Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले A ∪ B = {a, b, c, e, f, i} ज्ञात करें। अब इसका U के सापेक्ष पूरक लेने पर U में उपस्थित, लेकिन A ∪ B में अनुपस्थित अवयव मिलते हैं: {d, g}। विकल्प D गलत है क्योंकि f, A ∪ B में पहले से शामिल है। परीक्षा-युक्ति: (A ∪ B)' निकालने के लिए पहले संघ बनाकर उसे U से घटाएँ। / First, A ∪ B = {a, b, c, e, f, i}. Its complement relative to U contains the elements that are in U but not in A ∪ B, namely {d, g}. Option D is incorrect because f already belongs to A ∪ B. Exam tip: To find the complement of a union, form the union first and then remove its elements from the universal set.
\(|x+1|\ge 4\) से \(x+1\le -4\) या \(x+1\ge 4\), अतः \(A=(-\infty,-5]\cup[3,\infty)\) है। इसलिए \(\mathbb{R}\) में इसका पूरक \(A'=(-5,3)\) होगा। \(-5\) और \(3\) स्वयं \(A\) में शामिल हैं, इसलिए वे पूरक में शामिल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\ge r\) में हल सामान्यतः बाहरी अंतराल होते हैं, जबकि उसका पूरक आंतरिक खुला अंतराल होता है। / From \(|x+1|\ge 4\), we get \(x+1\le -4\) or \(x+1\ge 4\). Thus, \(A=(-\infty,-5]\cup[3,\infty)\). Its complement in \(\mathbb{R}\) is therefore \(A'=(-5,3)\). The endpoints \(-5\) and \(3\) are included in \(A\), so they cannot be included in its complement. Exam tip: For \(|x-a|\ge r\), the solution lies in the two outer intervals, and its complement is the open interval between the boundary points.
(B) की सम संख्याओं में से पूर्ण वर्ग (4) और (16) हटेंगे। इसलिए \(A'\cap B\) में बाकी सम संख्याएं आएंगी। / From the even numbers in (B), the perfect squares (4) and (16) are removed. Therefore \(A'\cap B\) contains the remaining even numbers.
(B) और (B') असंयुक्त होते हैं, इसलिए \(A\cap B\) और \(A\cap B'\) भी असंयुक्त हैं। दो असंयुक्त समान समुच्चय केवल \(\varnothing\) हो सकते हैं, इसलिए \(A=\varnothing\) आवश्यक है। / (B) and (B') are disjoint, so \(A\cap B\) and \(A\cap B'\) are also disjoint. Two equal disjoint sets must be \(\varnothing\), so \(A=\varnothing\) is necessary.
समावेशन-बहिष्करण से (n\(A\cup B\cup C\)=18+12+8-6-2-4+2=28) है। इसलिए पूरक (72-28=44) नहीं बल्कि (44) है। / By inclusion-exclusion, (n\(A\cup B\cup C\)=18+12+8-6-2-4+2=28). Therefore the complement is (72-28=44).
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B=[0,6]\), इसलिए पूरक (\(-\infty,0\)\cup\(6,\infty\)) है। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B=[0,6]\), the complement is (\(-\infty,0\)\cup\(6,\infty\)).
यदि (A) में अभाज्य नहीं संख्याएं हैं, तो (A') में अभाज्य संख्याएं होंगी। (36) तक अभाज्य संख्याएं (11) हैं। / If (A) contains non-prime numbers, then (A') contains prime numbers. There are (11) primes up to (36).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{x\in\mathbb{Z}\mid -5\le x\le 15\}\) तथा \(A=\{x\in U\mid x\equiv 2 \pmod{5}\}\) है, तो \(n(A')\) का मान क्या है? यहाँ \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है।
\(-5\) से \(15\) तक कुल \(15-(-5)+1=21\) पूर्णांक हैं, इसलिए \(n(U)=21\)। \(x\equiv 2 \pmod{5}\) वाले सदस्य \(-3,2,7,12\) हैं, अतः \(n(A)=4\)। पूरक समुच्चय के लिए \(n(A')=n(U)-n(A)=21-4=17\)। विकल्प 4 केवल \(A\) के सदस्यों की संख्या बताता है, पूरक की नहीं। परीक्षा टिप: परिमित समुच्चय में \(n(A')=n(U)-n(A)\) सूत्र का प्रयोग करें। / There are \(15-(-5)+1=21\) integers from \(-5\) to \(15\), so \(n(U)=21\). The integers satisfying \(x\equiv 2 \pmod{5}\) are \(-3,2,7,12\), hence \(n(A)=4\). Therefore, \(n(A')=n(U)-n(A)=21-4=17\). Option 4 gives the cardinality of \(A\), not its complement. Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
(n\(A'\cap B'\)=120+150-210=60) है। क्योंकि (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), इसलिए (n\(A\cup B\)=300-60=240) है। / (n\(A'\cap B'\)=120+150-210=60). Since (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), (n\(A\cup B\)=300-60=240).
\(A\) में सार्वत्रिक समुच्चय के वे सदस्य हैं जो 12 से छोटे या बराबर हैं, इसलिए \(A'=\{13,14,15,16,17,18,19,20\}\)। अब \(A'\cap B\) में इसी समुच्चय के केवल विषम सदस्य लिए जाएंगे, जो \(\{13,15,17,19\}\) हैं। विकल्प B में सम संख्याएं हैं और विकल्प D केवल \(A'\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय निकालें, फिर दिए गए समुच्चय से प्रतिच्छेद करें। / The set \(A\) contains all elements of the universal set that are less than or equal to 12, so \(A'=\{13,14,15,16,17,18,19,20\}\). Intersecting this with \(B\) retains only the odd elements, giving \(\{13,15,17,19\}\). Option B contains the even elements, while option D is just \(A'\), not its intersection with \(B\). Exam tip: find the complement first, then take the intersection with the other set.
