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केवल (A) के लिए (n(A)-n\(A\cap B\)=72-38=34)। परीक्षा में पहले साझा भाग घटाएं। / Only (A) is (n(A)-n\(A\cap B\)=72-38=34). In exams, subtract the common part first.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से साझा भाग (58+49-96=11) है। हमेशा संघ में दोहरी गिनती घटती है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), the common part is (58+49-96=11). Always remove double counting in a union.
पहले (n\(A\cup B\)=52+47-24=75), इसलिए बाहर (90-75=15) है। वेन आरेख में बाहर का क्षेत्र अंत में निकालें। / First (n\(A\cup B\)=52+47-24=75), so outside is (90-75=15). In a Venn diagram, find the outside region at the end.
पूरक के लिए (n(\(A\cup B\)')=n(U)-n\(A\cup B\)=150-118=32)। पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से संबंधित होता है। / For complement, (n(\(A\cup B\)')=n(U)-n\(A\cup B\)=150-118=32). A complement is always taken with respect to the universal set.
तीन समुच्चयों का सूत्र (40+38+35-14-12-10+5=82) देता है। तीनों के साझा भाग को अंत में फिर जोड़ना जरूरी है। / The three-set formula gives (40+38+35-14-12-10+5=82). The common part of all three must be added back at the end.
सूत्र में (100=50+45+40-18-15-12+x), इसलिए (x=10)। अज्ञात त्रिक छेदन को (x) मानकर हल करें। / In the formula, (100=50+45+40-18-15-12+x), so (x=10). Take the unknown triple intersection as (x) and solve.
एक वेन आरेख में (n\(A\cap B\cap C\)=7), केवल \(A\cap B\) में (9), केवल \(B\cap C\) में (6), केवल \(C\cap A\) में (5) और केवल (A) में (18) है। (n(A)) कितना है?
(A) में केवल (A), केवल \(A\cap B\), केवल \(C\cap A\) और तीनों साझा आते हैं, इसलिए (18+9+5+7=39)। क्षेत्र जोड़ते समय केवल (A) के अंदर वाले भाग चुनें। / Set (A) contains only (A), only \(A\cap B\), only \(C\cap A\), and the triple part, so (18+9+5+7=39). While adding regions, choose only parts inside (A).
किसी में भी नहीं (=n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=200-164=36)। बाहरी क्षेत्र सार्वत्रिक समुच्चय से संघ घटाने पर मिलता है। / None of them equals (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=200-164=36). The outside region is found by subtracting the union from the universal set.
यदि केवल (A), केवल (B), केवल (C), ठीक दो समुच्चयों में और तीनों समुच्चयों में क्रमशः (16), (19), (14), (27), (8) तत्व हैं, तो कम से कम एक समुच्चय में कुल कितने तत्व हैं?
कम से कम एक का अर्थ संघ है, इसलिए (16+19+14+27+8=84)। वेन आरेख में सभी अंदरूनी क्षेत्रों को जोड़ें। / At least one means the union, so (16+19+14+27+8=84). In a Venn diagram, add all inside regions.
ठीक एक (=(60-25)+(55-25)=65)। दोनों में आने वालों को दोनों समुच्चयों से अलग-अलग घटाएं। / Exactly one is ((60-25)+(55-25)=65). Subtract the common elements separately from both sets.
केवल भौतिकी (=39-22=17)। केवल वाले क्षेत्र के लिए कुल से साझा क्षेत्र घटाएं। / Only Physics is (39-22=17). For an only-region, subtract the common region from the set total.
जब \(A\subseteq B\), तब (B-A) में (64-28=36) तत्व होते हैं। उपसमुच्चय का पूरा वृत्त बड़े समुच्चय के अंदर होता है। / When \(A\subseteq B\), (B-A) has (64-28=36) elements. The subset circle lies completely inside the larger set.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (31+44=75)। असंबद्ध वृत्त वेन आरेख में नहीं कटते। / For disjoint sets, the common part is (0), so (31+44=75). Disjoint circles do not overlap in a Venn diagram.
संघ तीन अलग क्षेत्रों का योग है, इसलिए (23+17+12=52)। वेन आरेख में अलग-अलग क्षेत्रों को एक बार ही जोड़ें। / The union is the sum of three separate regions, so (23+17+12=52). In a Venn diagram, add each separate region only once.
