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पहले (n\(A\cup B\)=210-58=152), फिर (n\(A\cap B\)=96+88-152=32)। बाहर का भाग मिले तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=210-58=152), then (n\(A\cap B\)=96+88-152=32). If the outside part is given, find the union first.
पहले (n\(A\cup B\)=91+87-34=144), इसलिए पूरक (190-144=46) है। बाहर का भाग निकालने से पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=91+87-34=144), so the complement is (190-144=46). Find the union before finding the outside region.
संघ के तीन अलग भाग होते हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=148-52-43=53)। अलग क्षेत्रों को केवल एक बार गिनें। / The union has three separate parts, so (n\(A\cap B\)=148-52-43=53). Count each separate region only once.
संघ में सममित अंतर और साझा भाग दोनों आते हैं, इसलिए (112+39=151)। \(A\triangle B\) में साझा भाग शामिल नहीं होता। / The union contains both the symmetric difference and the common part, so (112+39=151). \(A\triangle B\) does not include the common part.
तीन समुच्चयों का संघ (90+84+78-36-32-30+13=167) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग जोड़ें। / The union of three sets is (90+84+78-36-32-30+13=167). After subtracting pairwise intersections, add the central part.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=92+83-160=15) है। कुल संख्या (U) से अधिक हो तो अतिरिक्त भाग साझा होना जरूरी है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=92+83-160=15). If the total exceeds (U), the extra part must be common.
ठीक दो (=(45-16)+(38-16)+(35-16)=70) होना चाहिए, इसलिए विकल्पों में सही मान (70) है। हर जोड़ी से तीनों का साझा भाग घटाएं। / Exactly two should be ((45-16)+(38-16)+(35-16)=70), so the correct option is (70). Subtract the all-three part from each pair.
प्रतिच्छेद किसी भी समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम मान (74) है। अधिकतम के लिए छोटे समुच्चय का मान देखें। / The intersection cannot be larger than either set, so the maximum value is (74). For maximum, use the smaller set.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (105+96-180=21) है। जब दोनों कुल मिलकर (U) से अधिक हों, तो अतिरिक्त भाग साझा होता है। / The minimum intersection is (105+96-180=21). When the two totals exceed (U), the extra part must be common.
\(B^c\) में (U) के वे तत्व हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए (150-108=42)। उपसमुच्चय जानकारी यहां जाल है। / \(B^c\) contains elements of (U) that are not in (B), so (150-108=42). The subset information is a trap here.
पहले (n(B-A)=136-49-31=56), फिर (n(B)=56+31=87)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों आते हैं। / First (n(B-A)=136-49-31=56), then (n(B)=56+31=87). (B) contains only (B) and the common part.
क्योंकि (A) पूरा (C) में है, इसलिए (n(C-A)=132-37=95)। हटाए गए समुच्चय को ही घटाएं। / Since (A) lies completely inside (C), (n(C-A)=132-37=95). Subtract only the set being removed.
(4) के गुणज (24), (6) के गुणज (16), और (12) के गुणज (8) हैं, इसलिए (24+16-8=32)। साझा भाग के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiples of (4) are (24), multiples of (6) are (16), and multiples of (12) are (8), so (24+16-8=32). Use the LCM for the common part.
तीन समुच्चयों के लिए (n(A)=72), (n(B)=66), (n(C)=59), (n\(A\cap B\)=28), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=22) और (n\(A\cap B\cap C\)=9) है। (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
तीन समुच्चयों का संघ (72+66+59-28-24-22+9=132) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग वापस जोड़ें। / The union of three sets is (72+66+59-28-24-22+9=132). After subtracting pairwise intersections, add the central part back.
तीन अंदरूनी भागों का योग (48+44+28=120) है, इसलिए बाहर (160-120=40)। चारों क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (48+44+28=120), so outside is (160-120=40). The four regions together form the whole (U).
सूत्र में (162=82+76+70-34-30-27+x) होगा, इसलिए (x=15)। अज्ञात केंद्रीय भाग के लिए समीकरण बनाएं। / In the formula (162=82+76+70-34-30-27+x), so (x=15). Form an equation for the unknown central part.
