यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sqrt[3]{x}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt[3]{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#cube-root-function
#increasing-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D केवल धनात्मक पर परिभाषित / Defined only on positives
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता है। / The cube-root function increases on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अलग वास्तविक आगतों के घनमूल अलग होते हैं। / Different real inputs have different cube roots.
Step 3
Exam Tip
घन और घनमूल दोनों एकैकीपन की दृष्टि से सरल उदाहरण हैं। / Cubic and cube-root functions are simple examples of one-one behavior.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=\sqrt{x}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#square-root-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) अपने प्रांत \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x}\) increases on its domain \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) हो तो (a=b) होता है। / If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एकैकी होता है। / The square-root function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +x) हो तो (f) एकैकी नहीं है यह कौन सा युग्म दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +x), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one-function
#quadratic-function
#counterexample
A (0) और (-1) / (0) and (-1)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (0) और (-1) / (0) and (-1)
Step 1
Concept
(f(0)=0) है। / (f(0)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1-1=0) है जबकि \(0\neq-1\)। / (f(-1)=1-1=0), while \(0\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में समान मान देने वाले दो आगत ढूँढकर एकैकीपन नकारें। / For a quadratic function, find two inputs with the same value to disprove one-one.
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यदि \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x-2 +x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 +x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(x-2 +x=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 -\frac{1}{4}) है। / (x-2 +x=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 -\frac{1}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रांत में \(x+\frac{1}{2}\geq0\) है इसलिए वर्ग भाग बढ़ता है। / In the given domain, \(x+\frac{1}{2}\geq0\), so the squared part increases.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन अपनी धुरी के एक ओर एकैकी हो जाता है। / A quadratic function becomes one-one on one side of its axis.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2|x|) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2|x|), what type of function is (f)?
#one-one-function
#modulus-function
#not-one-one
A एकैकी नहीं / Not one-one
B एकैकी / One-one
C रैखिक / Linear
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
मापांक के कारण (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। / Because of modulus, (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=6) और (f(-3)=6) जबकि \(3\neq-3\)। / (f(3)=6) and (f(-3)=6), while \(3\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
मापांक के साथ धनात्मक गुणन एकैकीपन नहीं बचाता। / Multiplying a modulus function by a positive constant does not make it one-one.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=2|x|) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=2|x|), what type of function is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#modulus-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x\geq0\) होने पर (|x|=x) हो जाता है। / For \(x\geq0\), (|x|=x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(x)=2x) है जो अलग आगतों पर अलग मान देता है। / Thus (f(x)=2x), which gives different values for different inputs.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से मापांक फलन का एकैकीपन बदल सकता है। / Changing the domain can change the one-one nature of a modulus function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 -x) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -x), which pair breaks one-one property?
#one-one-function
#cubic-expression
#counterexample
A (0) और (1) / (0) and (1)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (0) और (1) / (0) and (1)
Step 1
Concept
(f(0)=0) है। / (f(0)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1-1=0) है जबकि \(0\neq1\)। / (f(1)=1-1=0), while \(0\neq1\).
Step 3
Exam Tip
हर घन फलन एकैकी हो यह जरूरी नहीं है, नियम को जाँचें। / Not every cubic-looking function is one-one; check the rule.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 +4x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +4x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#increasing-function
#cubic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D सम फलन / Even function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
यह फलन (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। / This function increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) हो तो \(a^3+4a\) भी \(b^3+4b\) से बड़ा होता है। / If (a>b), then \(a^3+4a\) is greater than \(b^3+4b\).
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ता फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5-x-3 ) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5-x-3 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#decreasing-function
#cubic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D मापांक फलन / Modulus function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) बढ़ता है इसलिए \(-x^3\) घटता है। / \(x^3\) increases, so \(-x^3\) decreases.
Step 2
Why this answer is correct
\(5-x^3\) भी घटता हुआ फलन है और अलग आगतों पर अलग मान देता है। / \(5-x^3\) is decreasing and gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
लगातार घटता फलन भी एकैकी होता है। / A strictly decreasing function is also one-one.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\frac{2}{x}) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\frac{2}{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#reciprocal-function
#positive-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a,b>0) होने से (a=b) निष्कर्ष निकलता है। / Since (a,b>0), this gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम जैसा नियम अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / A reciprocal-type rule is one-one on its proper domain.
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