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संक्रामक होने के लिए यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। / For transitivity, if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\), then \((a,c) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) भी संबंध में है। बाकी आवश्यक जोड़ियाँ भी पूरी हैं। / Here, ((1,2)) and ((2,3)) imply ((1,3)), which is present. Other required cases also hold.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसी जाँच करते समय केवल उन जोड़ियों को देखें जिनका बीच वाला तत्व समान हो। / In exams, check only pairs where the second element of one pair matches the first element of another.
संक्रामकता में केवल उन जोड़ियों को जाँचना होता है जहाँ दूसरी जोड़ी पहली जोड़ी के दूसरे तत्व से शुरू हो। / In transitivity, check only those pairs where the second pair starts with the second element of the first pair.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) भी मौजूद है। / Here ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. Also ((2,4)) and ((4,4)) require ((2,4)), which is present.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियाँ न होने से हमेशा संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए जरूरी श्रृंखला ही देखें। / Missing self-pairs do not always break transitivity, so check only required chains.
दोनों समीकरणों में (Y) और (C) समान हैं इसलिए (S=I) होगा। परीक्षा में इसे रिसाव और इंजेक्शन संतुलन से जोड़ें। / Since (Y) and (C) are common in both equations (S=I) follows. In exams link it with leakage and injection balance.
एक इलेक्ट्रॉन के आवेश का परिमाण लगभग एक दशमलव छह गुणा दस घात ऋण उन्नीस कूलाम है। / The magnitude of charge on one electron is about one point six times ten power minus nineteen coulomb.
Step 2
Why this answer is correct
बारह दशमलव आठ को एक दशमलव छह से भाग देने पर आठ मिलता है। / Twelve point eight divided by one point six gives eight.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक चिन्ह बताता है कि आठ इलेक्ट्रॉनों की कमी है। / The positive sign means deficiency of eight electrons.
B. आय और उत्पादन पर घटाव का दबाव/Downward pressure on income and output
Explanation
Simple Explanation
नियोजित बचत अधिक होने पर खर्च चक्र में पूरी तरह वापस नहीं आता। इससे मांग और उत्पादन पर घटाव का दबाव बनता है। / When planned saving is higher spending does not fully return to the flow. This creates downward pressure on demand and output.
एक इलेक्ट्रॉन के आवेश का परिमाण एक दशमलव छह गुणा दस घात ऋण उन्नीस कूलाम है। / The magnitude of charge on one electron is one point six times ten power minus nineteen coulomb.
Step 2
Why this answer is correct
ग्यारह दशमलव दो को एक दशमलव छह से भाग देने पर सात मिलता है। / Eleven point two divided by one point six gives seven.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक चिन्ह सात अतिरिक्त इलेक्ट्रॉनों को दर्शाता है। / The negative sign shows seven excess electrons.
यदि (a-b) और (b-c), दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then ((a-b)+(b-c)=a-c) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) भी सत्य होगा। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले संबंधों में अंतरों को जोड़कर संक्रामकता जल्दी जाँची जा सकती है। / For divisibility relations, add the differences to test transitivity quickly.
C. इंजेक्शन रिसाव से अधिक है/Injection is greater than leakage
Explanation
Simple Explanation
निवेश इंजेक्शन है और बचत रिसाव है। निवेश अधिक होने पर आय चक्र में विस्तार का दबाव बन सकता है। / Investment is injection and saving is leakage. Higher investment can create expansionary pressure in the income flow.
A. क्योंकि (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है/Because (a<b) and (b<c) imply (a<c)
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो लगातार संबंधों से पहला और तीसरा तत्व जुड़ना चाहिए। / Transitivity means two connected relations must imply a direct relation between the first and third elements.
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक संख्याओं में यदि (a<b) और (b<c), तो निश्चित रूप से (a<c)। / For real numbers, (a<b) and (b<c) definitely imply (a<c).
Step 3
Exam Tip
असमानता वाले प्रश्नों में संख्या रेखा की दिशा याद रखें। / In inequality questions, remember the direction on the number line.
यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो इनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। / If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले संबंधों में दो अंतरों को जोड़ना संक्रामकता की अच्छी जाँच है। / For difference-based relations, adding the two differences is a useful transitivity check.
A. बचत से उपभोग मांग घट सकती है/Saving may reduce consumption demand
Explanation
Simple Explanation
व्यक्तिगत बचत अच्छी लग सकती है पर सामूहिक बचत से मांग घट सकती है। परीक्षा में इसे बचत के रिसाव प्रभाव से समझें। / Individual saving may look good but collective saving can reduce demand. In exams understand it through leakage effect of saving.
