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A. परिणामी बल शून्य और बल आघूर्ण अशून्य/Net force is zero and torque is nonzero
Step 1
Concept
समान विद्युत क्षेत्र में दोनों आवेशों पर बराबर और विपरीत बल लगते हैं। / In a uniform electric field, equal and opposite forces act on the two charges.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परिणामी बल शून्य होता है लेकिन बलों की रेखाएँ अलग होने पर घुमाने वाला प्रभाव बचता है। / Thus net force is zero, but a turning effect remains when force lines are different.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में याद रखें कि समान क्षेत्र में द्विध्रुव स्थानांतरित नहीं होता पर घूम सकता है। / Remember that a dipole in a uniform field may rotate without translating.
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\) दिया है। (R) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
सममित संबंध में यदि ((a,b)) है, तो ((b,a)) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) मौजूद है, लेकिन ((3,2)) नहीं है। बाकी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing, while ((1,2)) and ((2,1)) already form a pair.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा युग्म अवश्य जाँचें। / In exams, always check the reverse of every non-diagonal ordered pair.
पूंजी स्टॉक में शुद्ध वृद्धि शुद्ध निवेश है, इसलिए मूल्यह्रास (780-210=570) होगा। परीक्षा में net addition को net investment मानें। / Net increase in capital stock is net investment, so depreciation is (780-210=570). In exams, treat net addition as net investment.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होगा। / Hence whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) also holds.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में शर्त को उल्टा करके देखें कि वही सत्य रहती है या नहीं। / For such questions, reverse the condition and check whether it remains true.
पूंजी स्टॉक में कमी का अर्थ शुद्ध निवेश (-35) है, इसलिए मूल्यह्रास (420-(-35)=455) होगा। परीक्षा में घटे हुए stock को negative net investment मानें। / A fall in capital stock means net investment is (-35), so depreciation is (420-(-35)=455). In exams, treat a fall in stock as negative net investment.
B. नहीं, क्योंकि (a>b) से (b>a) नहीं होता/No, because (a>b) does not imply (b>a)
Step 1
Concept
(a-b>0) का अर्थ है (a>b)। / (a-b>0) means (a>b).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) है, तो सामान्यतः (b>a) नहीं हो सकता, इसलिए उल्टा युग्म शर्त पूरी नहीं करता। / If (a>b), then generally (b>a) is false, so the reversed pair does not satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
असमिका वाले संबंधों में उल्टी दिशा अक्सर गलत हो जाती है। / In inequality-based relations, the reverse direction often fails.
मूल्यह्रास (2500-2200=300) है और सकल निवेश (500+300=800) है। परीक्षा में पहले depreciation निकालें। / Depreciation is (2500-2200=300), and gross investment is (500+300=800). In exams, find depreciation first.
तीस अंश पर कोज्या धनात्मक होती है इसलिए ऊर्जा ऋणात्मक होती है। / At thirty degrees, cosine is positive, so potential energy is negative.
Step 2
Why this answer is correct
एक सौ पचास अंश पर कोज्या ऋणात्मक होती है इसलिए ऊर्जा धनात्मक होती है। / At one hundred fifty degrees, cosine is negative, so potential energy is positive.
Step 3
Exam Tip
इसीलिए ऊर्जा का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है। / Therefore the sign changes from negative to positive.
(|a-b|=2) होने पर (|b-a|=|-(a-b)|=2) होता है। / If (|a-b|=2), then (|b-a|=|-(a-b)|=2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए जिस युग्म में अंतर (2) है, उसका उल्टा युग्म भी यही अंतर देगा। / So every pair with difference (2) has its reverse pair satisfying the same condition.
Step 3
Exam Tip
परिमाण वाले संबंधों में उल्टा करने पर मान नहीं बदलता, इसे याद रखें। / Absolute value conditions usually remain unchanged under reversal.
मूल्यह्रास (3600-3150=450) है और शुद्ध निवेश (700-450=250) है। परीक्षा में product gap को depreciation समझें। / Depreciation is (3600-3150=450), and net investment is (700-450=250). In exams, treat product gap as depreciation.
(3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (3) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
(3) गैर-विकर्ण जोड़े हैं और हर जोड़े को साथ-साथ चुनना या छोड़ना होगा, इसलिए कुल स्वतंत्र निर्णय (3+3=6) हैं। / There are (3) unordered off-diagonal pairs, and each pair must be selected together or omitted together, giving (3+3=6) independent choices.
Step 3
Exam Tip
(n) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
प्रतिस्थापन निवेश मूल्यह्रास के बराबर है, इसलिए सकल निवेश (-40+260=220) होगा। परीक्षा में replacement को depreciation मानें। / Replacement investment equals depreciation, so gross investment is (-40+260=220). In exams, treat replacement as depreciation.
B. क्षेत्र के विपरीत दिशा में/Opposite to the field
Step 1
Concept
क्षेत्र के विपरीत दिशा में कोण एक सौ अस्सी अंश होता है और बल आघूर्ण शून्य होता है। / Opposite to the field, the angle is one hundred eighty degrees and torque is zero.