(B) में (B-A) और \(A\cap B\) आते हैं, इसलिए (B-A=47-15=32)। दिए गए (A-B) से भ्रमित न हों। / Set (B) contains (B-A) and \(A\cap B\), so (B-A=47-15=32). Do not get confused by the given (A-B).
A. क्योंकि (A-B) में \(A\cap C\) का कुछ भाग आ सकता है/Because (A-B) may include a part of \(A\cap C\)
Explanation
Simple Explanation
तीन समुच्चयों में (A-B) का अर्थ (A) में वे सभी भाग हैं जो (B) में नहीं हैं, इसमें केवल (A) और केवल \(A\cap C\) आ सकते हैं। क्षेत्र का अर्थ पढ़कर ही संख्या रखें। / In three sets, (A-B) means all parts of (A) not in (B), which can include only (A) and only \(A\cap C\). Always interpret the region before placing the number.
\(A'\cap B'\) का अर्थ दोनों से बाहर है, इसलिए (n\(A\cup B\)=100-18=82)। अब (48+52-n\(A\cap B\)=82), अतः (18)। / \(A'\cap B'\) means outside both, so (n\(A\cup B\)=100-18=82). Now (48+52-n\(A\cap B\)=82), hence (18).
(n(A)=45) और (n(B)=38), इसलिए (n\(A\cup B\)=45+38-25=58)। बाहर का भाग (80-58=22) है। / (n(A)=45) and (n(B)=38), so (n\(A\cup B\)=45+38-25=58). The outside part is (80-58=22).
संघ (=(A-B)+(B-A)+\(A\cap B\)), इसलिए साझा भाग (70-24-31=15) है। संघ में तीन अलग क्षेत्र होते हैं। / Union equals ((A-B)+(B-A)+\(A\cap B\)), so the common part is (70-24-31=15). A union has three separate regions in two sets.
सममित अंतर \(A\Delta B\) ठीक एक समुच्चय के क्षेत्र देता है, इसलिए संघ (54+19=73) है। साझा क्षेत्र अलग से जोड़ना होता है। / The symmetric difference \(A\Delta B\) gives the exactly-one regions, so the union is (54+19=73). The common region must be added separately.
A. (n\(A\cap B\)+n\(B\cap C\)+n\(C\cap A\)-3n\(A\cap B\cap C\))
Explanation
Simple Explanation
हर युग्म छेदन में त्रिक छेदन शामिल होता है, जो तीन बार गिना जाता है, इसलिए (3n\(A\cap B\cap C\)) घटता है। ठीक दो में त्रिक भाग शामिल नहीं होता। / Each pairwise intersection includes the triple intersection, counted three times, so (3n\(A\cap B\cap C\)) is subtracted. Exactly two does not include the triple part.
ठीक दो \(=20+18+16-3\cdot6=36\)। युग्म छेदनों में त्रिक भाग बार-बार गिना जाता है। / Exactly two is \(20+18+16-3\cdot6=36\). The triple part is counted repeatedly in pairwise intersections.
सार्वत्रिक समुच्चय में अंदर और बाहर सभी क्षेत्र आते हैं, इसलिए (12+15+10+33+9+21=100)। कोई भी क्षेत्र न छोड़ें। / The universal set contains all inside and outside regions, so (12+15+10+33+9+21=100). Do not skip any region.
एक सर्वेक्षण में (45) लोग (A), (50) लोग (B), (42) लोग (C), (18) लोग \(A\cap B\), (20) लोग \(B\cap C\), (16) लोग \(C\cap A\), और (7) लोग तीनों में हैं। केवल (A) में कितने लोग हैं?
केवल (A=45-(18-7)-(16-7)-7=18)। युग्म छेदनों से त्रिक भाग अलग करके घटाएं। / Only (A=45-(18-7)-(16-7)-7=18). Separate the triple part from pairwise intersections before subtracting.
यदि (n(A)=70), (n(B)=62), (n(C)=58), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=26), (n\(A\cap B\cap C\)=12), और (n(U)=130) है, तो किसी में भी नहीं कितने हैं?
संघ (70+62+58-30-24-26+12=122) है, इसलिए बाहर (130-122=8)। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / The union is (70+62+58-30-24-26+12=122), so outside is (130-122=8). Find the union first and then take its complement.
