Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो सममित संबंधों का अंतर भी सममित होता है। / The difference of two symmetric relations is also symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(R-S) और (S-R) दोनों सममित होंगे, और सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है। / Both (R-S) and (S-R) are symmetric, and the union of symmetric relations is symmetric.
Step 3
Exam Tip
जटिल संक्रिया को छोटे भागों में तोड़कर गुण जाँचें। / Break a complex operation into smaller relation operations.
\(\Delta\) में केवल ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्म होते हैं। / \(\Delta\) contains only diagonal pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे युग्मों का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए \(\Delta\) सममित है और \(R\cap\Delta\) भी सममित रहेगा। / The reverse of such a pair is the same pair, so \(\Delta\) is symmetric and \(R\cap\Delta\) remains symmetric.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण संबंध को सममितता में हमेशा विशेष रूप से आसान मानें। / The diagonal relation is always easy to handle in symmetry questions.
A. ((a,a)), यदि (a) और (b) वही अवयव हैं जिनसे ((a,b)) दिया है/((a,a)), for the same (a) and (b) in the given pair
Step 1
Concept
\((a,b)\in R\) और सममितता से \((b,a)\in R\) होगा। / From \((a,b)\in R\), symmetry gives \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,a)) से \((a,a)\in R\) मिलता है। / By transitivity, ((a,b)) and ((b,a)) imply \((a,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
यह निष्कर्ष केवल जुड़े हुए अवयवों के लिए है, पूरे समुच्चय के हर अवयव के लिए नहीं। / This conclusion applies to the involved elements, not automatically to every element of the set.
A. कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता/No off-diagonal pair can occur
Step 1
Concept
सममितता में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। / Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधी-सममितता कहती है कि यदि दोनों दिशाएँ हों तो (a=b) होना चाहिए। इसलिए \(a\ne b\) वाले युग्म संभव नहीं। / Antisymmetry says that if both directions are present, then (a=b). Hence off-diagonal pairs with \(a\ne b\) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
दोनों गुण साथ आएँ तो विकर्ण और गैर-विकर्ण का अलग विश्लेषण करें। / When both properties appear together, separate diagonal and off-diagonal cases.
सममित और विरोधी-सममित दोनों होने पर कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता। / If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can be present.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (4) विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। / Only the (4) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^4\) है। / Therefore, the number of such relations is \(2^4\).
यदि (xy>0), तो (yx>0) भी होगा क्योंकि गुणन में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। / If (xy>0), then (yx>0) because the product does not change when order is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((x,y)\in R\) होने पर \((y,x)\in R\) भी होगा। / Hence \((x,y)\in R\) implies \((y,x)\in R\).
Step 3
Exam Tip
गुणनफल आधारित नियमों में क्रम बदलने का असर ध्यान से देखें। / In product-based conditions, check whether swapping changes the value.
A. \(R^2\) हमेशा सममित होगा/\(R^2\) will always be symmetric
Step 1
Concept
(R) सममित है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। / Since (R) is symmetric, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
(\(R\circ R\)^{-1}=R^{-1}\circ R^{-1}=R\circ R), इसलिए \(R^2\) अपने उल्टे के बराबर है। / (\(R\circ R\)^{-1}=R^{-1}\circ R^{-1}=R\circ R), so \(R^2\) equals its inverse.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध का वर्ग लेते समय उल्टे संबंध का नियम बहुत उपयोगी होता है। / For powers of relations, the inverse relation rule is very useful.
