यदि \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{1}{x-2}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{1}{x-2}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#rational-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{1}{a-2}=\frac{1}{b-2}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{1}{a-2}=\frac{1}{b-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq2\) और \(b\neq2\) होने से (a-2=b-2) इसलिए (a=b)। / Since \(a\neq2\) and \(b\neq2\), we get (a-2=b-2), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
हर को शून्य करने वाले मान को प्रांत से हटाना जरूरी है। / The value making the denominator zero must be removed from the domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x) हो तो कौन सा युग्म दिखाता है कि (f) एकैकी नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one-function
#trigonometric-function
#counterexample
A (0) और \(\pi\) / (0) and \(\pi\)
B \(\frac{\pi}{2}\) और \(\pi\) / \(\frac{\pi}{2}\) and \(\pi\)
C (0) और \(\frac{\pi}{2}\) / (0) and \(\frac{\pi}{2}\)
D \(\pi\) और \(\frac{3\pi}{2}\) / \(\pi\) and \(\frac{3\pi}{2}\)
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Correct Answer
A. (0) और \(\pi\) / (0) and \(\pi\)
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\) है। / \(\sin 0=0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin \pi=0\) है जबकि \(0\neq\pi\)। / \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलनों में अलग कोण समान मान दे सकते हैं। / In periodic functions, different angles can give the same value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) हो तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), which statement is correct?
#one-one-function
#cosine-function
#not-one-one
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल शून्य मान देता है / It gives only zero value
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(\cos x\) आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\) जबकि \(0\neq2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एकैकीपन समाप्त हो जाता है। / Equal values at different inputs destroy one-one property.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2^x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2^x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#exponential-function
#increasing-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(2^x\) बढ़ने वाला घातीय फलन है। / \(2^x\) is an increasing exponential function.
Step 2
Why this answer is correct
अलग वास्तविक (x) पर \(2^x\) के अलग मान मिलते हैं। / Different real (x) values give different values of \(2^x\).
Step 3
Exam Tip
आधार (1) से बड़ा होने पर घातीय फलन एकैकी होता है। / An exponential function with base greater than (1) is one-one.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) और (f(x)=\left\(\frac{1}{3}\right\)^x) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=\left\(\frac{1}{3}\right\)^x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#exponential-function
#decreasing-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(\left\(\frac{1}{3}\right\)^x) घटने वाला घातीय फलन है। / (\left\(\frac{1}{3}\right\)^x) is a decreasing exponential function.
Step 2
Why this answer is correct
घटते हुए फलन में अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं। / A decreasing function gives different values for different inputs.
Step 3
Exam Tip
(0) और (1) के बीच आधार वाला घातीय फलन भी एकैकी होता है। / An exponential function with base between (0) and (1) is also one-one.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\log_2 x) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\log_2 x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#logarithmic-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D सभी वास्तविक पर परिभाषित / Defined on all real numbers
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(\log_2 x\) धनात्मक प्रांत पर बढ़ता है। / \(\log_2 x\) increases on the positive domain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\log_2 a=\log_2 b\) हो तो (a=b) होता है। / If \(\log_2 a=\log_2 b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / A logarithmic function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:A\to B\) स्थिर फलन है और (A) में एक से अधिक तत्व हैं तो (f) कैसा होगा?
If \(f:A\to B\) is a constant function and (A) has more than one element, what type of function is (f)?
#one-one-function
#constant-function
#concept
A एकैकी नहीं / Not one-one
B हमेशा एकैकी / Always one-one
C हमेशा द्वैकीय / Always bijective
D सर्वसमिका / Identity
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Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन सभी आगतों को एक ही प्रतिबिंब देता है। / A constant function sends all inputs to the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में एक से अधिक तत्व हैं इसलिए अलग आगत समान प्रतिबिंब देंगे। / Since (A) has more than one element, different inputs will have the same image.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन को एकैकी समझने की गलती न करें। / Do not mistake a constant function for a one-one function.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5,6,7\}\) हों तो एकैकी फलन के लिए (A) के तत्वों को कैसे भेजना होगा?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5,6,7\}\), how must elements of (A) be mapped for a one-one function?
#one-one-function
#finite-set
#concept
A तीनों को अलग-अलग तत्वों पर / All three to distinct elements
B तीनों को (4) पर / All three to (4)
C दो तत्वों को हमेशा समान प्रतिबिंब पर / Two elements always to the same image
D किसी तत्व को प्रतिबिंब न देकर / By leaving one element without an image
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Correct Answer
A. तीनों को अलग-अलग तत्वों पर / All three to distinct elements
Step 1
Concept
एकैकी फलन में प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। / In a one-one function, images are not repeated.
Step 2
Why this answer is correct
(A) के तीन तत्वों के लिए (B) के तीन अलग तत्व चुनने होंगे। / For the three elements of (A), three distinct elements of (B) must be chosen.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में अलग प्रतिबिंब ही एकैकीपन की कुंजी है। / In finite sets, distinct images are the key to one-one property.
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यदि किसी फलन का आलेख किसी क्षैतिज रेखा को दो स्थानों पर काटता है तो फलन के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If the graph of a function cuts a horizontal line at two points, what can be said about the function?
#one-one-function
#graph
#horizontal-line-test
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह अवश्य एकैकी है / It is definitely one-one
C यह स्थिर नहीं हो सकता / It cannot be constant
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
क्षैतिज रेखा का समान (y)-मान होता है। / A horizontal line represents the same (y)-value.
Step 2
Why this answer is correct
दो कटान का अर्थ है दो अलग (x) पर समान (y)-मान। / Two intersections mean two different (x)-values have the same (y)-value.
Step 3
Exam Tip
आलेख से एकैकीपन जाँचने में क्षैतिज रेखा परीक्षण उपयोगी है। / The horizontal line test is useful for checking one-one property from a graph.
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यदि किसी फलन का आलेख हर क्षैतिज रेखा को अधिकतम एक बार काटता है तो फलन कैसा है?
If the graph of a function intersects every horizontal line at most once, what type of function is it?
#one-one-function
#graph
#horizontal-line-test
A एकैकी / One-one
B स्थिर / Constant
C एकैकी नहीं / Not one-one
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
हर क्षैतिज रेखा एक निश्चित निर्गत को दर्शाती है। / Each horizontal line represents a fixed output.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम एक कटान का अर्थ है वह निर्गत केवल एक आगत से आता है। / At most one intersection means that output comes from only one input.
Step 3
Exam Tip
यही क्षैतिज रेखा परीक्षण का एकैकी परिणाम है। / This is the one-one conclusion of the horizontal line test.
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