Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर \(x\in A\) के लिए (2x) लेने पर सही युग्म मिलते हैं। नियम लागू करते समय प्रत्येक इनपुट अलग से जांचें। / For each \(x\in A\), taking (2x) gives the correct pairs. Check every input separately while applying a rule.
सभी इनपुट का प्रतिबिंब (4) है इसलिए यह स्थिर फलन है। समान आउटपुट फलन को गलत नहीं बनाता। / All inputs have image (4), so it is a constant function. Same output does not make a function wrong.
युग्म ((2,4)) से (2) का प्रतिबिंब (4) है। क्रमित युग्म में पहला अवयव इनपुट होता है। / From the pair ((2,4)), the image of (2) is (4). In an ordered pair the first component is the input.
समुच्चय \(f(A)\) में \(A\) के प्रत्येक अवयव का फलन-मान लिया जाता है। यहाँ \(f(1)=\sqrt{1}=1\), \(f(4)=\sqrt{4}=2\) और \(f(9)=\sqrt{9}=3\), इसलिए \(f(A)=\{1,2,3\}\)। विकल्प B केवल मूल समुच्चय \(A\) है, उसके प्रतिबिंब या image का समुच्चय नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(f(A)\) निकालने के लिए दिए गए समुच्चय के हर अवयव पर फलन लागू करें। / The set \(f(A)\) contains the function values of every element of \(A\). Here, \(f(1)=\sqrt{1}=1\), \(f(4)=\sqrt{4}=2\), and \(f(9)=\sqrt{9}=3\), so \(f(A)=\{1,2,3\}\). Option B is only the original set \(A\), not its image under the function. Exam tip: To find \(f(A)\), apply the function separately to each element of \(A\).
यहां (c) के दो प्रतिबिंब (1) और (2) हैं। एक इनपुट के दो अलग आउटपुट फलन में मान्य नहीं हैं। / Here (c) has two images (1) and (2). One input with two different outputs is not allowed in a function.
फलन के ग्राफ में प्रांत के हर तत्व के लिए ठीक एक युग्म होता है। इसलिए कुल युग्म (|A|=4) होंगे। / The graph of a function has exactly one pair for each domain element. So the total number of pairs is (|A|=4).
पहले विकल्प में (3) और (6) दोनों ठीक एक बार प्रथम अवयव हैं। यही फलन की आवश्यक शर्त है। / In the first option, (3) and (6) each appear exactly once as first components. This is the necessary condition for a function.
दिए गए फलन में \(x=3\) रखने पर \(f(3)=3^2-1=9-1=8\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प C में केवल \(3^2\) निकाला गया है और 1 घटाया नहीं गया। परीक्षा में पहले मान रखने के बाद घात निकालें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substituting \(x=3\) into the function gives \(f(3)=3^2-1=9-1=8\). Therefore, option A is correct. Option C is only \(3^2\) and does not subtract 1. In such questions, substitute the value first, evaluate the power, and then perform addition or subtraction.
फलन \(g(x)=\frac{x}{2}\) में \(x=8\) रखने पर \(g(8)=\frac{8}{2}=4\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में भाग देने के बजाय 8 को 그대로 रखा गया है, जबकि विकल्प C और D क्रमशः गलत गणना से प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन का मान निकालने के लिए दिए गए \(x\) को नियम में सीधे प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(x=8\) into the rule \(g(x)=\frac{x}{2}\) gives \(g(8)=\frac{8}{2}=4\). Therefore, option A is correct. Option B leaves 8 unchanged instead of dividing by 2, while options C and D result from incorrect calculations. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given input directly into its rule.
किसी फलन का परिसर क्रमित युग्मों के दूसरे अवयवों का समुच्चय होता है। यहाँ दूसरे अवयव 7, 9 और 11 हैं, इसलिए परिसर \(\{7,9,11\}\) है। विकल्प B प्रांत (पहले अवयवों का समुच्चय) है, परिसर नहीं। परीक्षा-युक्ति: परिसर ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का दूसरा घटक लिखें और दोहराए गए घटकों को केवल एक बार रखें। / The range of a function is the set of second components of its ordered pairs. Here, the second components are 7, 9, and 11, so the range is \(\{7,9,11\}\). Option B is the domain, formed from the first components, not the range. Exam tip: to find the range, collect the second entry from each ordered pair and list repeated values only once.
