Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और परावर्ती संबंध में 4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / \(A\times A\) has 16 pairs, and 4 self-pairs are compulsory in a reflexive relation.
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((4,4)) पहले से अपने-अपने युग्मों में गिना गया है, जबकि ((1,2)) और ((2,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((4,4)) is already counted among self-pairs, while ((1,2)) and ((2,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म (6) हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) होगी। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
परावर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चार युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((2,2)) पहले से इन चार में गिना गया है, जबकि ((1,3)) और ((3,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((2,2)) is already counted among these four, while ((1,3)) and ((3,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म 6 हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) है। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
A. प्रारंभिक मशीनें स्टॉक और खरीदी गई मशीनें प्रवाह/Initial machines are stock and purchased machines are flow
Explanation
Simple Explanation
प्रारंभिक मशीनें किसी समय बिंदु पर उपलब्ध पूंजी हैं। वर्ष के दौरान खरीद निवेश प्रवाह है। / Initial machines are capital available at a point of time. Purchases during the year are an investment flow.
आवेशों का संयुक्त गुणन प्रभाव तीन गुणा आधा यानी डेढ़ गुना है। / The charge product factor is three times one half which is one and half.
Step 2
Why this answer is correct
दूरी दोगुनी होने से बल एक चौथाई हो जाता है। / Doubling distance makes force one fourth.
Step 3
Exam Tip
कुल प्रभाव तीन बटे आठ है और अठासी का तीन बटे आठ तेतीस न्यूटन है। / The net factor is three eighths and three eighths of eighty eight is thirty three newton.
5 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 5 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / On 5 elements, 5 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 8 युग्म चाहिए, इसलिए (25-5=20) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। / To have 8 total pairs, choose 3 pairs from the (25-5=20) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसे संबंधों की संख्या \(\binom{20}{3}\) होगी। / Hence the number is \(\binom{20}{3}\).
6 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 6 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / On 6 elements, 6 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 9 युग्म चाहिए, इसलिए (36-6=30) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। / To have 9 total pairs, choose 3 pairs from the (36-6=30) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
अतः संख्या \(\binom{30}{3}\) होगी। / Hence the number is \(\binom{30}{3}\).
सार्वजनिक ऋण किसी तारीख पर बकाया राशि है। राजकोषीय घाटा एक वर्ष की अवधि में मापा जाता है। / Public debt is an outstanding amount on a date. Fiscal deficit is measured over a year.
परावर्ती होने से 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं और 12 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं। / Reflexivity fixes 4 self-pairs and leaves 12 non-self pairs free.
Step 2
Why this answer is correct
कम से कम 6 कुल युग्मों के लिए कम से कम 2 गैर-अपने युग्म चुने जाने चाहिए। / At least 6 total pairs means at least 2 non-self pairs must be chosen.
Step 3
Exam Tip
कुल \(2^{12}\) विकल्पों में से 0 या 1 गैर-अपने युग्म वाले (1+12=13) मामले हटेंगे, इसलिए उत्तर \(2^{12}-13\) है। / From \(2^{12}\), subtract cases with 0 or 1 non-self pair: (1+12=13), so the answer is \(2^{12}-13\).
4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। / Four self-pairs are fixed by reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम 6 कुल युग्मों का अर्थ है कि 12 गैर-अपने युग्मों में से 0, 1, या 2 युग्म चुने जा सकते हैं। / At most 6 total pairs means choosing 0, 1, or 2 pairs from the 12 non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\) है। / The count is \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\).
3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / The 3 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए 3 गैर-अपने युग्मों में से ठीक 1 चुनने के \(\binom{3}{1}=3\) तरीके हैं। / Choose exactly 1 of the given 3 non-self pairs in \(\binom{3}{1}=3\) ways.
Step 3
Exam Tip
बाकी 3 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^3=24\) है। / The remaining 3 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^3=24\).
धनात्मक शुद्ध निवेश पूंजी भंडार में वृद्धि बताता है। परीक्षा में निवेश को स्टॉक बदलने वाला प्रवाह समझें। / Positive net investment indicates an increase in capital stock. In exams, treat investment as a flow that changes stock.
बराबर बलों के बीच एक सौ बीस अंश होने पर परिणामी का परिमाण एक बल के बराबर होता है। / For two equal forces at one hundred twenty degrees the resultant equals one force.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रत्येक बल अठारह न्यूटन है। / Each force is eighteen newton.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिणामी अठारह न्यूटन होगा। / Therefore the resultant is eighteen newton.
