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पहले दोनों पक्षों से 13 घटाने पर \\(-3x\leq -9\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को \\(-3\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \\(x\geq 3\\)। विकल्प A में चिन्ह उलटने का नियम लागू नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य बदलें। / Subtracting 13 from both sides gives \\(-3x\leq -9\\). Dividing by \\(-3\\) reverses the inequality sign, so \\(x\geq 3\\). Option A is incorrect because it does not reverse the sign after division by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing both sides by a negative number.
\(\frac{x}{6}\geq 3\) से \(x\geq 18\) मिलता है। सकारात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From \(\frac{x}{6}\geq 3\), we get \(x\geq 18\). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
\(6x-7>2x+17\) में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(4x-7>17\) मिलता है। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(4x>24\), और 4 से भाग देने पर \(x>6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प D है। विकल्प C \(x\geq6\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है, \(\geq\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Starting with \(6x-7>2x+17\), subtracting \(2x\) from both sides gives \(4x-7>17\). Adding 7 and then dividing by the positive number 4 gives \(4x>24\), hence \(x>6\). Therefore, option D is correct. Option C, \(x\geq6\), is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. Exam tip: dividing by a positive number does not reverse the inequality sign.
पहले बाएँ पक्ष को सरल करें: \(3(x-4)+5=3x-12+5=3x-7\)। अतः \(3x-7\leq 2x+1\), जिससे \(x\leq 8\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। \(x\geq 8\) विकल्प B नहीं हो सकता, क्योंकि असमानता को हल करते समय किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग नहीं किया गया, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। परीक्षा-युक्ति: खुले और बंद सिरों का ध्यान रखें—\(\leq\) में 8 भी हल-समुच्चय में शामिल होता है। / Simplify the left-hand side: \(3(x-4)+5=3x-12+5=3x-7\). Thus, \(3x-7\leq 2x+1\), which gives \(x\leq 8\). Therefore, option A is correct. Option B, \(x\geq 8\), is incorrect because no multiplication or division by a negative number occurs, so the inequality sign does not reverse. Exam tip: Since the sign is \(\leq\), the endpoint 8 is included in the solution set.
कोष्ठक खोलने पर \(10x+5-3x<26\) मिलता है। समान पदों को मिलाने पर \(7x+5<26\), इसलिए \(7x<21\)। 7 से भाग देने पर \(x<3\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर B है। विकल्प C \(x≤3\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में '<' है और \(x=3\) स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है; यहाँ 7 धनात्मक है, इसलिए चिह्न नहीं बदलेगा। / Expanding the brackets gives \(10x+5-3x<26\). Combining like terms, \(7x+5<26\), so \(7x<21\). Dividing by the positive number 7 gives \(x<3\), making option B correct. Option C, \(x≤3\), is incorrect because the original inequality is strict; \(x=3\) does not satisfy it. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; since 7 is positive here, the sign remains unchanged.
असमानता \(2\le 3x-1<11\) के तीनों भागों में 1 जोड़ने पर \(3\le 3x<12\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर \(1\le x<4\) प्राप्त होता है। इसलिए 1 शामिल है, जिसके लिए कोष्ठक [ लगाया जाता है, जबकि 4 शामिल नहीं है, इसलिए वहाँ ) लगाया जाता है। अतः सही अंतराल \([1,4)\) है। परीक्षा-टिप: \(\le\) या \(\ge\) वाले छोर को square bracket और \(<\) या \(>\) वाले छोर को round bracket से लिखें। / Adding 1 to all three parts of \(2\le 3x-1<11\) gives \(3\le 3x<12\). Dividing throughout by 3 gives \(1\le x<4\). Thus, 1 is included and is written with a square bracket, whereas 4 is excluded and is written with a round bracket. Therefore, the interval is \([1,4)\). Exam tip: use a square bracket for an included endpoint marked by \(\le\) or \(\ge\), and a round bracket for an excluded endpoint marked by \(<\) or \(>\).
असमानता \(4x-3<21\) में दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(4x<24\) मिलता है। 4 से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। इसलिए 6 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 5 है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि सख्त असमानता में \(x=6\) स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: \(<\) या \(>\) वाली असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता। / Adding 3 to both sides of \(4x-3<21\) gives \(4x<24\). Dividing by the positive number 4 yields \(x<6\). Therefore, the greatest integer less than 6 is 5. Option 6 is incorrect because a strict inequality does not include the boundary value \(x=6\). Exam tip: In inequalities with \(<\) or \(>\), the endpoint is not included.
