एकैकी फलन को पहचानने का सबसे अच्छा बीजगणितीय तरीका कौन सा है?
What is the best algebraic method to identify a one-one function?
#one-one-function
#algebraic-test
#proof
A (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) सिद्ध करना / Assume (f(a)=f(b)) and prove (a=b)
B केवल (f(0)) निकालना / Find only (f(0))
C केवल परास लिखना / Write only the range
D केवल सहप्रांत गिनना / Count only the codomain
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Correct Answer
A. (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) सिद्ध करना / Assume (f(a)=f(b)) and prove (a=b)
Step 1
Concept
एकैकीपन आगतों और निर्गतों की तुलना से जुड़ा है। / One-one property is about comparing inputs and outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(a)=f(b)) से (a=b) निकलता है तो फलन एकैकी है। / If (f(a)=f(b)) leads to (a=b), the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
केवल एक मान निकालना एकैकीपन का प्रमाण नहीं होता। / Finding only one function value is not a proof of one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 +2) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +2), what type of function is (f)?
#one-one-function
#cubic-function
#translation
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D सिर्फ शून्य पर परिभाषित / Defined only at zero
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) एक बढ़ने वाला फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
उसमें (2) जोड़ने से अलग आगतों के मान अलग ही रहते हैं। / Adding (2) keeps different input values different.
Step 3
Exam Tip
किसी एकैकी फलन में स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to a one-one function does not change one-one property.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x-3 -1) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 -1), what type of function is (f)?
#one-one-function
#cubic-function
#transformation
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) अलग वास्तविक आगतों पर अलग मान देता है। / \(x^3\) gives different values for different real inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(2) से गुणा और (1) घटाने पर समानता की प्रकृति नहीं बदलती। / Multiplying by (2) and subtracting (1) does not change the equality pattern.
Step 3
Exam Tip
सरल घन फलन के रैखिक रूपांतरण भी एकैकी रहते हैं। / Linear transformations of a basic cubic function remain one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +4x+4) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +4x+4), what type of function is (f)?
#one-one-function
#quadratic-function
#perfect-square
A एकैकी नहीं / Not one-one
B एकैकी / One-one
C सर्वसमिका / Identity
D रैखिक / Linear
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Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
(x-2 +4x+4=(x+2)2 ) है। / (x-2 +4x+4=(x+2)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1) और (f(-3)=1) जबकि \(-1\neq-3\)। / (f(-1)=1) and (f(-3)=1), although \(-1\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग रूप देखकर समान मान देने वाले दो आगत आसानी से मिलते हैं। / The perfect square form helps find two inputs with the same output.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), is (f) one-one?
#one-one-function
#trigonometric-function
#not-one-one
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (0) पर / Only at (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
\(\sin x\) आवर्ती फलन है। / \(\sin x\) is a periodic function.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) जबकि \(0\neq\pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर आवर्ती फलन अक्सर एकैकी नहीं होते। / Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) और (f(x)=\sin x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#trigonometric-function
#restricted-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में दो अलग (x) समान ज्या मान नहीं देते। / In this interval, two different (x) values do not give the same sine value.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन उचित अंतराल पर एकैकी हो सकते हैं। / Trigonometric functions can be one-one on suitable restricted intervals.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) हो तो एकैकीपन के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), which statement about one-one property is correct?
#one-one-function
#trigonometric-function
#periodic
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(\cos x\) आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\) जबकि \(0\neq2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).
Step 3
Exam Tip
समान मान वाले अलग कोण मिल जाएँ तो फलन एकैकी नहीं होता। / If different angles give the same value, the function is not one-one.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) और (f(x)=\cos x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) and (f(x)=\cos x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#trigonometric-function
#decreasing-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) घटने वाला फलन है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
घटने वाला फलन अलग आगतों पर अलग मान देता है। / A decreasing function gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ होना भी एकैकीपन की मजबूत पहचान है। / Being strictly decreasing is also a strong sign of one-one property.
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एकैकी फलन की गिनती में (A) के प्रत्येक तत्व के लिए प्रतिबिंब कैसे चुने जाते हैं?
In counting one-one functions, how are images chosen for each element of (A)?
#one-one-function
#counting
#no-repetition
A बिना दोहराव के / Without repetition
B हमेशा दोहराव के साथ / Always with repetition
C सिर्फ पहला तत्व चुना जाता है / Only the first element is chosen
D सभी को एक ही मान दिया जाता है / All are given the same value
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Correct Answer
A. बिना दोहराव के / Without repetition
Step 1
Concept
एकैकी फलन में दो अलग तत्वों को एक ही प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। / In a one-one function, two different elements cannot have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए चुने गए प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। / Therefore selected images are not repeated.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की गिनती में क्रमचय का विचार आता है। / Counting one-one functions uses the idea of permutations.
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यदि (|A|=2) और (|B|=4) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=2) and (|B|=4), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#finite-set
A (12)
B (8)
C (6)
D (16)
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Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (4) चुनाव हैं। / The first element has (4) choices.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे तत्व के लिए दोहराव न होने से (3) चुनाव बचते हैं। / The second element has (3) remaining choices because repetition is not allowed.
Step 3
Exam Tip
कुल एकैकी फलन \(4\cdot3=12\) होंगे। / Total one-one functions are \(4\cdot3=12\).
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