(R) परावर्ती है, इसलिए उसमें सभी अपने-अपने युग्म मौजूद हैं। / (R) is reflexive, so it contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(S) में कोई अपने-अपने युग्म नहीं है, इसलिए घटाने पर जरूरी युग्म नहीं हटेंगे। / (S) has no self-pair, so subtracting (S) will not remove the required pairs.
Step 3
Exam Tip
सभी अपने-अपने युग्म बचे रहेंगे, इसलिए (R-S) परावर्ती होगा। / All self-pairs remain, hence (R-S) is reflexive.
B. यह परावर्ती नहीं हो सकता/It cannot be reflexive
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। / Since (R) is reflexive, \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A-R\) में (R) के सभी युग्म हट जाते हैं, इसलिए अपने-अपने युग्म भी हट जाते हैं। / In \(A\times A-R\), all pairs of (R) are removed, so the self-pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर अपने-अपने युग्मों के बिना संबंध परावर्ती नहीं हो सकता। / On a non-empty set, a relation without self-pairs cannot be reflexive.
वर्ष के अंत का भंडार समय बिंदु पर मापा जाता है। वर्ष भर की खरीद समय अवधि में मापी जाती है। / Year-end stock is measured at a point of time. Purchases during the year are measured over a period.
चुने हुए कोने पर दोनों बल बराबर हैं और उनके बीच साठ अंश है। / On the chosen corner the two forces are equal and the angle between them is sixty degrees.
Step 2
Why this answer is correct
बराबर बलों का साठ अंश पर परिणामी एक बल का मूल तीन गुना होता है। / Resultant of equal forces at sixty degrees is root three times one force.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल बल बीस मूल तीन न्यूटन होगा। / Therefore net force is twenty root three newton.
A. यह परावर्ती नहीं हो सकता/It cannot be reflexive
Step 1
Concept
परावर्ती (R) में हर ((a,a)) मौजूद होता है। / A reflexive (R) contains every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A-R\) में (R) के युग्म हटा दिए जाते हैं, इसलिए सभी अपने-अपने युग्म हट जाते हैं। / In \(A\times A-R\), all pairs of (R) are removed, so all self-pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर अपने-अपने युग्मों के बिना संबंध परावर्ती नहीं हो सकता। / On a non-empty set, a relation without self-pairs cannot be reflexive.
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है/It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। / Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in it.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का व्युत्क्रम भी ((a,a)) है, इसलिए ये युग्म \(R^{-1}\) में भी हैं। / The inverse of ((a,a)) is also ((a,a)), so these pairs are in \(R^{-1}\) too.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में सभी अपने-अपने युग्म रहेंगे और \(R^{-1}\cap R\) सममित भी होगा। / The intersection keeps all self-pairs and \(R^{-1}\cap R\) is also symmetric.
C. धन संपत्ति स्टॉक है और आय प्रवाह है/Wealth is stock and income is flow
Explanation
Simple Explanation
धन संपत्ति किसी समय पर उपलब्ध संपत्ति है। आय अवधि में अर्जित होती है। / Wealth is property available at a point of time. Income is earned over a period.
A. हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है/The middle element (a) can be taken for every (a)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
मध्य तत्व (a) लेकर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संयोजन परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
D. जब किसी तारीख पर जमा बचत राशि बताई जाए/When accumulated saving on a date is given
Explanation
Simple Explanation
किसी तारीख पर जमा बचत राशि भंडार है। अवधि में की गई बचत प्रवाह होती है। / Accumulated saving on a date is a stock. Saving made during a period is a flow.
बाएँ छोटा धन आवेश लक्ष्य को दाएँ धकेलेगा। / The smaller positive charge on the left pushes the target to the right.
Step 2
Why this answer is correct
दाएँ चार गुना धन आवेश दूरी दो पर है इसलिए उसका बल चार बटे चार यानी बराबर होगा और दिशा बाएँ होगी। / The four times charge on the right at double distance gives factor four by four so equal force toward left.
Step 3
Exam Tip
बराबर विपरीत बल रद्द होकर कुल बल शून्य देंगे। / Equal opposite forces cancel and net force is zero.
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में मध्य तत्व (a) लेने पर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 4 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 12 युग्मों के लिए 8 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 4 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में चुनी जाएंगी। / For 12 total pairs, 8 non-self pairs are needed, meaning 4 unordered pairs are chosen in both directions.
Step 3
Exam Tip
6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 4 चुनने के \(\binom{6}{4}=15\) तरीके हैं। / Choose 4 of the 6 unordered pairs in \(\binom{6}{4}=15\) ways.
