Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण युग्म उल्टे जोड़ों में आते हैं, इसलिए उनके समूहों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है। / Off-diagonal pairs are chosen in reverse-pair groups, and there are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) होते हैं। / The total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्मों की संख्या सम होती है। / In a symmetric relation, the number of off-diagonal pairs is even.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (5) युग्म हैं, इसलिए विकर्ण युग्मों की संख्या विषम होनी चाहिए। (A) में अधिकतम (3) विकर्ण युग्म हो सकते हैं, इसलिए (1) संभव है। / Since the total is (5), the number of diagonal pairs must be odd. With (3) elements, possible diagonal counts are at most (3), so (1) is possible.
Step 3
Exam Tip
पहले सम-विषम नियम लगाएँ, फिर अधिकतम सीमा देखें। / Apply parity first, then check the maximum limit.
\(A\times A-R\) में वे युग्म हैं जो (R) में नहीं हैं। / \(A\times A-R\) contains the pairs not in (R).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) इस पूरक में है और ((b,a)) (R) में होता, तो सममितता से ((a,b)) भी (R) में होता, जो असंभव है। / If ((a,b)) is in this complement and ((b,a)) were in (R), symmetry of (R) would force \((a,b)\in R\), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध का पूरक भी सममित रहता है। / The complement of a symmetric relation is symmetric.
एक गैर-विकर्ण जोड़ी समूह का अर्थ है ((a,b)) और ((b,a)) दोनों साथ। / One off-diagonal pair group means ((a,b)) and ((b,a)) together.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए एक समूह से दो क्रमित युग्म बनते हैं। / Therefore one group gives two ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध में गैर-विकर्ण चयन को समूह के रूप में गिनें, अकेले युग्म के रूप में नहीं। / In symmetric relations, count off-diagonal selections as groups, not single pairs.
A. यदि \((4,1)\in R\) होता तो \((1,4)\in R\) भी होता, इसलिए \((4,1)\notin R\)/If \((4,1)\in R\), then \((1,4)\in R\), so \((4,1)\notin R\)
Step 1
Concept
सममितता में \((4,1)\in R\) होने पर उसका उल्टा \((1,4)\in R\) होना चाहिए। / In a symmetric relation, \((4,1)\in R\) would force \((1,4)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
पर \((1,4)\notin R\) दिया है, इसलिए ((4,1)) भी नहीं हो सकता। / Since \((1,4)\notin R\), ((4,1)) cannot be in (R).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध में किसी गैर-विकर्ण युग्म की अनुपस्थिति उसके उल्टे की अनुपस्थिति भी बताती है। / In symmetric relations, absence of an off-diagonal pair also implies absence of its reverse.
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेषफल है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है, तो (b) और (a) का भी समान ही होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, then (b) and (a) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले संबंध को सममित मानने से पहले उल्टा क्रम सोचें। / For same-remainder relations, check the reversed order mentally.
सममितता जाँचने के लिए एक युग्म लें। ((2,1)) संबंध में है क्योंकि \(2\equiv 2\cdot1 \pmod{5}\)। / Test one pair for symmetry. ((2,1)) belongs because \(2\equiv 2\cdot1 \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा ((1,2)) जाँचने पर \(1\equiv 4 \pmod{5}\) असत्य है। / The reverse ((1,2)) would require \(1\equiv 4 \pmod{5}\), which is false.
Step 3
Exam Tip
गुणक वाले शेषफल संबंधों में उल्टा क्रम हमेशा वही नियम पूरा नहीं करता। / Modular relations with a multiplier do not always survive reversal.
एक विकर्ण युग्म चुनने के (3) तरीके हैं। / There are (3) ways to choose one diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
दो गैर-विकर्ण क्रमित युग्मों का अर्थ है एक उल्टा जोड़ी समूह; (3) अवयवों में ऐसे समूह \(\binom{3}{2}=3\) हैं। / Two off-diagonal ordered pairs mean one reverse-pair group; with (3) elements, there are \(\binom{3}{2}=3\) such groups.
Step 3
Exam Tip
कुल तरीके \(3\cdot3=9\) होंगे। / Total possibilities are \(3\cdot3=9\).
