किस विकल्प में दिया संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर स्वतुल्य है?
Which option gives a reflexive relation on \(A=\{1,2,3\}\)?
#reflexive relation
#diagonal pairs
#finite set
A ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)})
B ({(1,1),(2,2),(1,3)})
C ({(1,2),(2,3),(3,1)})
D ({(1,1),(3,3)})
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Correct Answer
A. ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)})
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) तीनों युग्म चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
केवल पहले विकल्प में ये तीनों युग्म मौजूद हैं। / Only the first option contains all three diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्यता जांचते समय सबसे पहले सभी विकर्ण युग्म देखें। / Check all diagonal pairs first when testing reflexivity.
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किस विकल्प में दिया संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर सममित है?
Which option gives a symmetric relation on \(A=\{1,2,3\}\)?
#symmetric relation
#reverse pair
#finite set
A ({(1,2),(2,1),(3,3)})
B ({(1,2),(2,3)})
C ({(1,3),(2,1)})
D ({(1,2),(2,2),(3,1)})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,1),(3,3)})
Step 1
Concept
सममितता में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी चाहिए। / Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) स्वयं उल्टा है। / The first option has both ((1,2)) and ((2,1)), and ((3,3)) reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
किसी भी असमान युग्म का उल्टा न मिले तो सममितता टूट जाती है। / If the reverse of a non-diagonal pair is missing, symmetry fails.
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किस विकल्प में दिया संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर संक्रमण है?
Which option gives a transitive relation on \(A=\{1,2,3\}\)?
#transitive relation
#finite set
#relation properties
A ({(1,2),(2,3),(1,3)})
B ({(1,2),(2,3)})
C ({(2,1),(1,3)})
D ({(1,3),(3,2)})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,3),(1,3)})
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) होने पर संक्रमणता के लिए ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में यह जरूरी युग्म मौजूद है। / The first option contains this required pair.
Step 3
Exam Tip
संक्रमणता में बीच वाले तत्व को पकड़कर आरंभ और अंत का युग्म जांचें। / In transitivity, use the middle element to identify the needed start-to-end pair.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a=b) या ({a,b}={1,2})। इस संबंध के वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a=b) or ({a,b}={1,2}). What are the classes of this relation?
#defined relation
#equivalence classes
#finite set
A ({1,2},{3},{4})
B ({1,3},{2,4})
C ({1,2,3},{4})
D ({1},{2},{3},{4})
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Correct Answer
A. ({1,2},{3},{4})
Step 1
Concept
(a=b) से हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / The condition (a=b) relates every element to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) अलग से आपस में संबंधित किए गए हैं। / The extra condition relates (1) and (2) to each other.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1,2) एक वर्ग बनाते हैं और (3,4) अलग एकल वर्ग रहते हैं। / Hence (1,2) form one class, while (3) and (4) remain singleton classes.
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यदि (A) के (5) तत्व हैं और तुल्यता संबंध के वर्गों के आकार (2,2,1) हैं, तो संबंध में युग्मों की संख्या कितनी होगी?
If (A) has (5) elements and the sizes of the equivalence classes are (2,2,1), how many pairs are in the relation?
#class sizes
#counting pairs
#equivalence relation
A (5)
B (8)
C (9)
D (25)
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Step 1
Concept
आकार (m) वाले वर्ग से \(m^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / A class of size (m) contributes \(m^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल युग्म \(2^2+2^2+1^2=4+4+1\) होंगे। / The total is \(2^2+2^2+1^2=4+4+1\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध में (9) युग्म होंगे। / Therefore the relation has (9) pairs.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और ([a]=A), तो (a) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) is an equivalence relation and ([a]=A), which statement about (a) is correct?
#equivalence class
#whole set
#related elements
A (a) समुच्चय (A) के हर तत्व से संबंधित है / (a) is related to every element of (A)
B (a) किसी तत्व से संबंधित नहीं है / (a) is related to no element
C (a) केवल स्वयं से संबंधित है / (a) is related only to itself
D (A) रिक्त होना चाहिए / (A) must be empty
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Correct Answer
A. (a) समुच्चय (A) के हर तत्व से संबंधित है / (a) is related to every element of (A)
Step 1
Concept
([a]) उन सभी तत्वों का समूह है जो (a) से संबंधित हैं। / ([a]) is the set of all elements related to (a).