असमानता को हल करने पर \(5x+1\leq 26\Rightarrow 5x\leq 25\Rightarrow x\leq 5\) मिलता है। प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,\ldots\) से शुरू होती हैं, इसलिए संभव मान \(1,2,3,4,5\) हैं और कुल 5 मान हैं। विकल्प 6 तब मिलता यदि \(0\) को भी प्राकृतिक संख्या माना जाता, लेकिन इस प्रश्न में प्रचलित विद्यालयी परिभाषा के अनुसार प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू हैं। परीक्षा युक्ति: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय में मानों की सूची बनाकर गिनती करें। / Solving the inequality gives \(5x+1\leq 26\Rightarrow 5x\leq 25\Rightarrow x\leq 5\). Natural numbers begin with \(1\), so the possible values are \(1,2,3,4,5\), giving a total of 5 values. The answer 6 would result only if \(0\) were included as a natural number; here, the usual school convention takes natural numbers to begin with 1. Exam tip: After solving an inequality, list the allowed values and count them carefully.
\(4x\geq -20\) से \(x\geq -5\) मिलता है। समुच्चय रूप में सही असमानता चिन्ह लिखना जरूरी है। / From \(4x\geq -20\), we get \(x\geq -5\). In set form, writing the correct inequality sign is important.
(-5x>-15) में (-5) से भाग देने पर (x<3) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह बदलता है। / In (-5x>-15), dividing by (-5) gives (x<3). Dividing by a negative number reverses the sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(3x-2>28\)। अतः \(3x>30\), इसलिए \(x>10\)। विकल्प D गलत है, क्योंकि मूल असमानता सख्त है और \(x=10\) रखने पर \(\frac{30-2}{4}=7\) मिलता है, जो \(7>7\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not reverse the inequality: \(3x-2>28\). Thus, \(3x>30\), giving \(x>10\). Option D is incorrect because the original inequality is strict; when \(x=10\), \(\frac{30-2}{4}=7\), and \(7>7\) is false. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर \(7-x\leq 6\) मिलता है। अतः \(-x\leq -1\)। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है और \(x\geq 1\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Since 3 is positive, multiplying both sides by 3 gives \(7-x\leq 6\). Thus, \(-x\leq -1\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, giving \(x\geq 1\). Therefore, option B is correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
(4) से गुणा करने पर \(2x+10+x-1\geq 24\) मिलता है। इसलिए \(3x\geq 15\) नहीं बल्कि \(3x\geq 15\) से \(x\geq 5\) होगा, इसलिए गणना दोबारा जांचें। / Multiplying by (4) gives \(2x+10+x-1\geq 24\). So \(3x\geq 15\), giving \(x\geq 5\), so recheck arithmetic carefully.
हरों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें। 4 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(2(x+5)+(x-1)\geq 24\)। इससे \(3x+9\geq 24\), अतः \(3x\geq 15\) और \(x\geq 5\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलट जाता है, लेकिन यहाँ 4 धनात्मक है। / Multiply both sides by 4 to clear the denominators. Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged: \(2(x+5)+(x-1)\geq 24\). This gives \(3x+9\geq 24\), so \(3x\geq 15\) and hence \(x\geq 5\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number; here, 4 is positive.
दिए गए असमानता से \(9x-4\leq 5x+12\) ⇒ \(4x\leq 16\) ⇒ \(x\leq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए 4 सहित सभी 4 से छोटी संख्याएँ हल हैं, जिसका अंतराल रूप \((- infty,4]\) है। 4 पर वर्ग कोष्ठक इसलिए लगाया जाता है क्योंकि बराबरी शामिल है; विकल्प C में 4 को गलत रूप से बाहर रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर संबंधित अंतिम बिंदु को बंद कोष्ठक से लिखें। / Starting with \(9x-4\leq 5x+12\), we get \(4x\leq 16\), and hence \(x\leq 4\). Thus, all numbers less than or equal to 4 are solutions, represented in interval notation by \((- infty,4]\). The square bracket at 4 shows that equality is included; option C is incorrect because it excludes 4. Exam tip: use a closed bracket at an endpoint when the inequality contains \(\leq\) or \(\geq\).
−4x − 1 < 11 से −4x < 12 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को −4 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए x > −3। चूँकि यह सख्त असमानता है, −3 शामिल नहीं होगा; अतः अंतराल (−3, ∞) है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / From −4x − 1 < 11, we get −4x < 12. Dividing both sides by −4 reverses the inequality sign, giving x > −3. Since the inequality is strict, −3 is not included, so the interval is (−3, ∞). Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(5x+2\ge 27\) में दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(5x\ge 25\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x\ge 5\) प्राप्त होता है, क्योंकि 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। अतः \(x=5\) सीमा मान होने के कारण सही है। \(x=4\) रखने पर \(22\ge 27\) मिलता है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Starting with \(5x+2\ge 27\), subtracting 2 from both sides gives \(5x\ge 25\). Dividing by 5 gives \(x\ge 5\); the inequality sign remains unchanged because 5 is positive. Therefore, \(x=5\) is correct as it is the boundary value. The closest distractor, \(x=4\), gives \(22\ge 27\), which is false. Exam tip: the inequality sign reverses only when dividing or multiplying by a negative number.
