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A. सममित है लेकिन केवल इसी आधार पर तुल्यता सिद्ध नहीं होती/Symmetric but equivalence is not proved by this alone
Step 1
Concept
किसी भी \((a,b) \in R\) के लिए (a+b) सम होता है। / For any \((a,b) \in R\), (a+b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
तब (b+a) भी सम होगा, इसलिए \((b,a) \in R\) होगा। / Since (b+a) has the same value, \((b,a) \in R\) also belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में योग पर बने संबंधों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममिति जल्दी जांचें। / In exam questions based on sum conditions, first check whether changing the order changes the condition.
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4)\}\) है, तो (R) को सममित बनाने के लिए कम से कम कौन-सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\) हो, तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, लेकिन ((2,4)) है और ((4,2)) नहीं है। / ((1,3)) and ((3,1)) are paired, but ((2,4)) is missing its reverse ((4,2)).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में हर गैर-समान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें। / In exams, always check the reverse of each unequal ordered pair.
पूंजी स्टॉक में शुद्ध जोड़ शुद्ध निवेश के बराबर होता है और (500 - 180 = 320) है। परीक्षा में शुद्ध जोड़ निकालने के लिए मूल्यह्रास घटाएँ। / Net addition to capital stock equals net investment and (500 - 180 = 320). In exams, deduct depreciation to find net addition.
B. छत्तीस मूल तीन न्यूटन मीटर/Thirty six root three newton metre
Step 1
Concept
बल आघूर्ण में कोण की ज्या लगती है। / Torque uses sine of the angle.
Step 2
Why this answer is correct
साठ अंश की ज्या मूल तीन बटा दो होती है। / Sine of sixty degrees is root three by two.
Step 3
Exam Tip
नौ गुणा आठ गुणा मूल तीन बटा दो से छत्तीस मूल तीन न्यूटन मीटर मिलता है। / Nine times eight times root three by two gives thirty six root three newton metre.
सममित संबंध में \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। / Here ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में केवल गायब उल्टे युग्म खोजें, सभी युग्म दोबारा न गिनें। / For such questions, look only for missing reverse pairs instead of recounting all pairs.
यदि समुच्चय में (n) अवयव हों, तो सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / For a set with (n) elements, the number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=3), इसलिए संख्या \(2^{\frac{3(4)}{2}}=2^6\) है। / Here (n=3), so the number is \(2^{\frac{3(4)}{2}}=2^6\).
Step 3
Exam Tip
गिनती वाले प्रश्नों में पहले अवयवों की संख्या साफ लिखें। / For counting questions, first write the value of (n) clearly.
सूत्र के अनुसार (Net\ investment = Gross\ investment - Depreciation), इसलिए मूल्यह्रास (200) होगा। परीक्षा में ऋणात्मक शुद्ध निवेश देखकर घबराएँ नहीं। / Using (Net\ investment = Gross\ investment - Depreciation), depreciation is (200). In exams, do not get confused by negative net investment.
विकर्ण के (n) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण से बाहर के (\frac{n(n-1)}{2}) उल्टे युग्मों के जोड़े साथ-साथ चुने जाते हैं या हटते हैं। / The off-diagonal reverse pair groups are (\frac{n(n-1)}{2}), and each group is chosen together or not chosen.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), so the number is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
पूंजी स्टॉक में (20) की कमी का अर्थ शुद्ध निवेश (-20) है, इसलिए मूल्यह्रास (320) होगा। परीक्षा में stock change को net investment से जोड़ें। / A fall of (20) in capital stock means net investment is (-20), so depreciation is (320). In exams, connect stock change with net investment.
सभी स्वतुल्य युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) पहले से अनिवार्य हैं। / The reflexive pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
बचे हुए तीन उल्टे युग्मों के समूह हैं: ((1,2)) के साथ ((2,1)), ((1,3)) के साथ ((3,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2))। / The remaining off-diagonal reverse-pair groups are three.
