यदि \(A=\{a,b\}\) है, तो पहचान संबंध कौन सा होगा?
If \(A=\{a,b\}\), which one is the identity relation?
#types-of-relations
#identity-relation
#ordered-pairs
A ({(a,a),(b,b)})
B ({(a,b),(b,a)})
C ({(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
A. ({(a,a),(b,b)})
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर अवयव केवल अपने-आप से संबंधित होता है। / In the identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(a) और (b) के लिए विकर्ण युग्म ((a,a)) और ((b,b)) हैं। / For (a) and (b), the diagonal pairs are ((a,a)) and ((b,b)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सही संबंध ({(a,a),(b,b)}) है। / Hence the correct relation is ({(a,a),(b,b)}).
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यदि \(A=\{1,2\}\) है, तो सार्वत्रिक संबंध में कौन सा युग्म अवश्य होगा?
If \(A=\{1,2\}\), which pair must be present in the universal relation?
#types-of-relations
#universal-relation
#cartesian-product
A ((1,2))
B ((3,1))
C ((2,3))
D ((3,3))
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Correct Answer
A. ((1,2))
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। / The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (1) और (2) हैं, इसलिए ((1,2)) संभव युग्म है। / Since (A) has only (1) and (2), ((1,2)) is a possible pair.
Step 3
Exam Tip
जिन युग्मों में (3) है, वे \(A\times A\) में नहीं आते। / Pairs containing (3) are not in \(A\times A\).
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किसी अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध किस गुण को पूरा नहीं करता?
Which property does the empty relation not satisfy on a non-empty set?
#types-of-relations
#empty-relation
#reflexive
A प्रतिवर्तिता / reflexivity
B सममितता / symmetry
C संक्रामकता / transitivity
D इनमें से कोई नहीं / none of these
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Correct Answer
A. प्रतिवर्तिता / reflexivity
Step 1
Concept
अरिक्त समुच्चय में कम से कम एक अवयव होता है। / A non-empty set has at least one element.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्तिता के लिए उसका विकर्ण युग्म चाहिए, पर रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता। / Reflexivity needs its diagonal pair, but the empty relation has no pair.
Step 3
Exam Tip
इसलिए रिक्त संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / Hence the empty relation is not reflexive.
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किसी संबंध में सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं। इससे कौन सा गुण तुरंत पता चलता है?
All diagonal pairs are present in a relation. Which property is immediately indicated?
#types-of-relations
#reflexive-relation
#diagonal-pairs
A प्रतिवर्तिता / reflexivity
B सममितता / symmetry
C अप्रतिवर्तिता / irreflexivity
D रिक्तता / emptiness
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Correct Answer
A. प्रतिवर्तिता / reflexivity
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म ((a,a)) प्रकार के होते हैं। / Diagonal pairs are of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
सभी विकर्ण युग्म मौजूद होने का अर्थ है कि हर अवयव अपने-आप से संबंधित है। / If all diagonal pairs are present, every element is related to itself.
Step 3
Exam Tip
यही प्रतिवर्ती संबंध की पहचान है। / This is exactly the sign of a reflexive relation.
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किसी संबंध में कोई भी विकर्ण युग्म नहीं है। यह कौन से गुण की ओर संकेत करता है?
A relation has no diagonal pair. Which property does this indicate?
#types-of-relations
#irreflexive-relation
#diagonal-pairs
A अप्रतिवर्तिता / irreflexivity
B प्रतिवर्तिता / reflexivity
C सार्वत्रिकता / universality
D समतुल्यता / equivalence
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Correct Answer
A. अप्रतिवर्तिता / irreflexivity
Step 1
Concept
अप्रतिवर्ती संबंध में कोई अवयव अपने-आप से संबंधित नहीं होता। / In an irreflexive relation, no element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए कोई भी ((a,a)) युग्म नहीं होना चाहिए। / Therefore no pair of the form ((a,a)) should be present.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्मों की अनुपस्थिति अप्रतिवर्तिता की मुख्य पहचान है। / Absence of diagonal pairs is the key sign of irreflexivity.
