Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है इसलिए (2x-5=0) से \(x=\frac{5}{2}\) मिलता है। ग्राफ में प्रतिच्छेद के लिए दूसरे निर्देशांक को शून्य रखें। / On the (x)-axis (y=0) so (2x-5=0) gives \(x=\frac{5}{2}\). For an intercept set the other coordinate equal to zero.
\(-3\le x\le 1\) पर योग ((x+3)+(1-x)=4) स्थिर रहता है। ऐसे मापांक योग में दोनों बिंदुओं के बीच ग्राफ क्षैतिज हो सकता है। / On \(-3\le x\le 1\), the sum ((x+3)+(1-x)=4) is constant. In such modulus sums the graph can be horizontal between the two points.
( |x-3| ) न्यूनतम (0) तब होता है जब (x=3)। मापांक ग्राफ का शीर्ष अंदर वाले भाग को शून्य करने से मिलता है। / ( |x-3| ) is minimum (0) when (x=3). For a modulus graph set the inside expression equal to zero.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए: \(x^2-9\ge 0\)। अतः \((x-3)(x+3)\ge 0\), जिससे \(x\le -3\) या \(x\ge 3\) प्राप्त होता है। इसलिए डोमेन \((-�\infty,-3]\cup[3,�\infty)\) है। विकल्प B केवल \(-3\) और \(3\) के बीच का अंतराल देता है, जहाँ मूलांक ऋणात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय पहले मूलांक \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the radicand must be non-negative: \(x^2-9\ge 0\). Thus, \((x-3)(x+3)\ge 0\), which gives \(x\le -3\) or \(x\ge 3\). Hence the domain is \((-�\infty,-3]\cup[3,�\infty)\). Option B incorrectly gives the interval between \(-3\) and \(3\), where the radicand is negative. Exam tip: For a square-root function, set the expression under the radical greater than or equal to zero.
ऊर्ध्वाधर आसमटोट उन मानों पर होते हैं जहाँ हर शून्य हो जाता है और अंश शून्य नहीं होता। यहाँ \(x^2-4=0\), अर्थात \((x-2)(x+2)=0\), इसलिए \(x=2\) और \(x=-2\) पर फलन अपरिबद्ध हो जाता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C में \(y\) के स्थिर मान दिए गए हैं, जो ऊर्ध्वाधर नहीं बल्कि क्षैतिज रेखाओं को दर्शाते हैं। परीक्षा-सुझाव: परिमेय फलन में पहले हर को शून्य करके संभावित ऊर्ध्वाधर आसमटोट जाँचें। / Vertical asymptotes occur where the denominator is zero while the numerator is nonzero. Here, \(x^2-4=0\), or \((x-2)(x+2)=0\), so the function becomes unbounded at \(x=2\) and \(x=-2\). Therefore, option A is correct. Option C gives constant values of \(y\), which represent horizontal lines rather than vertical asymptotes. Exam tip: For a rational function, first set the denominator equal to zero and then check for any cancellation with the numerator.
गुणांक (-3) ऋणात्मक है इसलिए परवलय नीचे खुलता है। शीर्ष पर (y=4) अधिकतम मान है। / The coefficient (-3) is negative so the parabola opens downward. At the vertex (y=4) is the maximum value.
A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति/Symmetry about the origin
Explanation
Simple Explanation
(f(-x)=\frac{-x}{x-2+1}=-f(x)) है। इसलिए यह विषम फलन है और ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है। / (f(-x)=\frac{-x}{x-2+1}=-f(x)). Therefore it is an odd function and its graph is symmetric about the origin.
मापांक फलन का मानक रूप \(y=a|x-h|+k\) है, जिसका शीर्ष \((h,k)\) होता है। यहाँ \(x+2=x-(-2)\), इसलिए \(h=-2\), और \(k=5\) है। अतः शीर्ष \((-2,5)\) है। विकल्प B में \(x\)-निर्देशांक का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-h|\) के अंदर \(x-h=0\) रखकर शीर्ष का \(x\)-निर्देशांक प्राप्त करें। / The standard form of a modulus function is \(y=a|x-h|+k\), whose vertex is \((h,k)\). Here, \(x+2=x-(-2)\), so \(h=-2\) and \(k=5\). Therefore, the vertex is \((-2,5)\). Option B incorrectly changes the sign of the x-coordinate. Exam tip: Set the expression inside the modulus equal to zero to find the x-coordinate of the vertex.