किसी फलन का प्रांत उसके क्रमित युग्मों के सभी प्रथम अवयवों का समुच्चय होता है। यहां प्रथम अवयव 5, 6 और 7 हैं, इसलिए प्रांत \(\{5,6,7\}\) है। विकल्प B केवल परास \(\{1,2\}\) दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म \((x,y)\) में सभी \(x\)-मान प्रांत और सभी \(y\)-मान परास बनाते हैं। / The domain of a function is the set of all first components of its ordered pairs. Here, the first components are 5, 6, and 7, so the domain is \(\{5,6,7\}\). Option B is the range, not the domain, because it contains the second components 1 and 2. Exam tip: in an ordered pair \((x,y)\), collect the \(x\)-values for the domain and the \(y\)-values for the range.
कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^3=8\) होती है। आधार सहप्रांत के तत्वों की संख्या होती है। / The number of functions is \(|B|^{|A|}=2^3=8\). The base is the number of elements in the codomain.
A से B में प्रत्येक फलन के लिए A के प्रत्येक अवयव की छवि B के 4 अवयवों में से किसी एक को चुना जा सकता है। इसलिए 2 अवयवों के लिए कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=4^2=16\) होगी। विकल्प \(2^2\) में B के 4 विकल्पों को अनदेखा किया गया है। परीक्षा-युक्ति: A से B में फलनों की संख्या हमेशा \(|B|^{|A|}\) होती है। / For a function from A to B, each of the 2 elements of A can be mapped to any of the 4 elements of B. Hence, the total number of functions is \(|B|^{|A|}=4^2=16\). The expression \(2^2\) incorrectly ignores the 4 available choices in B. Exam tip: For functions from A to B, use \(|B|^{|A|}\), with the codomain size as the base and the domain size as the exponent.
A. हर \(x\in A\) के लिए \(f(x)\in B\) होता है/For every \(x\in A\), \(f(x)\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\(f:A\to B\) में इनपुट (A) से और आउटपुट (B) में होता है। संकेत पढ़ना परीक्षा में बहुत जरूरी है। / In \(f:A\to B\), the input comes from (A) and the output lies in (B). Reading the notation is very important in exams.
A. क्योंकि हर \(x\in A\) का प्रतिबिंब होना चाहिए/Because every \(x\in A\) must have an image
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत का कोई तत्व छूट नहीं सकता। हर \(x\in A\) का ठीक एक प्रतिबिंब जरूरी है। / No element of the domain can be left out in a function. Every \(x\in A\) must have exactly one image.
एक ही इनपुट (p) के दो मान तभी मान्य होंगे जब वे समान हों। यहां \(5\ne7\), इसलिए सामान्यतः यह फलन नहीं है। / Two values for the same input (p) are allowed only if they are the same. Here \(5\ne7\), so generally it is not a function.
\(R=\{(1,2),(1,3)\}\) में (1) दो अलग मानों से जुड़ा है। इसलिए यह संबंध है लेकिन फलन नहीं है। / In \(R=\{(1,2),(1,3)\}\), (1) is related to two different values. So it is a relation but not a function.
तत्समक फलन प्रत्येक अवयव को उसी अवयव पर भेजता है, अर्थात् \(I_A(x)=x\)। इसलिए \(I_A(5)=5\)। विकल्प 4 समुच्चय \(A\) का अवयव तो है, लेकिन तत्समक फलन 5 को 4 में नहीं भेजता। परीक्षा-युक्ति: तत्समक फलन में इनपुट और आउटपुट सदैव समान होते हैं। / An identity function maps every element to itself, so \(I_A(x)=x\). Hence, \(I_A(5)=5\). Although 4 also belongs to the set \(A\), the identity function does not map 5 to 4. Exam tip: for an identity function, the input and output are always the same.
तत्समक फलन में प्रत्येक तत्व स्वयं से जुड़ता है। इसलिए सभी युग्म ((x,x)) रूप में हैं। / In an identity function, every element maps to itself. Therefore all pairs are of the form ((x,x)).