सकल पूंजी निर्माण अवधि में होता है इसलिए प्रवाह है। वर्ष के अंत का पूंजी भंडार स्टॉक है। / Gross capital formation occurs over a period, so it is a flow. Capital stock at year end is a stock.
परावर्ती होने से 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes the 3 self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 7 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में ली जाएंगी। / To have 7 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are taken in both directions.
Step 3
Exam Tip
3 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं। / Choose 2 of the 3 unordered pairs in \(\binom{3}{2}=3\) ways.
(4) से भाग देने पर समान शेषफल के समूह ({1,5}), ({2,6}), ({3,7}), ({4,8}) हैं। / The equal-remainder groups modulo 4 are ({1,5}), ({2,6}), ({3,7}), and ({4,8}).
Step 2
Why this answer is correct
हर समूह के अंदर \(2^2=4\) युग्म बनते हैं। / Each group gives \(2^2=4\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4+4=16) युग्म होंगे और सभी अपने-अपने युग्म शामिल हैं। / Total pairs are (4+4+4+4=16), including all self-pairs.
ऋण बकाया समय बिंदु पर मापा गया स्टॉक है। वर्ष में दिए गए ऋण अवधि में मापा गया प्रवाह है। / Loan outstanding is a stock measured at a point of time. Loans given during the year are a flow measured over a period.
दो धन आवेशों के बीच दूरी बारह सेंटीमीटर है। यदि उनके बीच तीसरा धन आवेश ठीक मध्य में रखा जाए तो दोनों बाहरी आवेश उस पर कैसे बल लगाएंगे जब बाहरी आवेश बराबर हों?
4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। / The 4 self-pairs are fixed by reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 8 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में शामिल होंगी। / For 8 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are included in both directions.
Step 3
Exam Tip
6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। / Choose 2 of the 6 unordered pairs, giving \(\binom{6}{2}=15\).
वर्ग शेषफल देखें: ({0}) का शेषफल 0, ({1,5}) का शेषफल 1, ({2,4}) का शेषफल 4, और ({3}) का शेषफल 3 है। / Square remainders are grouped as ({0}) with remainder 0, ({1,5}) with remainder 1, ({2,4}) with remainder 4, and ({3}) with remainder 3.
Step 2
Why this answer is correct
समान वर्ग शेषफल वाले समूहों के अंदर युग्म बनेंगे। / Ordered pairs are formed within equal square-remainder groups.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\) नहीं, ध्यान से जोड़ने पर (1+4+4+1=10) है, इसलिए सही संख्या 10 है। / The total is \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\).
जनसंख्या किसी समय पर गिनी जाती है इसलिए स्टॉक है। मृत्यु संख्या अवधि में घटित होती है इसलिए प्रवाह है। / Population is counted at a point of time, so it is stock. Number of deaths occurs over a period, so it is flow.
(3) से भाग देने पर समान शेषफल के समूह ({1,4}), ({2,5}), ({3,6}) बनते हैं। / The equal-remainder groups modulo 3 are ({1,4}), ({2,5}), and ({3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
हर समूह के अंदर ही युग्म बनेंगे, इसलिए प्रत्येक समूह \(2^2=4\) युग्म देगा। / Pairs are formed only within each group, so each group gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे और यह संबंध परावर्ती भी है। / Total pairs are (4+4+4=12), and the relation is reflexive.
दोनों धन आवेश ऋण लक्ष्य को अपनी ओर आकर्षित करेंगे। / Both positive charges attract the negative target toward themselves.
Step 2
Why this answer is correct
बाएँ बल का गुणक चार बटे चार यानी एक है और दाएँ बल का गुणक भी एक है। / Left force factor is four by four which is one and right force factor is also one.
Step 3
Exam Tip
दोनों बराबर और विपरीत हैं इसलिए कुल बल शून्य होगा। / The forces are equal and opposite so net force is zero.
\(X\subseteq Y\) के लिए हर मूल तत्व की तीन स्थितियां हो सकती हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। / For \(X\subseteq Y\), each basic element has three choices: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (X) में होना संभव नहीं है। / Being in (X) only is not allowed.
Step 3
Exam Tip
4 मूल तत्वों के लिए कुल \(3^4=81\) युग्म होंगे। / For 4 basic elements, the total number of pairs is \(3^4=81\).
प्रारंभिक नकद शेष समय बिंदु पर उपलब्ध राशि है। दिन भर की बिक्री समय अवधि में होती है। / Opening cash balance is an amount available at a point of time. Sales during the day occur over a time period.