पूरा (A) यदि (B) के अंदर है, तो \(A\subseteq B\) है। वेन आरेख में वृत्तों की स्थिति समुच्चय संबंध बताती है। / If all of (A) is inside (B), then \(A\subseteq B\). In Venn diagrams, circle placement shows set relations.
A. नहीं, (A) और (C) कट सकते हैं/No, (A) and (C) may overlap
Explanation
Simple Explanation
दोनों शर्तें केवल (B) को (A) और (C) से अलग करती हैं, (A) और (C) आपस में कट सकते हैं। वेन आरेख से प्रतिउदाहरण जल्दी दिखता है। / The two conditions only separate (B) from (A) and (C); (A) and (C) can still overlap. A Venn diagram quickly shows the counterexample.
(A) के अंदर और (B) के बाहर का क्षेत्र (A-B) है। भाषा को क्षेत्रीय अर्थ में बदलना सीखें। / The region inside (A) and outside (B) is (A-B). Learn to translate words into region meanings.
दोनों के बाहर का भाग \(A'\cap B'\) है, जो (\(A\cup B\)') के बराबर है। डी मॉर्गन नियम याद रखें। / The part outside both is \(A'\cap B'\), which equals (\(A\cup B\)'). Remember De Morgan's law.
संघ के तीन भाग जोड़ें: ((x+5)+(2x-3)+(x+1)=45), इसलिए (4x+3=45) और (x=10.5) नहीं आता, अतः सही समीकरण में त्रुटि है। / Add the three union parts: ((x+5)+(2x-3)+(x+1)=45), so (4x+3=45) and (x=10.5), not an integer; hence the given options show inconsistency.
((x+4)+(2x-1)+(x+3)=46) से (4x+6=46), इसलिए (x=10)। अलग क्षेत्रों का योग संघ होता है। / From ((x+4)+(2x-1)+(x+3)=46), (4x+6=46), so (x=10). The sum of disjoint regions is the union.
सूत्र से ((3x+8)+(2x+17)-(x+5)=70), इसलिए (4x+20=70) और (x=12.5) आता है, अतः विकल्पों में कोई सही नहीं। / Using the formula, ((3x+8)+(2x+17)-(x+5)=70), so (4x+20=70) and (x=12.5); therefore none of the listed options is correct.
((4x+6)+(3x+9)-(2x+5)=80) से (5x+10=80), इसलिए (x=14)। सूत्र लगाते समय छेदन घटाना न भूलें। / From ((4x+6)+(3x+9)-(2x+5)=80), (5x+10=80), so (x=14). Do not forget to subtract the intersection.
कम से कम एक (=68+57-31=94), इसलिए प्रतिशत \(\frac{94}{120}\times100=78.33%\) है। पहले संख्या निकालें फिर प्रतिशत लें। / At least one is (68+57-31=94), so the percentage is \(\frac{94}{120}\times100=78.33%\). Find the count first, then convert to percentage.
संघ प्रतिशत (35%+48%-20%=63%) है। प्रतिशतों पर भी वही समावेशन-बहिष्करण सूत्र लगता है। / The union percentage is (35%+48%-20%=63%). The same inclusion-exclusion formula works for percentages.
ठीक एक (=(60%-25%)+(50%-25%)=60%) है। ठीक एक में साझा भाग नहीं लिया जाता। / Exactly one is ((60%-25%)+(50%-25%)=60%). The common part is not included in exactly one.
सामान्य सूत्र में छेदन घटता है, इसलिए बराबरी तभी होगी जब (n\(A\cap B\)=0)। इसका अर्थ असंबद्ध समुच्चय है। / In the general formula, the intersection is subtracted, so equality holds only when (n\(A\cap B\)=0). This means the sets are disjoint.
जब \(A\subseteq B\), तब मिलाकर (B) और साझा भाग (A) होता है। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में यह तुरंत दिखता है। / When \(A\subseteq B\), the union is (B) and the common part is (A). This is immediate from the subset Venn diagram.
A. तीन अलग-अलग असंबद्ध क्षेत्र/Three separate disjoint regions
Explanation
Simple Explanation
आंशिक कटान में (A-B), \(A\cap B\), और (B-A) एक-दूसरे से असंबद्ध अलग क्षेत्र हैं। इन्हीं का योग \(A\cup B\) देता है। / In partial overlap, (A-B), \(A\cap B\), and (B-A) are separate disjoint regions. Their sum gives \(A\cup B\).