Step 3
Exam Tip
हर समूह के लिए दो चुनाव हैं, इसलिए कुल \(2^3=8\) संबंध होंगे। / Each group has two choices, so the total number is \(2^3=8\).
A. क्योंकि \((1,2) \in R\), पर \((2,1) \notin R\)/Because \((1,2) \in R\), but \((2,1) \notin R\)
Step 1
Concept
सममितता के लिए हर युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। / Symmetry requires the reverse of every ordered pair to be present.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\le2\) इसलिए \((1,2) \in R\), लेकिन \(2\le1\) असत्य है, इसलिए \((2,1) \notin R\)। / Since \(1\le2\), \((1,2) \in R\), but \(2\le1\) is false, so \((2,1) \notin R\).
Step 3
Exam Tip
असममितता दिखाने के लिए केवल एक सही प्रतिउदाहरण काफी होता है। / To disprove symmetry, one valid counterexample is enough.
पूंजी स्टॉक में वृद्धि शुद्ध निवेश (70) है, इसलिए मूल्यह्रास (250 - 70 = 180) है। परीक्षा में net addition को शुद्ध निवेश मानें। / The increase in capital stock is net investment (70), so depreciation is (250 - 70 = 180). In exams, treat net addition as net investment.
आव्यूह से सममिति जांचने के लिए मुख्य विकर्ण के आर-पार प्रविष्टियां बराबर होनी चाहिए। / To check symmetry from a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}\), \(m_{12}=m_{21}\), and \(m_{23}=m_{32}\).
Step 3
Exam Tip
संबंध का आव्यूह अपने परिवर्त के बराबर हो तो संबंध सममित होता है। / If the relation matrix equals its transpose, the relation is symmetric.
(n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=4) रखने पर \(2^{\frac{4(5)}{2}}=2^{10}\) मिलता है। / For (n=4), this becomes \(2^{\frac{4(5)}{2}}=2^{10}\).
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) के कुल युग्म और सममित संबंधों की संख्या अलग-अलग होती है, इन्हें न मिलाएँ। / Do not confuse the total number of pairs in \(A\times A\) with the count of symmetric relations.
C. जब शुद्ध निवेश शून्य हो/When net investment is zero
Explanation
Simple Explanation
शुद्ध निवेश शून्य होने पर सकल निवेश केवल घिसी पूंजी की भरपाई करता है। परीक्षा में replacement investment को depreciation cover से जोड़ें। / When net investment is zero, gross investment only replaces worn-out capital. In exams, connect replacement investment with depreciation cover.
आव्यूह से संबंध सममित तभी होगा जब आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। / A relation is symmetric if its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=1\) matches \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) matches \(m_{21}=0\), and \(m_{23}=0\) matches \(m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्न में \(m_{ij}\) और \(m_{ji}\) की तुलना करें। / In matrix questions, compare \(m_{ij}\) with \(m_{ji}\).
B. सकल निवेश शुद्ध निवेश और मूल्यह्रास का योग है/Gross investment is the sum of net investment and depreciation
Explanation
Simple Explanation
सकल निवेश में पूंजी का शुद्ध जोड़ और घिसी पूंजी की भरपाई दोनों शामिल होते हैं। परीक्षा में gross को total investment समझें। / Gross investment includes net addition to capital and replacement of worn-out capital. In exams, understand gross as total investment.
स्थितिज ऊर्जा ऋण द्विध्रुव आघूर्ण गुणा क्षेत्र गुणा कोज्या कोण होती है। / Potential energy is negative dipole moment times field times cosine of angle.
Step 2
Why this answer is correct
साठ अंश का कोज्या एक बटा दो होता है। / Cosine of sixty degrees is one half.
Step 3
Exam Tip
ऋण आठ गुणा नौ गुणा एक बटा दो से ऋण छत्तीस जूल मिलता है। / Negative eight times nine times one half gives negative thirty six joule.
