Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सममित संबंध में यदि \((a,b)\in R\) हो तो \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए। / A relation is symmetric if \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ शर्त (a+b सम है) है और (a+b=b+a), इसलिए उल्टा युग्म भी वही शर्त पूरी करता है। / Here the condition is (a+b is even\(), and (a+b=b+a), so the reverse pair also satisfies it.\)
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसी शर्तों में जोड़ की क्रम-विनिमेयता तुरंत जाँचें। / In exams, check commutative conditions like addition first.
ऐसी स्थिति में सकल निवेश मूल्यह्रास के बराबर होता है। इसलिए शुद्ध निवेश शून्य रहता है। / In this situation gross investment equals depreciation. Therefore net investment remains zero.
C. प्रतिस्थापन के साथ शुद्ध निवेश भी हुआ/Net investment occurred along with replacement
Explanation
Simple Explanation
पुरानी मशीन बदलना प्रतिस्थापन है और अतिरिक्त मशीन शुद्ध जोड़ है। इसलिए इसमें शुद्ध निवेश भी शामिल है। / Replacing the old machine is replacement and the additional machine is net addition. So it includes net investment too.
A. हाँ, सभी अनिवार्य उल्टे युग्म हैं/Yes, all required reverse pairs are present
Step 1
Concept
((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है और दोनों हैं। / The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), and both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है और दोनों हैं; ((1,1)) अपना ही उल्टा है। / The reverse of ((2,3)) is ((3,2)), and ((1,1)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए हर संभव युग्म जरूरी नहीं, केवल लिए गए युग्मों के उल्टे जरूरी हैं। / Symmetry does not require all possible pairs, only reverse pairs of the chosen pairs.
शुद्ध निवेश सकल निवेश में से मूल्यह्रास घटाने पर मिलता है। इसलिए 300 में से 120 घटाने पर 180 करोड़ होता है। / Net investment is obtained by subtracting depreciation from gross investment. So 300 minus 120 gives 180 crore.
सकल निवेश मूल्यह्रास से कम है इसलिए शुद्ध निवेश ऋणात्मक होगा। यह पूंजी भंडार में कमी का संकेत है। / Gross investment is less than depreciation, so net investment will be negative. This indicates a fall in capital stock.
(n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=3), इसलिए घात \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) होगी। / For (n=3), the exponent is \(\frac{3\cdot4}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म अलग-अलग चुने जाते हैं और गैर-विकर्ण युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। / Diagonal pairs are chosen independently, while non-diagonal pairs are chosen in reverse-pair blocks.
B. सकल निवेश मूल्यह्रास के बराबर हो/Gross investment equals depreciation
Explanation
Simple Explanation
जब सकल निवेश मूल्यह्रास के बराबर होता है तो केवल घिसी पूंजी की भरपाई होती है। पूंजी में शुद्ध वृद्धि नहीं होती। / When gross investment equals depreciation, only worn-out capital is replaced. There is no net rise in capital.
चार अवयवों के लिए गैर-विकर्ण उल्टे युग्मों के समूहों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। / For four elements, the number of non-diagonal reverse-pair blocks is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 2
Why this answer is correct
सभी विकर्ण युग्म पहले से अनिवार्य हैं, इसलिए केवल इन छह समूहों को चुनना या छोड़ना है। / All diagonal pairs are compulsory, so only these six blocks can be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
जब प्रतिवर्ती और सममित साथ हों तो गिनती में विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र मत गिनिए। / When reflexive and symmetric are combined, do not count diagonal choices as free.
सकल निवेश शुद्ध निवेश और मूल्यह्रास का योग है। इसलिए 70 और 45 मिलाकर 115 करोड़ होता है। / Gross investment is the sum of net investment and depreciation. So 70 plus 45 gives 115 crore.
कुल विकर्ण स्थान (n) होते हैं और गैर-विकर्ण उल्टे युग्मों के समूह (\frac{n(n-1)}{2}) होते हैं। / There are (n) diagonal positions and (\frac{n(n-1)}{2}) non-diagonal reverse-pair blocks.