प्रत्येक अवयव x \(\in A\) का प्रतिचित्रण 10 पर होता है। इसलिए फलन के सभी प्रतिमानों का समुच्चय केवल \(\{10\}\) है। यह एक स्थिर फलन है और परिसर में किसी मान को दोहराया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: स्थिर फलन \(f(x)=c\) का परिसर हमेशा \(\{c\}\) होता है, बशर्ते प्रांत अशून्य हो। / Every element x \(\in A\) is mapped to 10, so the set of all output values is only \(\{10\}\). This is a constant function, and repeated output values are listed only once in the range. Exam tip: for a constant function \(f(x)=c\), the range is \(\{c\}\), provided the domain is non-empty.
(B) में केवल (a) है इसलिए हर प्रांत तत्व (a) से जुड़ता है। सभी (1), (2), और (3) शामिल होने चाहिए। / Since (B) has only (a), every domain element maps to (a). All (1), (2), and (3) must be included.
नियम \(f(x)=2x+1\) में दिए गए सभी प्रथम घटक रखने पर \(f(1)=3\), \(f(2)=5\) और \(f(3)=7\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यह दिए गए सभी क्रमित युग्मों से मेल खाता है। अन्य विकल्पों में कम-से-कम एक युग्म का मान गलत आता है। परीक्षा-युक्ति: किसी नियम की जाँच के लिए दिए गए प्रत्येक input पर उसे लागू करें, केवल एक पर नहीं। / For the rule \(f(x)=2x+1\), substituting all the given first components gives \(f(1)=3\), \(f(2)=5\), and \(f(3)=7\). Thus, it matches every ordered pair in the function. Each other option gives an incorrect value for at least one input. Exam tip: test a proposed rule with every given input, not just one.
फलन में \(1\mapsto1\), \(2\mapsto8\) और \(3\mapsto27\) दिया गया है। ये क्रमशः \(1^3, 2^3\) और \(3^3\) के बराबर हैं, इसलिए सही नियम \(f(x)=x^3\) है। उदाहरण के लिए, \(f(x)=x^2\) से \(f(2)=4\) मिलता, इसलिए वह विकल्प गलत है। परीक्षा में नियम पहचानने के लिए प्रत्येक दिए गए युग्म में \(y\) को \(x\) के घन से मिलाकर जाँच करें। / The function gives \(1\mapsto1\), \(2\mapsto8\), and \(3\mapsto27\). These outputs are respectively \(1^3, 2^3\), and \(3^3\), so the correct rule is \(f(x)=x^3\). For instance, \(f(x)=x^2\) would give \(f(2)=4\), so option B is incorrect. Exam tip: test the proposed rule with all the ordered pairs, not just one pair.
फलन के ग्राफ में प्रत्येक क्रमित युग्म \((x,f(x))\) होता है। यहाँ \(f(1)=5\), \(f(2)=6\) और \(f(3)=7\), इसलिए ग्राफ \(\{(1,5),(2,6),(3,7)\}\) है। विकल्प B में नियम effectively \(f(x)=x+3\) बनता है, जबकि विकल्प C में क्रमित युग्म उलट दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए प्रत्येक domain मान पर फलन का मान निकालकर \((x,f(x))\) लिखें। / The graph of a function consists of ordered pairs \((x,f(x))\). Here, \(f(1)=5\), \(f(2)=6\), and \(f(3)=7\), so the graph is \(\{(1,5),(2,6),(3,7)\}\). Option B corresponds effectively to \(f(x)=x+3\), while option C reverses the ordered pairs. Exam tip: calculate the function value for each domain element and write the pair as \((x,f(x))\).
f(A) ज्ञात करने के लिए f(x) = x − 2 को A के प्रत्येक अवयव पर लागू करते हैं: f(2) = 0, f(4) = 2 और f(6) = 4। इसलिए f(A) = {0, 2, 4}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह फलन लागू करने से पहले का समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का प्रतिबिंब ज्ञात करते समय फलन के नियम को उसके प्रत्येक अवयव पर अलग-अलग लागू करें। / To find f(A), apply the rule f(x) = x − 2 to every element of A: f(2) = 0, f(4) = 2, and f(6) = 4. Therefore, f(A) = {0, 2, 4}. Option B is incorrect because it is the original set before applying the function. Exam tip: To find the image of a set, apply the function rule separately to each element of the set.
पहले विकल्प में (1), (2), और (3) सभी ठीक एक बार आए हैं। फलन के लिए प्रत्येक इनपुट का एक ही आउटपुट होना चाहिए। / In the first option, (1), (2), and (3) each appear exactly once. A function needs exactly one output for each input.