A. नहीं, क्योंकि ((1,5)) और ((5,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,5)) and ((5,1)) are present but ((1,1)) is absent
Step 1
Concept
(1+5=6), इसलिए ((1,5)) संबंध में है और (5+1=6), इसलिए ((5,1)) भी संबंध में है। / Since (1+5=6), ((1,5)) is in the relation, and since (5+1=6), ((5,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, लेकिन (1+1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,1)), but (1+1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
सममित दिखने वाला संबंध भी संक्रामक हो, यह जरूरी नहीं। / A relation that looks symmetric need not be transitive.
B. फर्म से परिवार की ओर आय प्रवाह/Income flow from firms to households
Explanation
Simple Explanation
कारक भुगतान रुकने से परिवारों की आय नहीं बनेगी। इससे अगला उपभोग व्यय कमजोर हो सकता है। / If factor payments stop household income will not be created. This can weaken the next consumption expenditure.
कुल आवेश धन बारह, ऋण तीन और शून्य का योग धन नौ कूलाम है। / The total charge is positive twelve, negative three, and zero, giving positive nine coulomb.
Step 2
Why this answer is correct
तीन समान गोलों में कुल आवेश बराबर बँटता है। / Three identical spheres share total charge equally.
Step 3
Exam Tip
धन नौ को तीन में बाँटने पर प्रत्येक पर धन तीन कूलाम आता है। / Dividing positive nine by three gives positive three coulomb on each sphere.
A. नहीं, क्योंकि (1R2) और (2R4) हैं पर (1R4) नहीं है/No, because (1R2) and (2R4) hold but (1R4) does not
Step 1
Concept
\(2=2\cdot 1\), इसलिए (1R2)। \(4=2\cdot 2\), इसलिए (2R4)। / \(2=2\cdot 1\), so (1R2). Also \(4=2\cdot 2\), so (2R4).
Step 2
Why this answer is correct
यदि संबंध संक्रामक होता, तो (1R4) होना चाहिए था, पर \(4\ne 2\cdot 1\)। / If the relation were transitive, (1R4) would hold, but \(4\ne 2\cdot 1\).
Step 3
Exam Tip
गुणा आधारित संबंधों में दो कदम मिलाकर नियम बदल सकता है, इसलिए सीधी जोड़ी जरूर जाँचें। / In multiplication-based relations, two steps may change the rule, so check the direct pair.
C. फर्मों की बिक्री प्राप्ति घट सकती है/Firms sales receipts may fall
Explanation
Simple Explanation
आय का उपभोग में न जाना फर्मों की प्राप्ति को कम कर सकता है। यह बचत या होर्डिंग जैसा रिसाव बन सकता है। / Income not spent on consumption can reduce firms receipts. It can act as leakage like saving or hoarding.
संक्रामकता केवल उन स्थितियों पर जाँची जाती है जहाँ ((a,b)) और ((b,c)) दोनों मौजूद हों। / Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। अन्य कोई जरूरी लगातार जोड़ी नहीं बनती। / Here, ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. No other necessary chain appears.
Step 3
Exam Tip
संक्रामक संबंध के लिए सभी स्वयंजोड़ियाँ होना जरूरी नहीं है। / A transitive relation need not contain all self-pairs.
यदि (b), (a) का गुणज है, तो (b=ak)। यदि (c), (b) का गुणज है, तो (c=bl)। / If (b) is a multiple of (a), then (b=ak). If (c) is a multiple of (b), then (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
तब (c=(ak)l=a(kl)), इसलिए (c), (a) का गुणज है। / Then (c=(ak)l=a(kl)), so (c) is a multiple of (a).
Step 3
Exam Tip
गुणज और विभाज्यता वाले संबंधों में गुणन का रूप लिखना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For multiple and divisibility relations, writing the multiplication form is safest.
D. समय अंतर से आय रिकॉर्डिंग प्रभावित हो सकती है/Time gap can affect income recording
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक सेवा या वस्तु पहले मिल सकती है और भुगतान बाद में हो सकता है। ऐसे प्रश्नों में प्रवाह के प्रकार और समय को अलग पहचानें। / A real good or service may be received first and payment later. In such questions identify type and timing separately.
धनात्मक छड़ चालक के इलेक्ट्रॉनों को अपनी ओर खींचती है। / The positive rod attracts electrons in the conductor.