हर (x-4) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। इसलिए ऊर्ध्वाधर आसम्टोट (x=4) है। / The denominator (x-4) makes the function undefined when it is zero. So the vertical asymptote is (x=4).
\(x\ge 0\) पर (|x|=x) रखकर (x=3-x) से \(x=\frac{3}{2}\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेद (\left\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\)) है। / For \(x\ge 0\), put (|x|=x), so (x=3-x) gives \(x=\frac{3}{2}\). Hence the intersection is (\left\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\)).
\(\frac{2}{x+1}\) का मान बड़े (|x|) पर (0) के पास जाता है। इसलिए ग्राफ (y=-3) के पास जाता है। / The term \(\frac{2}{x+1}\) approaches (0) for large (|x|). Hence the graph approaches (y=-3).
महत्तम पूर्णांक फलन (x) से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। इसलिए \(\lfloor 2.7 \rfloor=2\)। / The greatest integer function gives the largest integer less than or equal to (x). Hence \(\lfloor 2.7 \rfloor=2\).
A. ग्राफ में छलांग-असांतत्य होता है/The graph has a jump discontinuity
Explanation
Simple Explanation
महत्तम पूर्णांक फलन \(f(x)=\lfloor x\rfloor\) में \(x=3\) के बाईं ओर के मान 2 के निकट आते हैं, जबकि \(f(3)=3\) और दाईं ओर के मान 3 होते हैं। इसलिए \(x=3\) पर बाएँ और दाएँ सीमा मान अलग हैं तथा वहाँ छलांग-असांतत्य होता है। फलन सभी वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा टिप: \(\lfloor x\rfloor\) के ग्राफ में प्रत्येक पूर्णांक पर छलांग-असांतत्य होता है। / For the greatest integer function \(f(x)=\lfloor x\rfloor\), values just to the left of \(x=3\) approach 2, whereas \(f(3)=3\) and values just to the right are 3. Thus the left-hand and right-hand limits are different, so there is a jump discontinuity at \(x=3\). The function is defined for every real \(x\), making option D incorrect. Exam tip: The graph of \(\lfloor x\rfloor\) has a jump discontinuity at every integer.
साइनम फलन के लिए \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) जब \(x<0\), \(0\) जब \(x=0\), और \(1\) जब \(x>0\) होता है। चूँकि \(-8<0\), इसलिए \(f(-8)=-1\)। विकल्प 0 केवल \(x=0\) पर सही होता है। परीक्षा-युक्ति: साइनम फलन का मान निकालते समय पहले \(x\) का चिह्न देखें, उसका परिमाण नहीं। / For the signum function, \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) when \(x<0\), \(0\) when \(x=0\), and \(1\) when \(x>0\). Since \(-8<0\), we get \(f(-8)=-1\). The value 0 would apply only at \(x=0\). Exam tip: For a signum function, check the sign of the input rather than its magnitude.
A. यह मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the origin
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^3\) विषम फलन है क्योंकि (f(-x)=-f(x))। विषम फलन का ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / \(y=x^3\) is an odd function because (f(-x)=-f(x)). The graph of an odd function is symmetric about the origin.
A. यह \(x\)-अक्ष के समानांतर एक रेखा है/It is a line parallel to the \(x\)-axis
Explanation
Simple Explanation
फलन \(y=5\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\) का मान स्थिर 5 रहता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \((x,5)\) के रूप में होते हैं और ग्राफ \(x\)-अक्ष के समानांतर क्षैतिज रेखा है। यह मूल बिंदु से नहीं गुजरता, क्योंकि \(x=0\) पर भी \(y=5\) होता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का ग्राफ हमेशा \(x\)-अक्ष के समानांतर रेखा होता है। / In the function \(y=5\), the value of \(y\) remains fixed at 5 for every \(x\). Thus, all points are of the form \((x,5)\), giving a horizontal line parallel to the \(x\)-axis. It does not pass through the origin because when \(x=0\), \(y=5\). Exam tip: the graph of \(y=c\) is always a line parallel to the \(x\)-axis.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: \(4-x\ge 0\)। इससे \(x\le 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,4]\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C अनावश्यक रूप से \(x\ge 0\) भी मानता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) रखकर डोमेन ज्ञात करें। / For a real square root, the radicand must be non-negative: \(4-x\ge 0\). Thus \(x\le 4\), so the domain is \((- infty,4]\). Option B reverses the inequality, while option C incorrectly adds the unnecessary restriction \(x\ge 0\). Exam tip: For a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero to find the domain.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-1\) है, इसलिए \(x-1=0\) रखने पर \(x=1\) मिलता है। अतः \(x=1\) डोमेन से बाहर है, जबकि अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता। परीक्षा में याद रखें: परिमेय फलन का डोमेन पाने के लिए हर को शून्य करने वाले मान को अवश्य हटाएँ। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here the denominator is \(x-1\), and solving \(x-1=0\) gives \(x=1\). Therefore, \(x=1\) is excluded from the domain; the other listed values do not make the denominator zero. Exam tip: to find the domain of a rational function, exclude the values that make its denominator zero.