ठीक दो (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58) है। हर जोड़ी में केंद्रीय भाग शामिल होता है, इसलिए उसे घटाएं। / Exactly two (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58). Each pairwise intersection includes the central part, so subtract it.
केवल (A=94-40-37+16=33) है। केंद्रीय भाग दो बार घटता है, इसलिए उसे एक बार जोड़ें। / Only (A=94-40-37+16=33). The central part is subtracted twice, so add it once.
कम से कम दो (=(48-17)+(41-17)+(39-17)+17=94) है। ठीक दो निकालकर तीनों वाला भाग जोड़ें। / At least two is ((48-17)+(41-17)+(39-17)+17=94). Find exactly two and then add the all-three part.
तीन समुच्चयों में केवल (A=31), केवल (B=26), केवल (C=24), केवल \(A\cap B=15\), केवल \(B\cap C=13\), केवल \(C\cap A=11\) और \(A\cap B\cap C=8\) हैं। यदि (n(U)=160), तो (n(\(A\cup B\cup C\)^c)) कितना होगा?
अंदर का संघ (31+26+24+15+13+11+8=128), इसलिए बाहर (160-128=32)। सातों अंदरूनी क्षेत्रों को जोड़ें। / The inside union is (31+26+24+15+13+11+8=128), so outside is (160-128=32). Add all seven inside regions.
(A) के सभी अंदरूनी भागों का योग (25+14+12+9=60) है। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके वृत्त के सभी भागों से मिलती है। / The sum of all inside parts of (A) is (25+14+12+9=60). The total of a set is found from all regions inside its circle.
\(A\cup B\) में \(A\triangle B\) और \(A\cap B\) दोनों भाग होते हैं, इसलिए (137-96=41)। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / \(A\cup B\) contains both \(A\triangle B\) and \(A\cap B\), so (137-96=41). The symmetric difference excludes the common part.
(n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (104=170-2x) से (x=33)। ठीक एक और साझा भाग अलग रखें। / (n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (104=170-2x) gives (x=33). Keep exactly one and common parts separate.
क्योंकि (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (157+83=240) सही है। पूरक क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / Since (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), (157+83=240) is true. Complementary regions together form the whole (U).
साझा तत्व (6) के गुणज होंगे, यानी (6,12,18,24,30,36)। इसलिए संख्या (6) है। / The common elements are multiples of (6), namely (6,12,18,24,30,36). Hence the count is (6).
(6) के गुणज (12), (8) के गुणज (9) और (24) के गुणज (3) हैं, इसलिए (12+9-3=18)। साझा भाग के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiples of (6) are (12), multiples of (8) are (9), and multiples of (24) are (3), so (12+9-3=18). Use the LCM for the common part.
\((U={1,2,3,\ldots,90}), (A={x:x\) 2 से विभाज्य है\(}), (B={x:x\) 3 से विभाज्य है\(}) और (C={x:x\) 5 से विभाज्य है}) हैं। \((n(A\cap B\cap C)) कितना है\)?
तीनों में आने के लिए संख्या (30) से विभाज्य होगी, यानी (30,60,90)। इसलिए संख्या (3) है। / To be in all three sets, a number must be divisible by (30), namely (30,60,90). Hence the count is (3).
(12) से विभाज्य संख्या (3) और (4) दोनों से विभाज्य होती है, इसलिए \(C=A\cap B\)। वेन आरेख में (C) साझा भाग है। / A number divisible by (12) is divisible by both (3) and (4), so \(C=A\cap B\). In the Venn diagram, (C) is the common part.
A. इनसे (n\(A\cup B\cup C\)) निश्चित हो जाता है/These determine (n\(A\cup B\cup C\))
Explanation
Simple Explanation
केवल कुछ अंतर क्षेत्रों से पूरा संघ निश्चित नहीं होता क्योंकि कई साझा भाग अज्ञात रहते हैं। डेटा पर्याप्त है या नहीं, पहले जांचें। / A few difference regions alone do not determine the whole union because many common regions remain unknown. First check whether the data is sufficient.
(n\(A\cap B\)=56-19=37) है और (61-24=37) से पुष्टि होती है। दोनों तरफ से समान साझा भाग मिलना चाहिए। / (n\(A\cap B\)=56-19=37), and (61-24=37) confirms it. The same common part should be obtained from both sides.