Step 2
Why this answer is correct
कुल स्वतंत्र चयन (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हो जाते हैं। / Total independent choices become (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों की गिनती करते समय ((a,b)) और ((b,a)) को अलग-अलग स्वतंत्र नहीं गिनना चाहिए। / While counting symmetric relations, do not treat ((a,b)) and ((b,a)) as independent choices.
मूल्यह्रास सकल निवेश और शुद्ध निवेश का अंतर है। 160 में से 95 घटाने पर 65 करोड़ मिलता है। / Depreciation is the difference between gross investment and net investment. 160 minus 95 gives 65 crore.
संबंध सममित तब होता है जब उसका आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। / A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{24}=m_{42}=1\), बाकी संबंधित स्थान भी समान हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{24}=m_{42}=1\), and the other matching positions also agree.
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्न में हमेशा मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाइए। / In matrix questions, compare entries across the main diagonal.
नई तकनीक पुरानी मशीन को कम उपयोगी या कम मूल्यवान बना सकती है। इसे अप्रचलन से जुड़ा मूल्यह्रास कहते हैं। / New technology can make an old machine less useful or less valuable. This is depreciation linked with obsolescence.
सकल निवेश में मूल्यह्रास की भरपाई शामिल होती है। शुद्ध निवेश पाने के लिए मूल्यह्रास घटाया जाता है। / Gross investment includes replacement of depreciation. Depreciation is deducted to obtain net investment.
व्युत्क्रम संबंध में हर युग्म उलट जाता है। / In an inverse relation, every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
सममित संबंध में उल्टा युग्म पहले से उसी संबंध में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। / In a symmetric relation, the reversed pair is already in the same relation, so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता और व्युत्क्रम संबंध का संबंध याद रखना बहुत उपयोगी है। / Remembering the link between symmetry and inverse relation saves time in exams.
सकल निवेश शुद्ध निवेश और मूल्यह्रास का योग है। ऋणात्मक 25 में 60 जोड़ने पर 35 करोड़ मिलता है। / Gross investment is net investment plus depreciation. Adding 60 to negative 25 gives 35 crore.
A. क्योंकि \((1,2)\in R\) पर \((2,1)\notin R\)/Because \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
सममितता जाँचने के लिए एक ऐसा युग्म खोजें जिसका उल्टा न हो। / To disprove symmetry, find one pair whose reverse is missing.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) में (1<2), इसलिए यह (R) में है; पर (2<1) गलत है, इसलिए ((2,1)) नहीं है। / ((1,2)) is in (R) because (1<2), but ((2,1)) is not because (2<1) is false.
Step 3
Exam Tip
केवल एक विरोधी उदाहरण संबंध को सममित न मानने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to show a relation is not symmetric.
C. सकल निवेश 50 और मूल्यह्रास 90/Gross investment 50 and depreciation 90
Explanation
Simple Explanation
यहां सकल निवेश मूल्यह्रास से कम है। इसलिए शुद्ध निवेश ऋणात्मक होगा और पूंजी भंडार घट सकता है। / Here gross investment is less than depreciation. So net investment will be negative and capital stock may fall.
द्विध्रुव को नब्बे अंश से शून्य अंश तक स्वतंत्र घूमने दिया जाए। क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य किसके बराबर होगा यदि द्विध्रुव आघूर्ण और क्षेत्र का गुणनफल बत्तीस जूल है?
नब्बे अंश पर ऊर्जा शून्य होती है। / At ninety degrees energy is zero.
Step 2
Why this answer is correct
शून्य अंश पर ऊर्जा ऋण बत्तीस जूल होती है। / At zero degree energy is negative thirty two joule.
Step 3
Exam Tip
ऊर्जा घटने का परिमाण बत्तीस जूल है इसलिए क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य धन बत्तीस जूल है। / Decrease in energy is thirty two joule so work done by field is positive thirty two joule.