फलन \(f:A\to B\) में डोमेन के प्रत्येक तत्व \(a\) के लिए सह-डोमेन \(B\) का ठीक एक तत्व \(f(a)\) निर्धारित होता है। इसलिए \(f(a)\) का मान न तो शून्य हो सकता है और न ही एक से अधिक। परीक्षा-युक्ति: फलन के मानचित्र में प्रत्येक डोमेन तत्व से ठीक एक तीर निकलना चाहिए। / In a function \(f:A\to B\), every element \(a\) of the domain has exactly one corresponding element \(f(a)\) in the codomain. Thus, \(f(a)\) cannot have zero or multiple values. Exam tip: in a mapping diagram, exactly one arrow must originate from each domain element.
पहले उपसमुच्चय में (1) और (2) का एक-एक प्रतिबिंब है। बाकी में कोई इनपुट दो अलग मानों से जुड़ा है या छूट गया है। / In the first subset, (1) and (2) each have one image. In the others an input has two different values or is missing.
युग्म ((4,8)) बताता है कि (4) का प्रतिबिंब (8) है। संबंधित प्रथम अवयव वाला युग्म चुनें। / The pair ((4,8)) shows that the image of (4) is (8). Choose the pair with the related first component.
पहले विकल्प में (2) प्रथम अवयव के रूप में नहीं आया है। प्रांत का हर तत्व शामिल होना चाहिए। / In the first option, (2) does not appear as a first component. Every element of the domain must be included.
दिए गए फलन में c(x=5c) रखने पर c(f(5)=2(5)-3=10-3=7c) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 7 है। विकल्प 10 में 3 घटाना छूट गया है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए c(xc) का मान सीधे सूत्र में रखें और क्रम से गणना करें। / Substituting c(x=5c) in the given function gives c(f(5)=2(5)-3=10-3=7c). Therefore, the correct answer is 7. Option 10 results from forgetting to subtract 3. In such questions, directly substitute the given input into the function rule and calculate in order.
\(f(a)=a^2\) होने के कारण \(a^2=16\), इसलिए \(a=\pm4\)। प्रश्न में धनात्मक मान पूछा गया है, अतः \(a=4\) सही है। विकल्प 16, \(f(a)\) का मान है, \(a\) का नहीं। परीक्षा-टिप: वर्गमूल लेते समय दोनों चिह्न आते हैं, लेकिन दी गई धनात्मक या ऋणात्मक शर्त के अनुसार सही मान चुनें। / Since \(f(a)=a^2\), we have \(a^2=16\), giving \(a=\pm4\). The question asks for the positive value, so \(a=4\) is correct. The value 16 is \(f(a)\), not \(a\). Exam tip: when taking a square root, consider both signs and then apply any stated sign condition.
क्रमित युग्म \((x,f(x))\) में पहला अवयव इनपुट और दूसरा अवयव उसका प्रतिबिंब होता है। यहाँ \((2,c)\) दिया है, इसलिए \(c\) का पूर्वप्रतिबिंब \(2\) है। \(1\) और \(3\) के प्रतिबिंब \(b\) हैं, जबकि \(b\) स्वयं इस संबंध में इनपुट तत्व नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए गए प्रतिबिंब का पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए क्रमित युग्म के दूसरे अवयव से मिलान करके पहला अवयव पढ़ें। / In an ordered pair \((x,f(x))\), the first component is the input and the second component is its image. Since \((2,c)\) is given, the preimage of \(c\) is \(2\). The elements \(1\) and \(3\) have image \(b\), while \(b\) is not an input element in this relation. Exam tip: To find the preimage of a given image, match it with the second component and read the first component of that ordered pair.
