यदि \(f:{1,2,3}\to{a,b,c,d}\) और \(f=\{(1,a),(2,c),(3,d)\}\) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:{1,2,3}\to{a,b,c,d}\) and \(f=\{(1,a),(2,c),(3,d)\}\), what type of function is (f)?
#one-one-function
#finite-set
#ordered-pairs
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Each element of the domain has exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (a,c,d) अलग-अलग हैं। / The images (a,c,d) are distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में प्रतिबिंब दोहराए न जाएँ तो फलन एकैकी होता है। / In a finite set, if images are not repeated, the function is one-one.
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यदि \(f:{1,2,3,4}\to{p,q,r}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,p)\}\) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:{1,2,3,4}\to{p,q,r}\) and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,p)\}\), what type of function is (f)?
#one-one-function
#finite-set
#not-one-one
A एकैकी नहीं / Not one-one
B एकैकी / One-one
C सर्वसमिका / Identity
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
यहाँ (1) और (4) अलग प्रांत तत्व हैं। / Here (1) and (4) are different domain elements.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का प्रतिबिंब (p) है इसलिए दोहराव हो गया। / Both have image (p), so repetition occurs.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन में प्रतिबिंब का दोहराव स्वीकार नहीं होता। / Repetition of an image is not allowed in a one-one function.
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यदि (|A|=2) और (|B|=5) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=2) and (|B|=5), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#finite-set
A (20)
B (10)
C (25)
D (5)
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Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (5) चुनाव हैं। / The first element has (5) choices.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे तत्व के लिए दोहराव नहीं कर सकते इसलिए (4) चुनाव बचते हैं। / The second element has (4) choices because repetition is not allowed.
Step 3
Exam Tip
कुल एकैकी फलन \(5\cdot4=20\) होंगे। / Total one-one functions are \(5\cdot4=20\).
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यदि (|A|=3) और (|B|=4) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=3) and (|B|=4), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#permutation
A (24)
B (12)
C (64)
D (7)
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Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (4) चुनाव हैं। / The first element has (4) choices.
Step 2
Why this answer is correct
अगले दो तत्वों के लिए क्रमशः (3) और (2) चुनाव बचते हैं। / The next two elements have (3) and (2) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(4\cdot3\cdot2=24\) है। / The total number is \(4\cdot3\cdot2=24\).
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यदि (|A|=5) और (|B|=4) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=5) and (|B|=4), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#impossible-case
A (0)
B (20)
C (120)
D (625)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन के लिए (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (5) distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में केवल (4) तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। / The codomain has only (4) elements, so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
प्रांत के तत्व अधिक हों तो एकैकी फलन बन ही नहीं सकता। / If the domain has more elements than the codomain, no one-one function can exist.
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यदि कोई फलन एकैकी है तो दो अलग आगतों के प्रतिबिंब कैसे होंगे?
If a function is one-one, how will the images of two different inputs be?
#one-one-function
#definition
#basic
A अलग-अलग / Different
B हमेशा समान / Always equal
C हमेशा शून्य / Always zero
D परिभाषित नहीं / Undefined
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Correct Answer
A. अलग-अलग / Different
Step 1
Concept
एकैकी फलन की मूल पहचान अलग आगतों पर अलग प्रतिबिंब है। / The basic identity of a one-one function is distinct images for distinct inputs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि प्रतिबिंब समान हो जाएँ तो एकैकीपन टूट जाएगा। / If the images become equal, one-one property fails.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा याद रखें: समान प्रतिबिंब तभी जब आगत समान हों। / Remember the definition: equal images only come from equal inputs.
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यदि (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) हर (a,b) के लिए सत्य है तो (f) कैसा है?
If (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) is true for all (a,b), what type of function is (f)?
#one-one-function
#definition
#proof-form
A एकैकी / One-one
B आवर्ती / Periodic
C स्थिर / Constant
D शून्य फलन / Zero function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
यह एकैकी फलन की मानक बीजगणितीय शर्त है। / This is the standard algebraic condition for a one-one function.
Step 2
Why this answer is correct
समान प्रतिबिंब मिलने पर आगत समान होना चाहिए। / Equal images must imply equal inputs.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में इसी रूप का सबसे अधिक प्रयोग होता है। / This form is most commonly used in proofs.
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यदि (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)) सत्य है तो (f) के लिए सही शब्द कौन सा है?
If (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)) is true, what is the correct term for (f)?
#one-one-function
#definition
#symbolic
A एकैकी / One-one
B स्थिर / Constant
C बहुमूल्य / Many-valued
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
यह शर्त बताती है कि अलग आगत अलग प्रतिबिंब देते हैं। / This condition says different inputs give different images.
Step 2
Why this answer is correct
यही एकैकी फलन की सीधी परिभाषा है। / That is the direct definition of a one-one function.
Step 3
Exam Tip
इस कथन और (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) दोनों को समान अर्थ में याद रखें। / Remember that this statement and (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) have the same meaning.
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यदि किसी फलन में (f(5)=f(9)) और \(5\neq9\) हो तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If a function has (f(5)=f(9)) and \(5\neq9\), which conclusion is correct?
#one-one-function
#counterexample
#basic-test
A फलन एकैकी नहीं है / The function is not one-one
B फलन अवश्य एकैकी है / The function is definitely one-one
C फलन अवश्य आच्छादी है / The function is definitely onto
D फलन सर्वसमिका है / The function is identity
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Correct Answer
A. फलन एकैकी नहीं है / The function is not one-one
Step 1
Concept
(5) और (9) दो अलग आगत हैं। / (5) and (9) are two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों के प्रतिबिंब समान हैं इसलिए एकैकीपन की शर्त टूटती है। / Their images are equal, so the one-one condition fails.
Step 3
Exam Tip
एक ही विरोधी उदाहरण एकैकीपन नकारने के लिए पर्याप्त है। / A single counterexample is enough to disprove one-one.
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कौन सा फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी नहीं है?
Which function is not one-one on real numbers?
#one-one-function
#identify-function
#mcq
A (f(x)=x-2 +2)
B (f(x)=5x-1)
C (f(x)=-x+4)
D (f(x)=x-3 )
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Correct Answer
A. (f(x)=x-2 +2)
Step 1
Concept
\(x^2+2\) में (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। / In \(x^2+2\), (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=3) और (f(-1)=3) जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=3) and (f(-1)=3), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में वर्ग वाले फलन को खास ध्यान से जाँचें। / In options, check square-based functions carefully.
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