जब \(x>2\), तब \(x+2>0\) और \(x-2>0\), इसलिए \(|x+2|=x+2\) तथा \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x+2)-(x-2)=4\)। विकल्प \(2x\) तब मिलता है जब ऋणात्मक पद को सही ढंग से घटाया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक अंदरूनी पद का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x>2\), both \(x+2\) and \(x-2\) are positive. Hence, \(|x+2|=x+2\) and \(|x-2|=x-2\), so \(y=(x+2)-(x-2)=4\). The option \(2x\) results from mishandling the subtraction of the second modulus term. Exam tip: determine the sign of each expression inside an absolute value before removing the modulus.
A. (5) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (5) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-5) आने पर ग्राफ दाईं ओर (5) इकाई खिसकता है। क्षैतिज खिसकाव में संकेत उल्टा पढ़ें। / Replacing (x) by (x-5) shifts the graph (5) units right. In horizontal shift read the sign oppositely.
A. 3 इकाई बाईं ओर खिसकाकर/By shifting 3 units to the left
Explanation
Simple Explanation
y = f(x + 3) का ग्राफ y = f(x) के ग्राफ को 3 इकाई बाईं ओर खिसकाने से प्राप्त होता है। यहाँ f(x) = x-2 है, इसलिए y = (x + 3)2 का शीर्ष (-3, 0) होगा। इसे दाईं ओर खिसकाना गलत होगा, क्योंकि अंदर x के साथ धनात्मक 3 होने पर क्षैतिज विस्थापन बाईं ओर होता है। परीक्षा-युक्ति: f(x - a) से ग्राफ a इकाई दाईं ओर और f(x + a) से a इकाई बाईं ओर जाता है। / The graph of y = f(x + 3) is obtained by shifting the graph of y = f(x) 3 units to the left. Here f(x) = x-2, so the vertex of y = (x + 3)2 is (-3, 0). A rightward shift is incorrect because a positive number added inside the function causes a horizontal shift to the left. Exam tip: f(x - a) shifts a graph a units right, while f(x + a) shifts it a units left.
A. (x)-अक्ष में परावर्तन/Reflection in the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
फलन के बाहर ऋण चिह्न सभी (y)-मानों को ऋणात्मक कर देता है। इसलिए (x)-अक्ष में परावर्तन होता है। / A negative sign outside the function makes every (y)-value negative. So it is a reflection in the (x)-axis.
यह फलन बिंदु \(x=1\) और \(x=-1\) से दूरियों के योग को दर्शाता है। त्रिभुज असमता के अनुसार \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\)। \(-1\leq x\leq 1\) के लिए दोनों दूरियों का योग ठीक 2 होता है, जबकि इस अंतराल के बाहर यह 2 से बढ़ जाता है। इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में न्यूनतम मान 0 मान लिया गया है, जो संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस वाले फलन में न्यूनतम मान पाने के लिए महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच का अंतराल अवश्य जाँचें। / The function represents the sum of the distances of \(x\) from 1 and from \(-1\). By the triangle inequality, \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\). For \(-1\leq x\leq 1\), this sum is exactly 2, and outside this interval it increases above 2. Hence the range is \([2,\infty)\). Option B incorrectly assumes that the minimum can be 0, although the two points are 2 units apart. Exam tip: For a sum of absolute-value terms, check the interval between their critical points to find the minimum.
A. (2) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (2) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-2) आने से ग्राफ दाईं ओर (2) इकाई जाता है। घन फलन में भी यही नियम लागू होता है। / Replacing (x) by (x-2) moves the graph (2) units right. The same rule applies to the cubic function.