(A) से साझा भाग (64-22=42), लेकिन (B) से (59-20=39) मिलता है। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / From (A), the common part is (64-22=42), but from (B), it is (59-20=39). Since these are not equal, the data are inconsistent.
एक सर्वे में (n(U)=260), (n(A)=118), (n(B)=104), (n(C)=92), (n\(A\cap B\)=48), (n\(B\cap C\)=41), (n\(C\cap A\)=37) और (n\(A\cap B\cap C\)=16) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (118+104+92-48-41-37+16=204) है, इसलिए कोई नहीं (260-204=56)। पहले तीन-समुच्चय संघ निकालें। / The union is (118+104+92-48-41-37+16=204), so none is (260-204=56). First find the three-set union.
तीन समुच्चयों में (n\(A\cup B\cup C\)=172), केवल (A=38), केवल (B=34), केवल (C=29), केवल \(A\cap B=21\), केवल \(B\cap C=18\) और केवल \(C\cap A=16\) हैं। (n\(A\cap B\cap C\)) कितना होगा?
ज्ञात छह अंदरूनी क्षेत्रों का योग (38+34+29+21+18+16=156) है, इसलिए केंद्रीय भाग (172-156=16)। संघ में सातों अंदरूनी क्षेत्र आते हैं। / The sum of the six known inside regions is (38+34+29+21+18+16=156), so the central part is (172-156=16). The union contains all seven inside regions.
संघ में ठीक एक, ठीक दो और तीनों वाले सभी भाग आते हैं। इसलिए (84+63+18=165)। / The union includes exactly one, exactly two, and all-three regions. Hence (84+63+18=165).
ठीक दो (156-74-17=65) हैं। संघ को ठीक एक, ठीक दो और तीनों में बांटकर हल करें। / Exactly two is (156-74-17=65). Solve by dividing the union into exactly one, exactly two, and all three.
कुल सदस्यता (96+88+82=266) है। यह ठीक एक \(+2\times69+3\times21\) के बराबर है, इसलिए ठीक एक (266-138-63=65)। / Total memberships are (96+88+82=266). This equals exactly one \(+2\times69+3\times21\), so exactly one is (266-138-63=65).
पहले (n(B-A)=128-45-32=51), फिर (n(B)=51+32=83)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों आते हैं। / First (n(B-A)=128-45-32=51), then (n(B)=51+32=83). (B) contains only (B) and the common part.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (190-143=47)। डी मॉर्गन नियम से बाहर का क्षेत्र पहचानें। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), so (190-143=47). Use De Morgan's law to identify the outside region.
डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए इसका मान (210-52=158) होना चाहिए। (170) मिलने से आंकड़े असंगत हैं। / By De Morgan's law, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so its value should be (210-52=158). Since (170) is given, the data are inconsistent.
\(A^c\) में (B-A) और बाहर का भाग आएगा, इसलिए (37+18=55)। (A) के बाहर के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A^c\) includes (B-A) and the outside region, so (37+18=55). Add all regions outside (A).
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (150-29=121)। साझा भाग का पूरक (U) से साझा भाग घटाकर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (150-29=121). The complement of the common part is found by subtracting it from (U).
तीन अंदरूनी भागों का योग (41+34+26=101) है, इसलिए बाहर (130-101=29)। चार क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (41+34+26=101), so outside is (130-101=29). The four regions together form the whole (U).
(A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), इसलिए इसका मान (52+39=91) होना चाहिए। (100) दिया है, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / (A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), so its value should be (52+39=91). Since (100) is given, the data are inconsistent.
पहले (n\(A\cap B\)=82+76-139=19)। फिर (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (190-19=171)। दिए गए विकल्पों में कोई भी सही नहीं है। / First (n\(A\cap B\)=82+76-139=19). Then (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (190-19=171). None of the given options is correct.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों होता है। इसलिए ठीक एक (205-83-24=98)। / The union equals exactly one plus exactly two plus all three. Therefore exactly one is (205-83-24=98).
संघ के भागों से (x+3x+24=120), इसलिए (4x=96) और (x=24)। अज्ञात क्षेत्र को समीकरण से हल करें। / From the union regions, (x+3x+24=120), so (4x=96) and (x=24). Solve unknown regions by forming an equation.