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यदि (R) सममित है और \((4,7)\in R\), तो कौन सा युग्म अवश्य (R) में होगा?
If (R) is symmetric and \((4,7)\in R\), which pair must be in (R)?
#types-of-relations
#symmetric-relation
#reverse-pair
A ((7,4))
B ((4,4))
C ((7,7))
D ((4,8))
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Correct Answer
A. ((7,4))
Step 1
Concept
सममितता में युग्म की दिशा बदलने पर भी वह संबंध में रहता है। / In symmetry, reversing a pair keeps it in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((4,7)) का उल्टा युग्म ((7,4)) है। / The reverse of ((4,7)) is ((7,4)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((7,4)) अवश्य मौजूद होगा। / Hence ((7,4)) must be present.
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यदि (R) संक्रामी है और \((2,5)\in R\), \((5,9)\in R\), तो कौन सा युग्म अवश्य (R) में होगा?
If (R) is transitive and \((2,5)\in R\), \((5,9)\in R\), which pair must be in (R)?
#types-of-relations
#transitive-relation
#ordered-pairs
A ((2,9))
B ((9,2))
C ((5,5))
D ((2,2))
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Correct Answer
A. ((2,9))
Step 1
Concept
संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। / Transitivity gives ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
यहां बीच वाला अवयव (5) है। / Here the middle element is (5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((2,9)) संबंध में होना चाहिए। / Therefore ((2,9)) must be in the relation.
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यदि (R) प्रतिसममित है और \(a\ne b\), तो ((a,b)) और ((b,a)) के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) is antisymmetric and \(a\ne b\), what is correct about ((a,b)) and ((b,a))?
#types-of-relations
#antisymmetric-relation
#definition
A दोनों साथ नहीं हो सकते / both cannot occur together
B दोनों साथ होने ही चाहिए / both must occur together
C दोनों हमेशा अनुपस्थित होंगे / both are always absent
D दोनों से प्रतिवर्तिता मिलती है / both imply reflexivity
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Correct Answer
A. दोनों साथ नहीं हो सकते / both cannot occur together
Step 1
Concept
प्रतिसममितता अलग अवयवों के बीच दोतरफा संबंध को रोकती है। / Antisymmetry prevents a two-way relation between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\ne b\), तो ((a,b)) और ((b,a)) दोनों साथ नहीं हो सकते। / If \(a\ne b\), then ((a,b)) and ((b,a)) cannot both occur.
Step 3
Exam Tip
यह सममितता से अलग गुण है, इसलिए उलझें नहीं। / This is different from symmetry, so do not mix the two.
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समतुल्यता संबंध से समुच्चय में क्या बनता है?
What does an equivalence relation form in a set?
#types-of-relations
#equivalence-classes
#partition
A समतुल्यता वर्ग / equivalence classes
B केवल रिक्त समुच्चय / only empty set
C केवल एक क्रमित युग्म / only one ordered pair
D केवल असमान अवयव / only unequal elements
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Correct Answer
A. समतुल्यता वर्ग / equivalence classes
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समान प्रकार के अवयवों को समूहों में रखता है। / An equivalence relation groups similar elements together.
Step 2
Why this answer is correct
इन समूहों को समतुल्यता वर्ग कहते हैं। / These groups are called equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
ऐसे वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / Such classes divide the set into disjoint parts.
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आंशिक क्रम संबंध में सममितता के स्थान पर कौन सा गुण होता है?
Which property replaces symmetry in a partial order relation?
#types-of-relations
#partial-order
#antisymmetric
A प्रतिसममितता / antisymmetry
B अप्रतिवर्तिता / irreflexivity
C रिक्तता / emptiness
D सार्वत्रिकता / universality
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Correct Answer
A. प्रतिसममितता / antisymmetry
Step 1
Concept
आंशिक क्रम संबंध में प्रतिवर्तिता और संक्रामकता होती है। / A partial order relation has reflexivity and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें सममितता नहीं, बल्कि प्रतिसममितता चाहिए। / Instead of symmetry, it requires antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आंशिक क्रम की पहचान में प्रतिसममितता बहुत जरूरी है। / Thus antisymmetry is important for identifying a partial order.
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