Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समुच्चय \(A\) में \(-3\) से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं और \(B\) में \(5\) तक की सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः \(A\cap B=(-3,5]\) होगा। \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष इसका पूरक उन संख्याओं का समुच्चय है जो \(-3\) से छोटी या बराबर हैं अथवा \(5\) से बड़ी हैं: \((A\cap B)'=(-\infty,-3]\cup(5,\infty)\)। विकल्प B में दोनों सिरों पर खुले और बंद चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय खुले सिरे को बंद तथा बंद सिरे को खुला कर दें। / Set \(A\) contains all real numbers greater than \(-3\), and \(B\) contains all real numbers less than or equal to \(5\). Therefore, \(A\cap B=(-3,5]\). Its complement with respect to \(\mathbb{R}\) consists of numbers less than or equal to \(-3\) or greater than \(5\): \((A\cap B)'=(-\infty,-3]\cup(5,\infty)\). Option B uses incorrect open and closed endpoints. Exam tip: while taking a complement, an open endpoint becomes closed and a closed endpoint becomes open.
\(A\cap B\) में (30) के गुणज होंगे, जो (90) तक (3) हैं। इसलिए पूरक में (90-3=87) सदस्य हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (30), and there are (3) up to (90). So the complement has (90-3=87) elements.
(A') में (1,4,7,10) नहीं होंगे। दिए गए समुच्चय में से (4) और (10) हटाने पर ({2,6,8,12}) बचता है। / (A') does not contain (1,4,7,10). Removing (4) and (10) from the given set leaves ({2,6,8,12}).
\(A \subseteq B\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B\) में है। इसलिए जो अवयव \(B\) में नहीं हैं, वे \(A\) में भी नहीं होंगे; अतः \(B' \subseteq A'\)। विकल्प A में समावेशन की दिशा उलटी है। परीक्षा टिप: पूरक लेने पर समुच्चयों का समावेशन उलट जाता है। / \(A \subseteq B\) means every element of \(A\) lies in \(B\). Hence, an element outside \(B\) must also be outside \(A\), so \(B' \subseteq A'\). Option A reverses the inclusion. Exam tip: taking complements reverses set inclusion.
समीकरण से \(A=\{4,5\}\) है। (5) से छोटे सदस्य (0,1,2,3,4) हैं, इनमें (4) हटेगा, इसलिए (4) नहीं बल्कि (4) सदस्य बचते हैं। / The equation gives \(A=\{4,5\}\). Elements less than (5) are (0,1,2,3,4), and (4) is removed, so (4) elements remain.
समुच्चय \(A\) में 100 तक 8 के गुणज हैं। इनकी संख्या \(\left\lfloor\frac{100}{8}\right\rfloor=12\) है। चूँकि \(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष पूरक है, इसलिए \(n(A')=n(U)-n(A)=100-12=88\)। ध्यान रखें कि पूरक की गणना हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में की जाती है। / Set \(A\) contains the multiples of 8 up to 100. Their number is \(\left\lfloor\frac{100}{8}\right\rfloor=12\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\), \(n(A')=n(U)-n(A)=100-12=88\). Exam tip: calculate a complement relative to the stated universal set, not relative to all integers.
\(|x-2|<5\) से \(-5<x-2<5\), अर्थात \(-3<x<7\), इसलिए \(A=(-3,7)\) है। चूँकि पूरक \(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिया गया है, खुले अंतराल के दोनों सीमा-बिंदु \(-3\) और \(7\) पूरक में शामिल होंगे: \(A'=(-\infty,-3]\cup[7,\infty)\)। ध्यान रखें कि खुले समुच्चय का पूरक सामान्यतः बंद सिरों वाला होता है। / From \(|x-2|<5\), we get \(-5<x-2<5\), hence \(-3<x<7\), so \(A=(-3,7)\). Since the complement is taken relative to \(U=\mathbb{R}\), the boundary points \(-3\) and \(7\) are included in the complement: \(A'=(-\infty,-3]\cup[7,\infty)\). Exam tip: the complement of an open interval in \(\mathbb{R}\) has closed endpoints.
A. (U) में सम संख्याओं का समुच्चय/The set of even numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में सम नहीं यानी विषम संख्याएं हैं। इसलिए (A') में (U) की सम संख्याएं होंगी। / (A) contains numbers that are not even, meaning odd numbers. Therefore (A') contains the even numbers of (U).
\(A'\cap B\) का अर्थ (3) के वे गुणज हैं जो सम नहीं हैं। (36) तक (3) के (12) गुणज हैं, उनमें (6) सम हैं, इसलिए (6) बचते हैं। / \(A'\cap B\) means multiples of (3) that are not even. Up to (36), there are (12) multiples of (3), (6) of them are even, so (6) remain.
यदि दो समुच्चय मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग हैं, तो वे एक-दूसरे के पूरक होते हैं। इसलिए (B=A') है। / If two sets together form (U) and are disjoint, they are complements of each other. Hence (B=A').
