Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((x-1)(x+2)\ge 0) का हल \(x\le -2\) या \(x\ge 1\) है। इसलिए बीच के पूर्णांक (-1,0) पूरक में आते हैं। / The solution of ((x-1)(x+2)\ge 0) is \(x\le -2\) or \(x\ge 1\). Thus the middle integers (-1,0) are in the complement.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((A\cap B)'=A'\cup B'\)। अतः समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A'\cup B')=n(A')+n(B')-n(A'\cap B')=76+89-31=134\)। इसलिए सही उत्तर 134 है। परीक्षा-युक्ति: दो समुच्चयों के संघ की संख्या निकालते समय उनके प्रतिच्छेद की संख्या एक बार घटाना न भूलें। विकल्प 165 में प्रतिच्छेद 31 नहीं घटाया गया है। / By De Morgan’s law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\). Therefore, using the inclusion–exclusion formula, \(n(A'\cup B')=n(A')+n(B')-n(A'\cap B')=76+89-31=134\). Hence, the correct answer is 134. Exam tip: while finding the cardinality of the union of two sets, subtract their intersection once. Option 165 results from adding the two cardinalities without this subtraction.
U के सापेक्ष A का पूरक A′ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} है। इसलिए A′ ∩ B = {4, 5}। अब U के सापेक्ष {4, 5} का पूरक लेने पर {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10} प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल A′ ∩ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: nested complement वाले प्रश्नों में पहले अंदर के समुच्चय का मान निकालें और अंत में पूरक लें। / The complement of A with respect to U is A′ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Thus, A′ ∩ B = {4, 5}. Taking its complement in U gives {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}, so option A is correct. Option B is only A′ ∩ B, not its complement. Exam tip: in nested-complement questions, evaluate the inner expression first and take the final complement at the end.
सार्वत्रिक समुच्चय (U=mathbb{R}) के सापेक्ष (A=[1,infty)) का पूरक (A'=(-infty,1)) है, क्योंकि 1 इसमें शामिल है। इसी प्रकार, (B=(-infty,4)) का पूरक (B'=[4,infty)) है, क्योंकि 4, (B) में शामिल नहीं है। अतः \(A'\cup B'\)=(-infty,1)\cup[4,infty)। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय खुले सिरे बंद और बंद सिरे खुले हो जाते हैं। / With respect to the universal set (U=mathbb{R}), the complement of (A=[1,infty)) is (A'=(-infty,1)), since 1 is included in (A). The complement of (B=(-infty,4)) is (B'=[4,infty)), since 4 is not included in (B). Therefore, \(A'\cup B'\)=(-infty,1)\cup[4,infty). Exam tip: when taking a complement, open endpoints become closed and closed endpoints become open.
(9) से विभाज्य संख्याएं (9,18,27,36,45,54,63,72,81) हैं। इनमें वर्ग (9,36,81) हटेंगे, इसलिए (6) नहीं बल्कि (6) सदस्य बचते हैं। / Numbers divisible by (9) are (9,18,27,36,45,54,63,72,81). Removing squares (9,36,81) leaves (6) members.
(3) अभाज्य है, इसलिए वह (A') में नहीं होगा। बाकी (3) के गुणज (6,9,12,15,18) पूरक में हैं। / (3) is prime, so it is not in (A'). The remaining multiples (6,9,12,15,18) are in the complement.
समुच्चय \(U\) में 1 से 30 तक कुल 30 पूर्णांक हैं। \(A\) के सदस्य \(1,5,9,13,17,21,25,29\) हैं, इसलिए \(n(A)=8\)। चूँकि \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, \(n(A')=n(U)-n(A)=30-8=22\)। विकल्प 8 केवल \(A\) के सदस्यों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: परिमित सार्वत्रिक समुच्चय में \(n(A')=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / The universal set \(U\) contains the 30 integers from 1 through 30. The elements of \(A\) are \(1,5,9,13,17,21,25,29\), so \(n(A)=8\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) relative to \(U\), \(n(A')=n(U)-n(A)=30-8=22\). The value 8 counts the elements of \(A\), not its complement. Exam tip: for a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
समुच्चय और उसके पूरक का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है, अर्थात् \(A'\cup A=U\)। इसलिए दिए गए व्यंजक का मान \((A'\cup A)'=U'=\varnothing\) होगा। विकल्प \(U\) उस स्थिति में मिलता है जब \(\varnothing\) का पूरक लिया जाए, न कि यहाँ। परीक्षा में याद रखें: \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\varnothing\)। / The union of a set and its complement is the universal set: \(A'\cup A=U\). Hence, \((A'\cup A)'=U'=\varnothing\). The option \(U\) would be the result of taking the complement of the empty set, not of this expression. Exam tip: remember the complementary identities \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\varnothing\).
(A) में (4) के गुणज हैं और (B) में (8) के गुणज हैं। \(B'\cap A\) में (4) के वे गुणज आएंगे जो (8) के गुणज नहीं हैं। / (A) contains multiples of (4), and (B) contains multiples of (8). \(B'\cap A\) contains multiples of (4) that are not multiples of (8).
(A) में सभी वास्तविक संख्याएं हैं, पर (-2) और (5) नहीं हैं। इसलिए पूरक केवल ({-2,5}) है। / (A) contains all real numbers except (-2) and (5). Therefore the complement is only ({-2,5}).
