समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) कौन सा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), what type of relation is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\)?
#types-of-relations
#equivalence-relation
#ordered-pairs
A समतुल्यता संबंध / equivalence relation
B रिक्त संबंध / empty relation
C अप्रतिवर्ती संबंध / irreflexive relation
D सार्वत्रिक संबंध / universal relation
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / equivalence relation
Step 1
Concept
सभी विकर्ण युग्म होने से प्रतिवर्तिता है। / All diagonal pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) के साथ ((3,2)) भी है, इसलिए सममितता है। / ((2,3)) appears with ((3,2)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({2,3}) के भीतर जरूरी युग्म मौजूद हैं, इसलिए संक्रामकता भी बनी रहती है। / The required pairs within ({2,3}) are present, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2)\}\) प्रतिवर्ती क्यों नहीं है?
Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2)\}\) not reflexive on \(A=\{1,2,3\}\)?
#types-of-relations
#not-reflexive
#diagonal-pairs
A क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित है / because ((3,3)) is absent
B क्योंकि ((1,2)) मौजूद है / because ((1,2)) is present
C क्योंकि ((2,1)) अनुपस्थित है / because ((2,1)) is absent
D क्योंकि दो विकर्ण युग्म हैं / because two diagonal pairs are present
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Correct Answer
A. क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित है / because ((3,3)) is absent
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में (A) के हर अवयव का विकर्ण युग्म होना चाहिए। / A reflexive relation must contain the diagonal pair of every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(3) के लिए ((3,3)) नहीं है। / For element (3), ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
एक विकर्ण युग्म की कमी भी प्रतिवर्तिता को तोड़ देती है। / Missing even one diagonal pair breaks reflexivity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(3,3)\}\) किस गुण को पूरा करता है?
On \(A=\{1,2,3\}\), which property does \(R=\{(1,2),(2,1),(3,3)\}\) satisfy?
#types-of-relations
#symmetric-relation
#ordered-pairs
A सममितता / symmetry
B प्रतिवर्तिता / reflexivity
C सार्वत्रिकता / universality
D अप्रतिवर्तिता / irreflexivity
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Correct Answer
A. सममितता / symmetry
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) एक-दूसरे के उल्टे हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are reverses of each other.
Step 2
Why this answer is correct
((3,3)) का उल्टा वही युग्म है। / The reverse of ((3,3)) is itself.
Step 3
Exam Tip
हर मौजूद युग्म का उल्टा संबंध में है, इसलिए यह सममित है। / Every present pair has its reverse, so the relation is symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) किस गुण को पूरा करता है?
On \(A=\{1,2,3\}\), which property does \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) satisfy?
#types-of-relations
#transitive-relation
#ordered-pairs
A संक्रामकता / transitivity
B सममितता / symmetry
C प्रतिवर्तिता / reflexivity
D अप्रतिवर्तिता / irreflexivity
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Correct Answer
A. संक्रामकता / transitivity
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) संबंध में मौजूद है। / ((1,3)) is present in the relation.
Step 3
Exam Tip
((3,3)) से कोई नई कमी नहीं बनती, इसलिए संबंध संक्रामी है। / ((3,3)) creates no missing new pair, so the relation is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2\}\) पर \(R=\{(1,2)\}\) कौन सा गुण पूरा करता है?
On \(A=\{1,2\}\), which property does \(R=\{(1,2)\}\) satisfy?
#types-of-relations
#irreflexive-relation
#ordered-pairs
A अप्रतिवर्तिता / irreflexivity
B प्रतिवर्तिता / reflexivity
C सममितता / symmetry
D सार्वत्रिकता / universality
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Correct Answer
A. अप्रतिवर्तिता / irreflexivity
Step 1
Concept
अप्रतिवर्तिता में कोई विकर्ण युग्म नहीं होना चाहिए। / Irreflexivity requires no diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
(R) में ((1,1)) और ((2,2)) दोनों नहीं हैं। / (R) contains neither ((1,1)) nor ((2,2)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह अप्रतिवर्ती है, भले ही यह सममित नहीं है। / Hence it is irreflexive, even though it is not symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2)\}\) प्रतिसममित है या नहीं?
Is \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2)\}\) antisymmetric on \(A=\{1,2\}\)?