A. \(f(x)\), जो \(B\) में स्थित होता है/\(f(x)\), which lies in \(B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f:A\to B\) में \(A\) के प्रत्येक अवयव \(x\) का एक निश्चित आउटपुट \(f(x)\) होता है; यही \(x\) का प्रतिबिंब कहलाता है और यह सहप्रांत \(B\) में स्थित होता है। विकल्प B इनपुट या पूर्वप्रतिबिंब को दर्शाता है, जबकि विकल्प D ग्राफ का क्रमित युग्म है, प्रतिबिंब नहीं। परीक्षा-युक्ति: इनपुट \(x\) से आउटपुट \(f(x)\) तक जाने पर प्रतिबिंब मिलता है। / For a function \(f:A\to B\), each element \(x\) of the domain \(A\) has a unique output \(f(x)\); this output is the image of \(x\) and lies in the codomain \(B\). Option B represents the input or preimage, while option D is the ordered pair used to describe a point on the graph. Exam tip: the image is obtained by applying the function to the input, giving \(f(x)\).
A. प्रांत \(A\) का अवयव/An element of the domain \(A\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(f(x)=y\), तो \(x\), \(y\) का पूर्वप्रतिबिंब कहलाता है। इसलिए पूर्वप्रतिबिंब हमेशा प्रांत \(A\) का अवयव होता है, जबकि \(y\) सहप्रांत \(B\) का अवयव होता है। परीक्षा में याद रखें: input प्रांत से और output सहप्रांत से संबंधित होता है। / If \(f(x)=y\), then \(x\) is called the preimage of \(y\). Thus, a preimage is always an element of the domain \(A\), whereas \(y\) is an element of the codomain \(B\). Exam tip: the input comes from the domain and the output belongs to the codomain.
A. परिसर (B) का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन के प्राप्त मान (B) में होते हैं, इसलिए परिसर (B) का उपसमुच्चय होता है। यह जरूरी नहीं कि पूरा (B) हो। / The obtained values of the function lie in (B), so the range is a subset of (B). It need not be the whole of (B).
किसी फलन का परिसर उसके सभी वास्तविक प्राप्त मानों का समुच्चय होता है। यहाँ दोनों क्रमित युग्मों के द्वितीय घटक 3 हैं, इसलिए परिसर \(\{3\}\) होगा; समुच्चय में 3 को दो बार नहीं लिखा जाता। \(\{3,4\}\) सहपरिसर है, परिसर नहीं, क्योंकि 4 का कोई प्रतिलोम प्रतिबिंब नहीं है। परीक्षा-युक्ति: परिसर ज्ञात करने के लिए क्रमित युग्मों के केवल द्वितीय घटकों को लें। / The range of a function is the set of all actual output values. In both ordered pairs, the second component is 3, so the range is \(\{3\}\); a set lists 3 only once. \(\{3,4\}\) is the codomain, not the range, because no element of \(A\) maps to 4. Exam tip: To find the range from ordered pairs, collect their second components.
रिक्त प्रांत में कोई इनपुट नहीं है, इसलिए ग्राफ में कोई युग्म नहीं होगा। फिर भी यह रिक्त फलन माना जाता है। / An empty domain has no input, so the graph has no pair. Still it is considered the empty function.
गैर-रिक्त प्रांत के तत्वों को \(\emptyset\) में कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। इसलिए कोई फलन नहीं बनेगा। / Elements of a non-empty domain cannot get any image in \(\emptyset\). Therefore no function can be formed.
समुच्चय A में केवल एक अवयव 2 है। इस अवयव की छवि B के दो अवयवों—5 या 6—में से किसी एक को चुना जा सकता है। इसलिए फलनों की संख्या \(2^1 = 2\) होगी। विकल्प 1 केवल एक संभावित फलन को दर्शाता है, जबकि यहाँ दो अलग-अलग फलन संभव हैं। परीक्षा में A से B के फलनों की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र \(n(B)^{n(A)}\) याद रखें। / Set A has only one element, 2. Its image can be chosen as either 5 or 6 from set B, giving two different functions. Hence, the number of functions is \(2^1 = 2\). Option 1 counts only one possible function, whereas both choices are possible. For such questions, use the formula \(n(B)^{n(A)}\) for the number of functions from A to B.
(4) और (5) दोनों का प्रतिबिंब (1) है और हर इनपुट का केवल एक मान है। यह वैध बहु-एक फलन है। / Both (4) and (5) have image (1), and every input has only one value. This is a valid many-one function.
A. क्योंकि (a) के दो प्रतिबिंब हैं/Because (a) has two images
Explanation
Simple Explanation
एक प्रांत तत्व से दो अलग तीर निकलना फलन की शर्त तोड़ता है। हर इनपुट से ठीक एक तीर होना चाहिए। / Two different arrows from one domain element break the function condition. Exactly one arrow must leave each input.