Step 2
Why this answer is correct
पृथ्वी से इलेक्ट्रॉन चालक में आ जाते हैं। / Electrons enter the conductor from Earth.
Step 3
Exam Tip
पृथ्वी संपर्क पहले हटाने पर अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन रह जाते हैं और चालक ऋणात्मक हो जाता है। / When earthing is removed first, extra electrons remain and the conductor becomes negative.
A. क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) दोनों अनुपस्थित हैं/Because both ((1,1)) and ((2,2)) are absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
इसी तरह ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। दोनों नहीं हैं, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / Similarly, ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)). Both are missing, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उल्टी जोड़ियों से स्वयंजोड़ियों की जरूरत बनती है, इसे परीक्षा में न छोड़ें। / Reverse pairs can create the need for self-pairs, so do not ignore them.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) एक वैध श्रृंखला बनाते हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) form a valid chain.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर वह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
मौजूद स्वयंजोड़ियाँ गलती नहीं हैं, असली गलती जरूरी सीधी जोड़ी का गायब होना है। / Existing self-pairs are not the problem; the real problem is the missing required direct pair.
A. कारक भुगतान की दिशा गलत है/Direction of factor payment is wrong
Explanation
Simple Explanation
कारक सेवाएं परिवार से फर्म को जाती हैं पर कारक भुगतान फर्म से परिवार को आता है। मौद्रिक प्रवाह वास्तविक प्रवाह के विपरीत होता है। / Factor services move from households to firms but factor payment moves from firms to households. Money flow is opposite to real flow.
ऋणात्मक छड़ चालक के इलेक्ट्रॉनों को दूर धकेलती है। / The negative rod repels electrons in the conductor.
Step 2
Why this answer is correct
पृथ्वी से संपर्क होने पर कुछ इलेक्ट्रॉन पृथ्वी में चले जाते हैं। / When earthed, some electrons move into Earth.
Step 3
Exam Tip
पृथ्वी संपर्क हटाने के बाद इलेक्ट्रॉनों की कमी रह जाती है और चालक धनात्मक हो जाता है। / After removing earthing, electron deficiency remains and the conductor becomes positive.
संक्रामकता टूटने के लिए ((a,b)) और ((b,c)) जैसी दो जोड़ियाँ मौजूद होनी चाहिए और ((a,c)) न होना चाहिए। / To break transitivity, two pairs like ((a,b)) and ((b,c)) must exist while ((a,c)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
खाली संबंध में कोई जोड़ी ही नहीं है, इसलिए ऐसी विरोधी स्थिति बनती ही नहीं। / In the empty relation, no ordered pair exists, so no counterexample can occur.
Step 3
Exam Tip
खाली संबंध को संक्रामक मानना एक सामान्य परीक्षा बिंदु है। / Remember that the empty relation is considered transitive.
((p,q)) और ((q,r)) से ((p,r)) मिलेगा। / From ((p,q)) and ((q,r)), we get ((p,r)).
Step 2
Why this answer is correct
अब ((p,r)) और ((r,s)) से ((p,s)) मिलेगा। / Now from ((p,r)) and ((r,s)), we get ((p,s)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में संक्रामकता को एक-एक करके लगाएँ, सीधे उल्टी जोड़ी न मानें। / In a long chain, apply transitivity step by step and do not assume reverse pairs.
B. उपभोग व्यय की दिशा गलत है/Direction of consumption expenditure is wrong
Explanation
Simple Explanation
वस्तुएं फर्म से परिवार को जाती हैं पर भुगतान परिवार से फर्म को जाता है। उत्पाद बाजार में दोनों तीर विपरीत दिशा में होंगे। / Goods move from firms to households but payment moves from households to firms. In the product market both arrows are opposite.
A. क्योंकि पृथ्वी से जुड़ा चालक पुनः तटस्थ हो सकता है/Because the earthed conductor can become neutral again
Step 1
Concept
छड़ पास रहने पर ही चालक में आवेशों का अलगाव बना रहता है। / Charge separation is maintained only while the rod is nearby.
Step 2
Why this answer is correct
यदि छड़ पहले हटे और पृथ्वी संपर्क बना रहे, तो असंतुलन पृथ्वी से समाप्त हो सकता है। / If the rod is removed first while earthing remains, the imbalance can be neutralized through Earth.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सही क्रम में पहले पृथ्वी संपर्क हटाया जाता है। / Therefore earthing is removed first in the proper order.