मूल्यह्रास (GDP - NDP = 900 - 760 = 140) है। परीक्षा में gross और net product का अंतर depreciation होता है। / Depreciation is (GDP - NDP = 900 - 760 = 140). In exams, the difference between gross and net product is depreciation.
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है, इसलिए सममितता पूरी है। / ((1,2)) has ((2,1)) and ((2,3)) has ((3,2)), so symmetry is satisfied.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतुल्य होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए, जो यहाँ नहीं हैं। / Reflexivity would need ((1,1),(2,2),(3,3)), which are missing.
Step 3
Exam Tip
सममित और स्वतुल्य गुणों को अलग-अलग जाँचें। / Check symmetry and reflexivity separately.
सकल माप निकालने के लिए शुद्ध माप में मूल्यह्रास जोड़ते हैं, इसलिए (840 + 90 = 930) है। परीक्षा में net से gross जाते समय depreciation जोड़ें। / To get the gross measure, add depreciation to the net measure, so (840 + 90 = 930). In exams, add depreciation when moving from net to gross.
A. ऋण इक्कीस मूल तीन जूल/Negative twenty one root three joule
Step 1
Concept
स्थितिज ऊर्जा ऋण गुणनफल गुणा कोज्या कोण होती है। / Potential energy equals negative product times cosine of angle.
Step 2
Why this answer is correct
तीस अंश का कोज्या मूल तीन बटा दो होता है। / Cosine of thirty degrees is root three by two.
Step 3
Exam Tip
ऋण बयालीस गुणा मूल तीन बटा दो से ऋण इक्कीस मूल तीन जूल मिलता है। / Negative forty two times root three by two gives negative twenty one root three joule.
विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए यह सममित है। / The option contains both ((1,2)) and ((2,1)), so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। / But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)) for transitivity, which is absent.
Step 3
Exam Tip
सममिति और संक्रामकता अलग गुण हैं; उल्टे युग्म होने से संक्रामकता अपने आप नहीं मिलती। / Symmetry and transitivity are different properties; reverse pairs do not automatically give transitivity.
यदि (x-y) विषम है, तो (y-x=-(x-y)) भी विषम होगा। / If (x-y) is odd, then (y-x=-(x-y)) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((x,y)) होने पर ((y,x)) भी संबंध में होगा। / Hence whenever ((x,y)) is in the relation, ((y,x)) will also be in it.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले नियम में चिन्ह बदलने से सम या विषम होने की प्रकृति नहीं बदलती। / In difference-based parity rules, changing the sign does not change oddness or evenness.
B. स्थिर पूंजी के मूल्य में सामान्य उपयोग और अप्रचलन से कमी/Fall in fixed capital value due to normal use and obsolescence
Explanation
Simple Explanation
मूल्यह्रास स्थिर पूंजी की सामान्य घिसावट और अप्रचलन से मूल्य कमी है। परीक्षा में इसे fixed capital consumption मानें। / Depreciation is the fall in value of fixed capital due to normal wear and obsolescence. In exams, treat it as consumption of fixed capital.
ऊर्जा ऋण गुणनफल गुणा कोज्या कोण है। / Energy equals negative product times cosine of angle.
Step 2
Why this answer is correct
एक सौ पचास अंश का कोज्या ऋण मूल तीन बटा दो होता है। / Cosine of one hundred fifty degrees is negative root three by two.
Step 3
Exam Tip
ऋण छत्तीस गुणा ऋण मूल तीन बटा दो से अठारह मूल तीन जूल मिलता है। / Negative thirty six times negative root three by two gives eighteen root three joule.
A. \(R\cap S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cap S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। / If \((a,b) \in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) सममित हैं, इसलिए ((b,a)) दोनों में होगा और इसीलिए \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both, so it belongs to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में गुण सिद्ध करते समय युग्म को दोनों संबंधों में अलग-अलग जाँचें। / For intersection proofs, check membership in both relations separately.