Step 2
Why this answer is correct
([a]=A) का अर्थ है कि (A) का हर तत्व (a) से संबंधित है। / ([a]=A) means every element of (A) is related to (a).
Step 3
Exam Tip
वर्ग की परिभाषा को समझना ऐसे निष्कर्षों में मदद करता है। / Use the definition of an equivalence class for such conclusions.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो ([a]) रिक्त क्यों नहीं हो सकता?
If (R) is an equivalence relation, why can ([a]) not be empty?
#non empty class
#reflexivity
#equivalence class
A क्योंकि (aRa) हमेशा सही है / Because (aRa) is always true
B क्योंकि हर संबंध सार्वत्रिक होता है / Because every relation is universal
C क्योंकि सममितता रिक्त वर्ग बनाती है / Because symmetry creates empty classes
D क्योंकि संक्रमणता सभी तत्व हटाती है / Because transitivity removes all elements
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Correct Answer
A. क्योंकि (aRa) हमेशा सही है / Because (aRa) is always true
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में स्वतुल्यता अनिवार्य है। / Reflexivity is required in an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतुल्यता से (aRa) मिलता है, इसलिए \(a\in[a]\)। / Reflexivity gives (aRa), so \(a\in[a]\).
Step 3
Exam Tip
इस कारण कोई भी तुल्यता वर्ग रिक्त नहीं होता। / Therefore no equivalence class is empty.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{2}\)। इस संबंध से बना विभाजन कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{2}\). Which partition is formed by this relation?
#modulo 2
#partition
#parity
A ({1,3,5},{2,4,6})
B ({1,2,3},{4,5,6})
C ({1,4},{2,5},{3,6})
D ({1},{2},{3},{4},{5},{6})
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Correct Answer
A. ({1,3,5},{2,4,6})
Step 1
Concept
(2) से समान शेष का अर्थ समान सम-विषम प्रकृति है। / Having the same remainder modulo (2) means having the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
विषम तत्व (1,3,5) और सम तत्व (2,4,6) अलग वर्ग बनाते हैं। / Odd elements (1,3,5) and even elements (2,4,6) form two separate classes.
Step 3
Exam Tip
मापांक (2) वाले संबंध में हमेशा सम और विषम वर्ग मिलते हैं। / A modulo (2) relation splits a set into odd and even classes.
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किस विकल्प में तुल्यता संबंध से बने वर्गों का सामान्य गुण सही है?
Which option states a general property of classes formed by an equivalence relation?
#equivalence classes
#disjointness
#partition property
A दो अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है / The intersection of two distinct classes is empty
B दो अलग वर्गों का प्रतिच्छेद हमेशा पूरा समुच्चय होता है / The intersection of two distinct classes is always the whole set
C हर वर्ग रिक्त होता है / Every class is empty
D हर वर्ग में केवल एक ही तत्व होता है / Every class has exactly one element
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Correct Answer
A. दो अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है / The intersection of two distinct classes is empty
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग समुच्चय का विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes form a partition of the set.
Step 2
Why this answer is correct
विभाजन में अलग-अलग वर्ग आपस में नहीं कटते। / In a partition, distinct classes do not overlap.
Step 3
Exam Tip
यदि दो वर्ग कटते दिखें, तो वे अलग नहीं बल्कि समान वर्ग होंगे। / If two classes overlap, they are not distinct; they are equal.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A\) है। इस संबंध में तुल्यता वर्गों की संख्या कितनी है?
For \(A=\{1,2,3,4\}\), let \(R=A\times A\). How many equivalence classes does this relation have?
#universal relation
#number of classes
#equivalence class
A (1)
B (2)
C (4)
D (16)
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Step 1
Concept
\(A\times A\) में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / In \(A\times A\), every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सभी तत्व एक ही बड़े तुल्यता वर्ग में आ जाते हैं। / Hence all elements fall into one large equivalence class.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में गैर-रिक्त समुच्चय के लिए केवल एक वर्ग होता है। / A universal relation on a non-empty set has only one class.
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