ये तीनों \(A\cup B\) के अलग-अलग क्षेत्र हैं, इसलिए (29+34+21=84)। पूरक चिह्न से क्षेत्र पहचानें। / These three are separate regions of \(A\cup B\), so (29+34+21=84). Use the complement symbol to identify the region.
संघ (18+22+16=56) है, इसलिए दोनों के बाहर (75-56=19)। चार क्षेत्रों का कुल योग (U) होता है। / The union is (18+22+16=56), so outside both is (75-56=19). The four regions together make (U).
यदि (A), (B), (C) के वेन आरेख में केवल \(A\cap B\) में (11), केवल \(B\cap C\) में (13), केवल \(C\cap A\) में (9), और तीनों में (4) हैं, तो (n\(A\cap B\)+n\(B\cap C\)+n\(C\cap A\)) कितना है?
युग्म छेदन योग (=(11+4)+(13+4)+(9+4)=45)। तीनों वाला भाग हर युग्म छेदन में शामिल होता है। / The pairwise intersection sum is ((11+4)+(13+4)+(9+4)=45). The triple part is included in every pairwise intersection.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों, इसलिए तीनों (95-46-33=16)। क्षेत्र श्रेणियां अलग-अलग होती हैं। / Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (95-46-33=16). These region categories are disjoint.
सूत्र से (120=55+60+65-78+x), इसलिए (x=18)। युग्म छेदन का योग सीधे सूत्र में घटता है। / Using the formula, (120=55+60+65-78+x), so (x=18). The sum of pairwise intersections is subtracted directly in the formula.
पहले (B-A=88-35-26=27)। फिर (n(B)=27+26=53)। क्षेत्रवार काम करने से गलती कम होती है। / First (B-A=88-35-26=27). Then (n(B)=27+26=53). Working region by region reduces mistakes.
ठीक एक (=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (82=140-2x) और (x=29)। ठीक एक में साझा भाग दो बार घटता है। / Exactly one equals (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (82=140-2x) and (x=29). The common part is removed twice for exactly one.
A. क्योंकि कई अंदरूनी क्षेत्र अभी अज्ञात हैं/Because several inner regions are still unknown
Explanation
Simple Explanation
तीन-समुच्चय वेन आरेख में केवल ये अंतर कुछ क्षेत्रों को ही बताते हैं, सभी सात अंदरूनी क्षेत्र नहीं। संघ जानने के लिए सभी अंदरूनी क्षेत्र चाहिए। / In a three-set Venn diagram, these differences describe only some regions, not all seven inner regions. To know the union, all inner regions are needed.
A. क्योंकि खाली न होने वाले सदस्यता प्रकार \(2^3-1=7\) होते हैं/Because the non-empty membership types are \(2^3-1=7\)
Explanation
Simple Explanation
तीन समुच्चयों के लिए कुल सदस्यता प्रकार \(2^3\) हैं, जिनमें एक बाहर का क्षेत्र है, इसलिए अंदर \(2^3-1=7\) क्षेत्र हैं। क्षेत्र गिनने में बाहर वाला अलग रखें। / For three sets, there are \(2^3\) membership types, one of which is outside, so inner regions are \(2^3-1=7\). Keep the outside region separate while counting.
यदि (n(U)=250), (n(A)=120), (n(B)=110), (n(C)=95), (n\(A\cap B\)=52), (n\(B\cap C\)=41), (n\(C\cap A\)=37), (n\(A\cap B\cap C\)=19) है, तो कम से कम एक में नहीं होने वालों की संख्या क्या है?
कम से कम एक का संघ (120+110+95-52-41-37+19=214) है, इसलिए बाहर (250-214=36)। लंबी संख्याओं में सूत्र क्रम से लिखें। / The union for at least one is (120+110+95-52-41-37+19=214), so outside is (250-214=36). With large numbers, write the formula in order.
एक कक्षा में (100) विद्यार्थियों में (72) ने (A) या (B) में से कम से कम एक चुना। यदि केवल (A) में (28) और केवल (B) में (34) हैं, तो दोनों में कितने हैं?
संघ (=) केवल (A) (+) केवल (B) (+) दोनों, इसलिए दोनों (72-28-34=10)। कम से कम एक का अर्थ संघ है। / Union equals only (A) plus only (B) plus both, so both is (72-28-34=10). At least one means union.