#types-of-relations
#antisymmetric-relation
#ordered-pairs
A हाँ / yes
B नहीं, क्योंकि ((2,1)) भी है / no, because ((2,1)) is also present
C नहीं, क्योंकि विकर्ण युग्म हैं / no, because diagonal pairs are present
D नहीं, क्योंकि ((1,2)) है / no, because ((1,2)) is present
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Correct Answer
A. हाँ / yes
Step 1
Concept
प्रतिसममितता केवल अलग अवयवों के दोतरफा युग्म को रोकती है। / Antisymmetry only forbids two-way pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है, पर ((2,1)) नहीं है। / Here ((1,2)) is present, but ((2,1)) is absent.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म प्रतिसममितता को नहीं तोड़ते, इसलिए संबंध प्रतिसममित है। / Diagonal pairs do not violate antisymmetry, so the relation is antisymmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) प्रतिसममित क्यों नहीं है?
Why is \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) not antisymmetric on \(A=\{1,2\}\)?
#types-of-relations
#not-antisymmetric
#ordered-pairs
A क्योंकि \(1\ne2\) होते हुए दोनों दिशाओं के युग्म हैं / because both directions occur while \(1\ne2\)
B क्योंकि कोई विकर्ण युग्म नहीं है / because no diagonal pair is present
C क्योंकि संबंध रिक्त नहीं है / because the relation is not empty
D क्योंकि इसमें दो युग्म हैं / because it has two pairs
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Correct Answer
A. क्योंकि \(1\ne2\) होते हुए दोनों दिशाओं के युग्म हैं / because both directions occur while \(1\ne2\)
Step 1
Concept
प्रतिसममितता में अलग अवयवों के लिए दोनों दिशाएं साथ नहीं होनी चाहिए। / In antisymmetry, both directions must not occur for distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं तथा \(1\ne2\)। / Here ((1,2)) and ((2,1)) both occur, and \(1\ne2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिसममितता टूट जाती है। / Therefore antisymmetry fails.
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पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b) संख्या (3) से विभाज्य हो। यह किस प्रकार का संबंध है?
On integers, (aRb) iff (a-b) is divisible by (3). What type of relation is it?
#types-of-relations
#equivalence-relation
#modulo
A समतुल्यता संबंध / equivalence relation
B अप्रतिवर्ती संबंध / irreflexive relation
C केवल रिक्त संबंध / empty relation only
D केवल प्रतिसममित संबंध / antisymmetric relation only
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) संख्या (3) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / (a-a=0) is divisible by (3), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है। / If (a-b) is divisible by (3), then (b-a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दो ऐसे अंतरों का योग भी (3) से विभाज्य होता है, इसलिए संबंध समतुल्यता है। / The sum of two such differences is divisible by (3), so the relation is an equivalence relation.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a\mid b\)। यह सममित क्यों नहीं है?
On natural numbers, (aRb) iff \(a\mid b\). Why is it not symmetric?
#types-of-relations
#divisibility
#not-symmetric
A क्योंकि \(1\mid2\) पर \(2\nmid1\) / because \(1\mid2\) but \(2\nmid1\)
B क्योंकि \(1\mid1\) / because \(1\mid1\)
C क्योंकि \(2\mid2\) / because \(2\mid2\)
D क्योंकि हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है / because every number divides itself
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Correct Answer
A. क्योंकि \(1\mid2\) पर \(2\nmid1\) / because \(1\mid2\) but \(2\nmid1\)
Step 1
Concept
सममितता के लिए युग्म का उल्टा भी सही होना चाहिए। / Symmetry requires the reverse pair to also be valid.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\mid2\) सही है, पर \(2\mid1\) सही नहीं है। / \(1\mid2\) is true, but \(2\nmid1\) is not true.
Step 3
Exam Tip
इसलिए विभाज्यता संबंध सममित नहीं है। / Therefore the divisibility relation is not symmetric.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a=b)। यह समतुल्यता संबंध क्यों है?
On real numbers, (aRb) iff (a=b). Why is it an equivalence relation?
#types-of-relations
#equality
#equivalence
A क्योंकि बराबरी प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है / because equality is reflexive, symmetric and transitive
B क्योंकि यह रिक्त संबंध है / because it is empty
C क्योंकि यह अप्रतिवर्ती है / because it is irreflexive
D क्योंकि यह केवल असमानता दिखाता है / because it shows only inequality
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Correct Answer
A. क्योंकि बराबरी प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है / because equality is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
हर संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / Every number is equal to itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a=b) हो तो (b=a), इसलिए सममितता है। / If (a=b), then (b=a), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(a=b) और (b=c) से (a=c), इसलिए संक्रामकता है। / If (a=b) and (b=c), then (a=c), so transitivity holds.
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