A. (R) सममित और प्रतिवर्ती है/(R) is symmetric and reflexive
Step 1
Concept
सभी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / All diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं तथा विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं होते हैं, इसलिए सममित भी है। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, and diagonal pairs are self-reverse, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
एक साथ दो गुण जाँचते समय दोनों की अलग-अलग कसौटी लगाइए। / When two properties are asked together, test both separately.
C. सकल निवेश 110 और मूल्यह्रास 60/Gross investment 110 and depreciation 60
Explanation
Simple Explanation
110 में से 60 घटाने पर 50 का धनात्मक शुद्ध निवेश मिलता है। यह पूंजी भंडार में वृद्धि दिखाता है। / Subtracting 60 from 110 gives positive net investment of 50. This shows increase in capital stock.
द्विध्रुव को अस्थायी संतुलन से स्थायी संतुलन तक अपने आप आने दिया गया। यदि द्विध्रुव आघूर्ण और क्षेत्र का गुणनफल पच्चीस जूल है तो क्षेत्र का कार्य कितना होगा?
A. (R) सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं है/(R) is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है और ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है, इसलिए संबंध सममित है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए विकर्ण युग्म अनिवार्य नहीं होते। / Diagonal pairs are not compulsory for symmetry alone.
A. घिसी पूंजी की लागत अलग करके शुद्ध माप निकालना/To separate worn-out capital cost and find net measure
Explanation
Simple Explanation
मूल्यह्रास पूंजी की घिसावट का माप है। इसे घटाने से शुद्ध उत्पाद या शुद्ध निवेश मिलता है। / Depreciation measures wear and tear of capital. Deducting it gives net product or net investment.
A. \(R\cap S\) सममित होगा/\(R\cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। / If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा, अतः \((b,a)\in R\cap S\)। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both, so \((b,a)\in R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
दो सममित संबंधों का प्रतिच्छेद हमेशा सममित रहता है। / The intersection of two symmetric relations is always symmetric.
A. यह तभी सही है जब सकल निवेश मूल्यह्रास से अधिक हो/It is true only when gross investment exceeds depreciation
Explanation
Simple Explanation
सकल निवेश केवल घिसावट की भरपाई भी कर सकता है। पूंजी में शुद्ध वृद्धि तभी है जब शुद्ध निवेश धनात्मक हो। / Gross investment may only replace wear and tear. Net rise in capital occurs only when net investment is positive.
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। / If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में यह युग्म है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी में और फिर \(R\cup S\) में होगा। / The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
A. जब पुरानी मशीन बदली और अतिरिक्त क्षमता भी जोड़ी गई हो/When old machine is replaced and extra capacity is also added
Explanation
Simple Explanation
पुरानी मशीन बदलना प्रतिस्थापन है और अतिरिक्त क्षमता शुद्ध निवेश है। दोनों को मिलाकर ही सकल निवेश बनता है। / Replacing old machine is replacement and extra capacity is net investment. Together they form gross investment.
B. एक सौ पैंतीस अंश/One hundred thirty five degrees
Step 1
Concept
ज्या कोण मूल दो बटा दो होने पर पैंतालीस या एक सौ पैंतीस अंश संभव हैं। / Sine equal to root two by two gives forty five or one hundred thirty five degrees.
Step 2
Why this answer is correct
धनात्मक ऊर्जा के लिए कोज्या ऋणात्मक होना चाहिए। / Positive energy requires negative cosine.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कोण एक सौ पैंतीस अंश होगा। / Therefore the angle is one hundred thirty five degrees.
B. अप्रचलन से मूल्यह्रास/Depreciation due to obsolescence
Explanation
Simple Explanation
मूल्यह्रास केवल भौतिक घिसावट से नहीं होता। तकनीकी अप्रचलन भी पूंजी का मूल्य घटा सकता है। / Depreciation is not caused only by physical wear. Technological obsolescence can also reduce capital value.