A. क्योंकि (A) के हर दो तत्वों की जोड़ी संबंध में होती है/Because every ordered pair of elements of (A) is in the relation
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in A\times A\) और \((b,c) \in A\times A\), तो \(a,c \in A\) हैं। / If \((a,b) \in A\times A\) and \((b,c) \in A\times A\), then \(a,c \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी \(A\times A\) में होगा। / Hence ((a,c)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में कोई आवश्यक जोड़ी छूटती नहीं, इसलिए संक्रामकता पूरी रहती है। / In a universal relation, no required ordered pair is missing.
संबंध में ऊपर की दिशा वाली सभी जरूरी जोड़ियाँ दी गई हैं। / The relation contains all required ordered pairs in the increasing direction.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); all are present.
Step 3
Exam Tip
बड़े संबंध में मुख्य श्रृंखलाओं की जाँच तालिका की तरह करें। / In a larger relation, check the main chains like a table.
A. उत्पाद मांग बढ़े तो फर्म अधिक कारक सेवाएं मांग सकती हैं/If product demand rises firms may demand more factor services
Explanation
Simple Explanation
फर्म उत्पादन उत्पाद मांग के आधार पर तय करती हैं। इसलिए कारक सेवाओं की मांग उत्पाद मांग से व्युत्पन्न होती है। / Firms decide production based on product demand. Therefore demand for factor services is derived from product demand.
A. हाँ, क्योंकि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\) से \(|a|\le |c|\) मिलता है/Yes, because \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\) imply \(|a|\le |c|\)
Step 1
Concept
यहाँ तुलना वास्तविक संख्याओं की नहीं, उनके परम मानों की हो रही है। / The comparison is between absolute values, not directly between the numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\), तो सामान्य क्रम से \(|a|\le |c|\)। / If \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\), then by the usual order \(|a|\le |c|\).
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले संबंध में भी वही क्रम नियम लागू होता है। / For absolute value relations, the same order rule applies to the compared quantities.
B. परिवारों की खरीद क्षमता घट जाती है/Households purchasing power falls
Explanation
Simple Explanation
कारक आय परिवारों की खरीद क्षमता का आधार है। आय कम होने पर उपभोग मांग घट सकती है। / Factor income is the base of household purchasing power. When income falls consumption demand may decline.
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
(|1-2|=1), इसलिए \((1,2) \in R\)। (|2-3|=1), इसलिए \((2,3) \in R\)। / Since (|1-2|=1), \((1,2) \in R\). Since (|2-3|=1), \((2,3) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (|1-3|=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity would require ((1,3)), but (|1-3|=2), so it is not in (R).
Step 3
Exam Tip
केवल पास-पास होना संक्रामकता की गारंटी नहीं देता। / Being consecutive does not guarantee transitivity.
C. नहीं, क्योंकि (3R2.5) और (2.5R2) हैं पर (3R2) नहीं है/No, because (3R2.5) and (2.5R2) hold but (3R2) does not
Step 1
Concept
(3<2.5+1), इसलिए (3R2.5) सत्य है। (2.5<2+1), इसलिए (2.5R2) भी सत्य है।
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (3R2) चाहिए, पर (3<2+1) असत्य है। / Transitivity would require (3R2), but (3<2+1) is false.
Step 3
Exam Tip
असमानता में नियत संख्या जुड़ी हो तो प्रतिवाद से जाँच करना अधिक सुरक्षित है। / When a fixed number is added in an inequality relation, using a counterexample is safer.
C. रिसाव और इंजेक्शन बराबर हैं/Leakage and injection are equal
Explanation
Simple Explanation
यहां (S=I) है इसलिए रिसाव और इंजेक्शन संतुलित हैं। ऐसे संख्यात्मक प्रश्नों में पहले बचत और निवेश मिलाएं। / Here (S=I) so leakage and injection are balanced. In such numerical questions first match saving and investment.
A. ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4))/From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4))
Step 1
Concept
\(1\mid 2\) और \(2\mid 4\) दोनों सत्य हैं। / \(1\mid 2\) and \(2\mid 4\) are both true.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(1\mid 4\) भी सत्य है, इसलिए ((1,4)) संबंध में होगा। / Then \(1\mid 4\) is also true, so ((1,4)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
जाँच में दोनों आरंभिक जोड़ियाँ सच होनी चाहिए, केवल अनुमान काफी नहीं है। / In a check, both starting pairs must actually be true; guessing is not enough.
