यदि (|A|=3) और (|B|=3) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=3) and (|B|=3), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#bijection
A (6)
B (9)
C (27)
D (3)
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Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (3) चुनाव हैं। / The first element has (3) choices.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (2) और फिर (1) चुनाव बचता है। / Then (2) choices and then (1) choice remain.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(3\cdot2\cdot1=6\) है। / The total number is \(3\cdot2\cdot1=6\).
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यदि (|A|=4) और (|B|=2) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=4) and (|B|=2), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#impossible-case
A (0)
B (2)
C (8)
D (16)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन के लिए (4) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (4) distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में केवल (2) तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। / The codomain has only (2) elements, so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो तो एकैकी फलनों की संख्या शून्य हो सकती है। / If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions may be zero.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है तो (f) के परास में तत्वों की संख्या कैसी होगी?
If \(f:A\to B\) is one-one, what can be said about the number of elements in the range of (f)?
#one-one-function
#range
#finite-set
A प्रांत के तत्वों जितनी / Equal to the number of elements in the domain
B हमेशा शून्य / Always zero
C सहप्रांत से हमेशा अधिक / Always more than the codomain
D हमेशा एक / Always one
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Correct Answer
A. प्रांत के तत्वों जितनी / Equal to the number of elements in the domain
Step 1
Concept
एकैकी फलन में प्रांत के हर तत्व का अलग प्रतिबिंब होता है। / In a one-one function, each domain element has a distinct image.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास में उतने ही तत्व होंगे जितने प्रांत में हैं। / Therefore the range has as many elements as the domain.
Step 3
Exam Tip
यह बात सीमित समुच्चयों की गिनती में बहुत उपयोगी है। / This fact is very useful in counting problems on finite sets.
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यदि (f(x)=\frac{x+1}{2}) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If (f(x)=\frac{x+1}{2}), is (f) one-one?
#one-one-function
#linear-fraction
#basic-proof
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (x=0) पर / Only at (x=0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानें। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1) और (a=b) मिलता है। / \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) gives (a+1=b+1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
हर में स्थिर संख्या होने से एकैकीपन नहीं टूटता। / A fixed denominator does not break one-one property.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) और (f(x)=\frac{1}{x}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#reciprocal-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq0\) और \(b\neq0\) होने से (a=b) निष्कर्ष मिलता है। / Since \(a\neq0\) and \(b\neq0\), this gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / The reciprocal function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +2x+5) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +2x+5), is (f) one-one?
#one-one-function
#quadratic-function
#not-one-one
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल धनात्मक संख्याओं पर / Only on positive numbers
D यह स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(x-2 +2x+5=(x+1)2 +4) है। / (x-2 +2x+5=(x+1)2 +4).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=5) और (f(-2)=5) जबकि \(0\neq-2\)। / (f(0)=5) and (f(-2)=5), while \(0\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / A quadratic function is generally not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[-1,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x-2 +2x+5) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[-1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 +2x+5), what type of function is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x+1)2 +4) है। / (f(x)=(x+1)2 +4).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\geq-1\) पर ((x+1)2 ) बढ़ता है। / For \(x\geq-1\), ((x+1)2 ) increases.
Step 3
Exam Tip
धुरी के एक ओर द्विघात फलन एकैकी हो सकता है। / On one side of its axis, a quadratic function can be one-one.
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कौन सा फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी है?
Which function is one-one on real numbers?
#one-one-function
#identify-function
#mcq
A (f(x)=x+1)
B (f(x)=x-2 )
C (f(x)=|x|)
D (f(x)=5)
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Correct Answer
A. (f(x)=x+1)
Step 1
Concept
(f(x)=x+1) रैखिक है और (x) का गुणांक \(1\neq0\) है। / (f(x)=x+1) is linear and the coefficient of (x) is \(1\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी विकल्पों में अलग आगत समान मान दे सकते हैं या फलन स्थिर है। / The other options can give equal outputs for different inputs or are constant.
Step 3
Exam Tip
आसान प्रश्नों में पहले रैखिक और स्थिर फलनों को पहचानें। / In easy questions, identify linear and constant functions first.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=6-2x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=6-2x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#linear-function
#easy
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानने पर (6-2a=6-2b) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get (6-2a=6-2b).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर (-2a=-2b) इसलिए (a=b)। / Simplifying gives (-2a=-2b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो फलन एकैकी होता है। / A linear function is one-one when the coefficient of (x) is not zero.
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यदि \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) और \(f=\{(1,5),(2,7),(3,6),(4,7)\}\) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) and \(f=\{(1,5),(2,7),(3,6),(4,7)\}\), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#finite-set
#not-one-one
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह सर्वसमिका फलन है / It is an identity function
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है इसलिए यह फलन है। / Each element of the domain has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (2) और (4) दोनों का प्रतिबिंब (7) है। / But both (2) and (4) have image (7).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में कोई प्रतिबिंब दोहर जाए तो फलन एकैकी नहीं होता। / In a finite set, repeated images mean the function is not one-one.
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