( -2x<-14) से (x>7) नहीं, बल्कि (x>7) मिलता है। विकल्पों में सीमा (7) शामिल नहीं है, इसलिए कोई दिए गए मानों में सही नहीं होना चाहिए। / From (-2x<-14), we get (x>7). Since the boundary (7) is not included, none of the given values should be correct.
असमानता को हल करने पर \(20-2x\le 6\), अर्थात् \(-2x\le -14\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न बदल जाता है और \(x\ge 7\) प्राप्त होता है। इसलिए दिए गए मानों में केवल \(x=7\) सही है; इसमें बराबरी का मान शामिल है। उदाहरण के लिए, \(x=6\) रखने पर \(20-12=8\), और \(8\le 6\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से भाग या गुणा करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Solving the inequality \(20-2x\le 6\) gives \(-2x\le -14\). Dividing both sides by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x\ge 7\). Therefore, among the given values, only \(x=7\) satisfies the inequality, including the equality case. For example, substituting \(x=6\) gives \(20-12=8\), and \(8\le 6\) is false. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों तरफ से (8x) घटाने पर (3>-10) मिलता है जो हमेशा सत्य है। इसलिए सभी वास्तविक (x) हल हैं। / Subtracting (8x) from both sides gives (3>-10), which is always true. Therefore all real (x) are solutions.
दोनों पक्षों से \\(5x\\) घटाने पर \\(-6 \ge 2\\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए कोई भी वास्तविक संख्या इस असमानता को संतुष्ट नहीं करती और हल-समुच्चय रिक्त है। विकल्प B और D में \\(x\\) के लिए सीमा बताई गई है, जबकि यहाँ \\(x\\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान पदों को घटाने के बाद यदि असत्य कथन मिले, तो असमानता का कोई हल नहीं होता। / Subtracting \\(5x\\) from both sides gives \\(-6 \ge 2\\), which is false. Therefore, no real number satisfies the inequality, so the solution set is empty. Options B and D incorrectly give bounds for \\(x\\), even though all \\(x\\)-terms cancel. Exam tip: after simplifying an inequality, a false statement means there is no solution.
पहले \(ax-7\geq 2\) से \(ax\geq 9\) प्राप्त होता है। चूँकि \(a>0\) है, इसलिए दोनों पक्षों को \(a\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा और \(x\geq \frac{9}{a}\) मिलेगा। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=\frac{9}{a}\) भी हल में शामिल है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिह्न उलट जाता है; धनात्मक संख्या के मामले में ऐसा नहीं होता। / From \(ax-7\geq 2\), adding 7 to both sides gives \(ax\geq 9\). Since \(a>0\), division by \(a\) does not reverse the inequality sign, so \(x\geq \frac{9}{a}\). Option C is incorrect because it excludes the equality case \(x=\frac{9}{a}\). Exam tip: the inequality sign reverses when multiplying or dividing by a negative number, but not when the number is positive.
पहले \(ax+4>10\) से \(ax>6\) प्राप्त होता है। अब \(a<0\) है, इसलिए दोनों पक्षों को \(a\) से विभाजित करने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है और \(x<\frac{6}{a}\) मिलता है। विकल्प B में चिह्न उलटने की बात नहीं मानी गई है, जबकि विकल्प C और D में अनावश्यक रूप से बराबरी का चिह्न जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से असमिका को भाग देने या गुणा करने पर असमिका का चिह्न अवश्य बदलें। / From \(ax+4>10\), we first obtain \(ax>6\). Since \(a<0\), dividing both sides by \(a\) reverses the inequality sign, giving \(x<\frac{6}{a}\). Option B ignores this sign reversal, while options C and D incorrectly include equality. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
किसी संख्या को x मानने पर उसका 6 गुना 6x होगा। ‘42 से अधिक’ का अर्थ 42 से बड़ा है, इसलिए असमानता का चिह्न > लगेगा और सही रूप 6x>42 होगा। विकल्प A और D में संख्या में 6 जोड़ा या घटाया गया है, जबकि विकल्प C में ‘कम’ का अर्थ निकलता है। परीक्षा में ‘गुना’ को गुणा और ‘अधिक’ को > के रूप में लिखना याद रखें। / Let the number be x. Six times the number is written as 6x, and ‘greater than 42’ requires the symbol >. Therefore, the correct inequality is 6x>42. Options A and D represent adding or subtracting 6, not multiplying by 6, while option C means less than 42. In exams, translate ‘times’ as multiplication and ‘greater than’ as >.