हर इनपुट (a), (b), और (c) का ठीक एक प्रतिबिंब है। दो इनपुट का समान आउटपुट होना मान्य है। / Each input (a), (b), and (c) has exactly one image. Two inputs having the same output is allowed.
तत्समक फलन में समुच्चय का प्रत्येक तत्व स्वयं पर ही प्रतिचित्रित होता है, अर्थात \(f(x)=x\)। इसलिए यहाँ \(f\), \(A\) पर तत्समक फलन है और इसे \(I_A\) से दर्शाया जा सकता है। यह स्थिर फलन नहीं है, क्योंकि स्थिर फलन में सभी तत्वों की छवियाँ एक ही निश्चित तत्व होती हैं। परीक्षा-युक्ति: \(f(x)=x\) दिखे तो तत्समक फलन पहचानें। / In an identity function, every element of the set maps to itself, so \(f(x)=x\). Hence, \(f\) is the identity function on \(A\), also denoted by \(I_A\). It is not a constant function because a constant function maps every element to the same fixed value. Exam tip: whenever \(f(x)=x\) for every element of the domain, identify the function as an identity function.
A. ऐसा संबंध जिसमें हर \(x\in A\) का ठीक एक \(y\in B\) हो/A relation in which every \(x\in A\) has exactly one \(y\in B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर \(x\in A\) को (B) के ठीक एक तत्व से जोड़ा जाता है। यही परिभाषा की मुख्य बात है। / In a function, every \(x\in A\) is associated with exactly one element of (B). This is the key point of the definition.
A. (R) (A) से (B) में फलन है/(R) is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
(A) के (1), (2), और (3) का ठीक एक प्रतिबिंब (B) में है। सहप्रांत के हर तत्व का प्रयोग होना जरूरी नहीं। / The elements (1), (2), and (3) of (A) each have exactly one image in (B). It is not necessary to use every element of the codomain.
परास ज्ञात करने के लिए परिभाषा-क्षेत्र के प्रत्येक मान को फलन में रखते हैं: \(f(0)=1\), \(f(2)=3\) और \(f(4)=5\)। इसलिए परास \(\{1,3,5\}\) है। विकल्प B केवल परिभाषा-क्षेत्र को दोहराता है, परास को नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का परास पाने के लिए दिए गए प्रत्येक input पर फलन का मान निकालें। / To find the range, substitute each domain value into the function: \(f(0)=1\), \(f(2)=3\), and \(f(4)=5\). Therefore, the range is \(\{1,3,5\}\). Option B merely repeats the domain, not the range. Exam tip: calculate the function value for every given input to obtain the range.
नियम \(y=x+2\) में \(x=1\) रखने पर \(y=3\) और \(x=3\) रखने पर \(y=5\) मिलता है। इसलिए क्रमित युग्म \((1,3)\) और \((3,5)\) होंगे, अतः विकल्प A सही है। विकल्प C में क्रमित युग्मों का क्रम उलट दिया गया है, जबकि D पहचान फलन \(y=x\) को दर्शाता है। परीक्षा टिप: ग्राफ के प्रत्येक बिंदु को हमेशा \((x,y)\) के क्रम में लिखें। / Using the rule \(y=x+2\), when \(x=1\), \(y=3\), and when \(x=3\), \(y=5\). Thus, the ordered pairs are \((1,3)\) and \((3,5)\), so option A is correct. Option C reverses the ordered-pair arrangement, while option D represents the identity rule \(y=x\). Exam tip: Always write graph points in the order \((x,y)\).
(m) का प्रतिबिंब (B) के किसी भी (3) तत्वों में से एक हो सकता है। गिनती में हर प्रांत तत्व के लिए सहप्रांत की संख्या विकल्प देती है। / The image of (m) can be any one of the (3) elements of (B). In counting, each domain element gets as many choices as the codomain size.
A. हर प्रांत तत्व ठीक एक बार इनपुट के रूप में आया है या नहीं/Whether each domain element appears exactly once as an input
Explanation
Simple Explanation
फलन के लिए हर प्रांत तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब जरूरी है। इसलिए प्रथम अवयवों की जांच सबसे उपयोगी होती है। / For a function, every domain element must have exactly one image. So checking first components is most useful.