Step 2
Why this answer is correct
इस स्थिति में स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है। / Potential energy is maximum there.
Step 3
Exam Tip
अधिकतम ऊर्जा वाली संतुलन स्थिति अस्थायी होती है, इसलिए द्विध्रुव वापस नहीं लौटता। / A maximum energy equilibrium is unstable, so the dipole does not return.
(n) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on an (n)-element set is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=4), इसलिए स्वतंत्र स्थानों की संख्या \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) है। / Here (n=4), so the number of independent positions is \(\frac{4\cdot5}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
संख्या पूछे जाने पर सूत्र में (n) सावधानी से रखें। / For counting questions, substitute (n) carefully.
प्रतिस्थापन निवेश मूल्यह्रास है और वह सकल निवेश के बराबर है, इसलिए शुद्ध निवेश शून्य है। परीक्षा में full replacement को zero net investment समझें। / Replacement investment is depreciation and it equals gross investment, so net investment is zero. In exams, understand full replacement as zero net investment.
कुल निवेश सकल निवेश है और पुरानी पूंजी की भरपाई मूल्यह्रास है, इसलिए शुद्ध वृद्धि (640-180=460) है। परीक्षा में replacement घटाएँ। / Total investment is gross investment and replacement of old capital is depreciation, so net increase is (640-180=460). In exams, subtract replacement.
B. सकल निवेश (550), मूल्यह्रास (100)/Gross investment (550), depreciation (100)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प B में शुद्ध निवेश (450) है, जो बाकी विकल्पों से अधिक है। परीक्षा में हर विकल्प में gross से depreciation घटाएँ। / Option B has net investment (450), which is higher than the others. In exams, subtract depreciation from gross in every option.
बल आघूर्ण द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के गुणनफल पर निर्भर करता है। / Torque depends on the product of dipole moment and electric field.
Step 2
Why this answer is correct
एक राशि तीन गुना और दूसरी एक तिहाई होने से गुणनफल वही रहता है। / Tripling one quantity and reducing the other to one third keeps the product unchanged.
Step 3
Exam Tip
अतः समान कोण पर बल आघूर्ण अपरिवर्तित रहेगा। / Hence torque remains unchanged at the same angle.
यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। / If (a+b=5), then (b+a=5) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ का क्रम बदलने पर योग वही रहता है, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। / Since addition is commutative, the reversed pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
योग वाली शर्तों में क्रम बदलकर तुरंत जाँच करें। / For sum-based conditions, reverse the order and check immediately.
A. सकल निवेश (200), मूल्यह्रास (350)/Gross investment (200), depreciation (350)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A में शुद्ध निवेश (-150) है, जो सबसे कम है। सबसे अधिक ऋणात्मक शुद्ध निवेश पूंजी स्टॉक को सबसे अधिक घटाता है। / Option A has net investment (-150), the lowest. The most negative net investment reduces capital stock the most.
A. क्योंकि \(a^2=b^2\) से \(b^2=a^2\) भी सत्य है/Because \(a^2=b^2\) implies \(b^2=a^2\)
Step 1
Concept
सममितता में बराबरी की दिशा पलटने पर सत्यता बनी रहती है। / In symmetry, an equality remains true when the two sides are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=b^2\) होने पर स्पष्ट रूप से \(b^2=a^2\) भी होगा, इसलिए उल्टा युग्म संबंध में है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also true, so the reversed pair belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
बराबरी आधारित संबंधों में बराबरी का उल्टा रूप ध्यान से लिखें। / For equality-based relations, write the reversed equality carefully.
(GDP) निकालने के लिए (NDP) में मूल्यह्रास जोड़ते हैं, इसलिए (1500+250=1750) है। NFIA इस conversion में नहीं लगेगा। / To find (GDP), add depreciation to (NDP), so (1500+250=1750). NFIA is not used in this conversion.
A. द्विध्रुव आघूर्ण से विद्युत क्षेत्र की ओर सदिश गुणनफल/Cross product from dipole moment to electric field
Step 1
Concept
बल आघूर्ण एक सदिश राशि है। / Torque is a vector quantity.
Step 2
Why this answer is correct
इसकी दिशा द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के सदिश गुणनफल से मिलती है। / Its direction is obtained from the cross product of dipole moment and electric field.
Step 3
Exam Tip
क्रम बदलने पर दिशा बदल सकती है, इसलिए क्रम पर ध्यान देना जरूरी है। / Reversing the order can reverse direction, so order matters.
सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे युग्मों की जाँच करनी होती है। / For symmetry, we only need to check reverse pairs of the pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। विकर्ण युग्म अपना उल्टा स्वयं होता है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)). A diagonal pair reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए सभी विकर्ण युग्मों का होना आवश्यक नहीं है। / All diagonal pairs are not required for symmetry.
(NDP = GDP - Depreciation), इसलिए (2800-300=2500) है। NFIA घरेलू माप को राष्ट्रीय माप में बदलने के लिए होता है। / (NDP = GDP - Depreciation), so (2800-300=2500). NFIA is used to convert domestic measure into national measure.