कथन \(4x+3\leq 35\) देता है। इससे \(4x\leq 32\) और \(x\leq 8\) मिलता है। / The statement gives \(4x+3\leq 35\). This gives \(4x\leq 32\) and \(x\leq 8\).
शर्त \(120-15x\geq 30\) है जिससे \(x\leq 6\) मिलता है। इसलिए अधिकतम पेन (6) हैं। / The condition is \(120-15x\geq 30\), giving \(x\leq 6\). Therefore the maximum number of pens is (6).
सरल करने पर \(6x-15-2x-2\geq 7\) यानी \(4x-17\geq 7\) मिलता है। इसलिए \(x\geq 6\) है। / Simplifying gives \(6x-15-2x-2\geq 7\), that is \(4x-17\geq 7\). Therefore \(x\geq 6\).
\(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\) से \(\frac{5x}{12}\leq 5\) मिलता है। इसलिए \(x\leq 12\) है। / From \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), we get \(\frac{5x}{12}\leq 5\). Therefore \(x\leq 12\).
(2) से गुणा करने पर \(-10\leq x-1<8\) मिलता है। फिर (1) जोड़कर \(-9\leq x<9\) नहीं, सही \(-9\leq x<9\) होगा। / Multiplying by (2) gives \(-10\leq x-1<8\). Adding (1) gives \(-9\leq x<9\), so check endpoints carefully.
(-3) शामिल है और (4) शामिल नहीं है। इसलिए पूर्णांक हल ({-3,-2,-1,0,1,2,3}) हैं। / (-3) is included and (4) is not included. Therefore the integer solutions are ({-3,-2,-1,0,1,2,3}).
\(4x\geq 28\) से \(x\geq 7\) मिलता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक हल (7) है। / From \(4x\geq 28\), we get \(x\geq 7\). Hence the least integer solution is (7).
हल \(x\leq 7\) है इसलिए (x=7) शामिल है। \(\leq\) में बराबरी भी स्वीकार होती है। / The solution is \(x\leq 7\), so (x=7) is included. In \(\leq\), equality is also accepted.
(4x>16) से (x>4) मिलता है। इसलिए सीमा बिंदु (4) है और यह शामिल नहीं है। / From (4x>16), we get (x>4). Therefore the boundary point is (4), and it is not included.
\(-2x\geq -16\) से \(x\leq 8\) मिलता है। बराबरी शामिल होने से (8) पर बंद कोष्ठक लगेगा। / From \(-2x\geq -16\), we get \(x\leq 8\). Since equality is included, (8) gets a closed bracket.
(6) से गुणा करने पर \(4x+2\leq x+9\) मिलता है। इसलिए \(3x\leq 7\) और \(x\leq \frac{7}{3}\) है। / Multiplying by (6) gives \(4x+2\leq x+9\). So \(3x\leq 7\) and \(x\leq \frac{7}{3}\).
(6) से गुणा करने पर \(4x+2\leq x+9\) मिलता है। इसलिए \(3x\leq 7\) और \(x\leq \frac{7}{3}\) है। / Multiplying by (6) gives \(4x+2\leq x+9\). Therefore \(3x\leq 7\) and \(x\leq \frac{7}{3}\).
(5) से गुणा करने पर \(15\leq x+2\leq 30\) मिलता है। फिर (2) घटाने पर \(13\leq x\leq 28\) मिलता है। / Multiplying by (5) gives \(15\leq x+2\leq 30\). Subtracting (2) gives \(13\leq x\leq 28\).
पहली असमानता से (x>5) मिलता है और दूसरी (x<8) है। दोनों को मिलाकर (5<x<8) मिलता है। / The first inequality gives (x>5), and the second is (x<8). Combining both gives (5<x<8).
(10) से गुणा करने पर \(2x-8-x-1\geq 20\) मिलता है। इसलिए \(x-9\geq 20\) और \(x\geq 29\) है। / Multiplying by (10) gives \(2x-8-x-1\geq 20\). So \(x-9\geq 20\) and \(x\geq 29\).
(4) से गुणा करने पर \(-8\leq 3x+1<28\) मिलता है। फिर (1) घटाकर और (3) से भाग देकर \(-3\leq x<9\) मिलता है। / Multiplying by (4) gives \(-8\leq 3x+1<28\). Subtracting (1) and dividing by (3) gives \(-3\leq x<9\).
शर्त \(4x\geq 60\) है। इसलिए \(x\geq 15\) और न्यूनतम सही उत्तर (15) हैं। / The condition is \(4x\geq 60\). Therefore \(x\geq 15\) and the minimum number of correct answers is (15).
