरी हैं, इसलिए कुल (6) गैर-विकर्ण युग्म हो जाते हैं। / Symmetry forces ((2,1),(3,2),(4,3)), making (6) off-diagonal pairs in total.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम संख्या पूछी हो तो अतिरिक्त विकर्ण या अन्य युग्म न जोड़ें। / For a minimum count, do not add extra diagonal or unrelated pairs.
\(R^{-1}\) में (R) के हर युग्म का उल्टा युग्म होता है। / \(R^{-1}\) contains the reverse of every pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup R^{-1}\) में कोई भी युग्म आएगा तो उसका उल्टा भी उसी संघ में मिल जाएगा। / In \(R\cup R^{-1}\), whenever a pair appears, its reverse also appears in the same union.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध का सबसे सीधा सममित विस्तार अक्सर \(R\cup R^{-1}\) होता है। / A direct symmetric extension of a relation is often \(R\cup R^{-1}\).
(R) को सममित बनाने के लिए हर युग्म का उल्टा जोड़ना पड़ता है। / To make (R) symmetric, every pair needs its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
\(R^{-1}\) यही उल्टे युग्म देता है, इसलिए \(R\cup R^{-1}\) सभी आवश्यक युग्म रखता है। / \(R^{-1}\) provides exactly those reverse pairs, so \(R\cup R^{-1}\) contains all required pairs.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा शब्द देखकर अनावश्यक अतिरिक्त युग्म जोड़ने वाले विकल्प हटाएँ। / When the word smallest appears, reject options that add unnecessary pairs.
\(R\cap R^{-1}=R\) से \(R\subseteq R^{-1}\) मिलता है। / \(R\cap R^{-1}=R\) implies \(R\subseteq R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (R) के हर युग्म का उल्टा भी (R) में है, इसलिए संबंध सममित है। / This means every pair of (R) has its reverse in (R), so (R) is symmetric.
Step 3
Exam Tip
सममितता सिद्ध करने में \(R\subseteq R^{-1}\) और \(R^{-1}\subseteq R\) जैसी समावेशन भाषा मदद करती है। / Inclusion statements such as \(R\subseteq R^{-1}\) are useful for proving symmetry.
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्मों की संख्या हमेशा सम होती है क्योंकि वे उल्टे जोड़ों में आते हैं। / In a symmetric relation, the number of off-diagonal pairs is always even because they appear in reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (10) युग्मों में यदि (3) विकर्ण हों, तो गैर-विकर्ण (7) होंगे, जो सम नहीं है। / If there are (3) diagonal pairs out of (10), the off-diagonal count is (7), which is not even.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म और विकर्ण युग्म की सम-विषम जाँच तेज तरीका है। / Checking parity of total and diagonal counts is a fast exam method.
\(a^2+b^2=25\) में (a) और (b) की जगह बदलने पर \(b^2+a^2=25\) मिलता है। / Swapping (a) and (b) in \(a^2+b^2=25\) gives \(b^2+a^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
योग का क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। / The value does not change, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्गों के योग वाले नियमों में सममितता अक्सर सीधे दिखती है। / Rules based on sums of squares are often directly symmetric.