A. यह द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के अदिश गुणनफल के ऋण से जुड़ी है/It is related to the negative dot product of dipole moment and electric field
Step 1
Concept
स्थितिज ऊर्जा दिशा के साथ कोण की कोज्या पर निर्भर करती है। / Potential energy depends on cosine of the angle.
Step 2
Why this answer is correct
कोज्या वाला संबंध अदिश गुणनफल से आता है। / A cosine relation comes from the dot product.
Step 3
Exam Tip
ऋण चिह्न बताता है कि क्षेत्र की दिशा में ऊर्जा कम होती है। / The negative sign shows energy is lower when aligned with the field.
((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\le2\)। / ((1,2)) is in the relation because \(1\le2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका उल्टा ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(2\le1\) असत्य है। / Its reverse ((2,1)) is not in the relation because \(2\le1\) is false.
Step 3
Exam Tip
सममित न होने के लिए मौजूद युग्म और उसके गायब उल्टे युग्म को दिखाना सबसे साफ तरीका है। / To disprove symmetry, show a present pair whose reverse is absent.
मूल्यह्रास (5000-4550=450) है और (GNP = NNP + Depreciation = 4650+450=5100) है। परीक्षा में depreciation दोनों gross net conversions में समान रहता है। / Depreciation is (5000-4550=450), and (GNP = NNP + Depreciation = 4650+450=5100). In exams, depreciation is common in gross-net conversions.
सममित संबंध की परिभाषा सीधे कहती है कि ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होगा। / The definition of a symmetric relation says that ((b,a)) must be present whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((4,7)) दिया है, इसलिए ((7,4)) अवश्य होगा। / Since ((4,7)) is given, ((7,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
सममितता से विकर्ण युग्म अपने आप नहीं मिलते। / Symmetry does not automatically force diagonal pairs.
मूल्यह्रास (1000-250=750) है। शुरुआती पूंजी स्टॉक इस calculation में जरूरी नहीं है। / Depreciation is (1000-250=750). Beginning capital stock is not needed in this calculation.
(n) तत्वों पर स्वतंत्र चुनावों की संख्या (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / For an (n)-element set, the number of independent choices is (\frac{n(n+1)}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
(n=5) रखने पर \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) मिलता है। / With (n=5), this becomes \(\frac{5\cdot6}{2}=15\).
Step 3
Exam Tip
अंतिम संख्या \(2^{15}\) होगी, क्योंकि हर स्वतंत्र स्थान चुना या छोड़ा जा सकता है। / The total number is \(2^{15}\), as each independent position can be chosen or omitted.
पूंजी स्टॉक में शुद्ध वृद्धि (300) है, इसलिए मूल्यह्रास (900-300=600) होगा। परीक्षा में ending minus beginning को net investment मानें। / Net increase in capital stock is (300), so depreciation is (900-300=600). In exams, treat ending minus beginning as net investment.
कुल स्वतंत्र चुनाव (6) हैं। / There are (6) independent choices for symmetric relations on a (3)-element set.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने पर सममितता के कारण ((2,1)) भी अनिवार्य है, इसलिए यह एक गैर-विकर्ण जोड़ा निश्चित हो गया। / If ((1,2)) is included, symmetry forces ((2,1)), so one off-diagonal block is fixed.
Step 3
Exam Tip
शेष (5) स्वतंत्र चुनावों में से एक जोड़ा निश्चित होने के बाद (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या \(2^4\) है। / Therefore (4) independent choices remain, giving \(2^4\).
पूंजी स्टॉक में परिवर्तन (-100) है, इसलिए शुद्ध निवेश (-100) और सकल निवेश (-100+500=400) होगा। परीक्षा में decrease को negative लें। / Change in capital stock is (-100), so net investment is (-100) and gross investment is (-100+500=400). In exams, take decrease as negative.
शुद्ध निवेश (325) है और मूल्यह्रास (650-325=325) होगा। परीक्षा में अनुपात को पहले राशि में बदलें। / Net investment is (325), and depreciation is (650-325=325). In exams, first convert the ratio into amount.
A. लगभग बराबर परिमाण और विपरीत दिशा/Nearly equal magnitude and opposite direction
Step 1
Concept
धीरे-धीरे घुमाने में कोणीय त्वरण बहुत छोटा रखा जाता है। / Slow rotation keeps angular acceleration very small.
Step 2
Why this answer is correct
इसके लिए कुल बल आघूर्ण लगभग शून्य होना चाहिए। / For this, net torque should be nearly zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए बाहरी बल आघूर्ण विद्युत बल आघूर्ण के बराबर परिमाण और विपरीत दिशा का होता है। / Hence external torque is nearly equal in magnitude and opposite in direction to electric torque.
\(a \equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a-b) (2) से विभाज्य है। / \(a \equiv b \pmod{2}\) means (a-b) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2), so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समान होने वाले संबंध सामान्यतः सममित होते हैं। / Same-remainder relations are usually symmetric.