प्रतिस्थापन निवेश मूल्यह्रास की भरपाई है, इसलिए शुद्ध निवेश (400 - 150 = 250) होगा। परीक्षा में replacement को depreciation के बराबर मानें। / Replacement investment covers depreciation, so net investment is (400 - 150 = 250). In exams, treat replacement as equal to depreciation.
यदि (a-b) संख्या (2) से विभाज्य है, तो (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Thus, each pair has its reverse pair.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में ऋण चिह्न सममिति को नहीं बिगाड़ता। / In divisibility-based relations, a negative sign does not break symmetry.
A. \(R\cup S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cup S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। / If \((a,b) \in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में ((a,b)) है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा और \(R\cup S\) में भी होगा। / The relation containing ((a,b)) is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
संघ में सिद्ध करते समय यह देखें कि युग्म कम से कम एक संबंध में है। / In union proofs, track that the pair belongs to at least one relation.
B. पूंजी स्टॉक में शुद्ध वृद्धि शून्य है/Net increase in capital stock is zero
Explanation
Simple Explanation
सकल निवेश मूल्यह्रास के बराबर है, इसलिए शुद्ध निवेश शून्य होगा। परीक्षा में बराबरी का अर्थ maintenance of capital stock समझें। / Gross investment equals depreciation, so net investment will be zero. In exams, equality means maintenance of capital stock.
A. संबंध सममित नहीं है/The relation is not symmetric
Step 1
Concept
संबंध की सममिति का आव्यूह परीक्षण यह है कि \(M=M^T\) होना चाहिए। / The matrix test for symmetry is \(M=M^T\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि आव्यूह सममित नहीं है, तो किसी जगह \(m_{ij}\neq m_{ji}\) होगा। / If the matrix is not symmetric, then for some place \(m_{ij}\neq m_{ji}\).
Step 3
Exam Tip
इसका अर्थ है कि किसी युग्म का उल्टा युग्म अनुपस्थित है, इसलिए संबंध सममित नहीं है। / That means some pair does not have its reverse pair, so the relation is not symmetric.
((1,3)) संबंध में मौजूद है। / The pair ((1,3)) is present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए इसका उल्टा ((3,1)) भी होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Symmetry requires its reverse ((3,1)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
प्रश्न में दिए गए सभी युग्मों को पढ़कर पहले अकेले पड़े युग्म को पहचानें। / While reading the given pairs, first identify any pair whose reverse is absent.
प्रतिस्थापन निवेश मूल्यह्रास (120) के बराबर है और सकल निवेश (60 + 120 = 180) है। परीक्षा में क्रम को ध्यान से पढ़ें। / Replacement investment equals depreciation (120), and gross investment is (60 + 120 = 180). In exams, read the order carefully.
द्विध्रुव को नब्बे अंश से शून्य अंश तक स्वतंत्र घूमने दिया जाए। क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य कितना होगा यदि द्विध्रुव आघूर्ण और क्षेत्र का गुणनफल अड़तालीस जूल है?
नब्बे अंश पर ऊर्जा शून्य होती है। / At ninety degrees energy is zero.
Step 2
Why this answer is correct
शून्य अंश पर ऊर्जा ऋण अड़तालीस जूल होती है। / At zero degree energy is negative forty eight joule.
Step 3
Exam Tip
ऊर्जा घटने का परिमाण अड़तालीस जूल है इसलिए क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य धन अड़तालीस जूल है। / Decrease in energy is forty eight joule so work done by field is positive forty eight joule.
\(T\subseteq R\) होने से (T) के युग्म (R) से आते हैं। / Since \(T\subseteq R\), the pairs of (T) come from (R).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (T) में किसी युग्म का उल्टा युग्म हटाया जा सकता है, इसलिए सममिति टूट सकती है। / But (T) may include a pair while excluding its reverse pair, so symmetry can fail.
Step 3
Exam Tip
सममिति उपसमुच्चय लेने पर हमेशा सुरक्षित नहीं रहती। / Symmetry is not always preserved when taking an arbitrary subset.
