Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में 1 से 32 तक कुल 32 संख्याएँ हैं। इनमें 16 सम और 16 विषम संख्याएँ हैं। चूँकि \(A\) में सम संख्याएँ हैं, इसलिए उसके पूरक \(A'\) में 16 विषम संख्याएँ होंगी। अतः \(n(A'\times A')=n(A')\times n(A')=16\times16=256\)। याद रखें: यदि किसी समुच्चय में \(m\) अवयव हों, तो उसके कार्तीय वर्ग में \(m^2\) क्रमित युग्म होते हैं। / The universal set \(U\) contains 32 numbers, of which 16 are even and 16 are odd. Since \(A\) contains the even numbers, its complement \(A'\) contains the 16 odd numbers. Therefore, \(n(A'\times A')=n(A')\times n(A')=16\times16=256\). Exam tip: if a set has \(m\) elements, its Cartesian square contains \(m^2\) ordered pairs.
(45) तक (3) के (15) गुणज हैं। इनमें (9) के (5) गुणज (A) में हैं, इसलिए (15-5=10) बचते हैं। / There are (15) multiples of (3) up to (45). Among them (5) multiples of (9) are in (A), so (15-5=10) remain.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A\cup B\) के पूरक में वे तत्व होते हैं जो न \(A\) में हैं, न \(B\) में; अतः \((A\cup B)'=A'\cap B'\)। विकल्प A में प्रतिच्छेद के पूरक का नियम गलत लगाया गया है। परीक्षा टिप: संघ और प्रतिच्छेद बदलते हैं। / By De Morgan’s law, an element outside \(A\cup B\) belongs to neither \(A\) nor \(B\), so it must lie in both \(A'\) and \(B'\). Hence \((A\cup B)'=A'\cap B'\). Option A uses the wrong operation. Exam tip: complement swaps union and intersection.
(4) से विभाज्य सभी सदस्य (A') में दिए गए हैं। इसलिए (A) में (4) से विभाज्य कोई सदस्य नहीं है। / All elements divisible by (4) are listed in (A'). Therefore (A) has no element divisible by (4).
एक ही सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष पूरक लेने की क्रिया एक-एक होती है। \(A'=B'\) के दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \(A=B\) मिलता है। \(A\cup B=U\) आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: पूरक हमेशा उसी \(U\) के सापेक्ष लें। / Taking complements with respect to the same universal set \(U\) is a one-to-one operation. Taking complements on both sides of \(A'=B'\) gives \(A=B\). The condition \(A\cup B=U\) is not necessary. Exam tip: always identify the universal set before using complement laws.
(B) में (9,18,27,36,45,54) हैं। इनमें (18,36,54) (6) से विभाज्य हैं, इसलिए \(A'\cap B\) में (9,27,45) यानी (3) सदस्य हैं। / (B) contains (9,18,27,36,45,54). Among them (18,36,54) are divisible by (6), so \(A'\cap B\) has (9,27,45), that is (3) elements.
समीकरण \(x^2=4\) के वास्तविक हल \(x=-2\) और \(x=2\) हैं, इसलिए \(A=\{-2,2\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष पूरक \(A'=U\setminus A=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\) होगा। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए समीकरण से समुच्चय \(A\) ज्ञात करें, फिर सार्वत्रिक समुच्चय में से उसके अवयव हटाएँ। / The real solutions of \(x^2=4\) are \(x=-2\) and \(x=2\), so \(A=\{-2,2\}\). With respect to the universal set \(\mathbb{R}\), its complement is \(A'=U\setminus A=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: first find the elements of the given set, then remove them from the universal set.
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। इसलिए (\(A'\cap B'\)'=A\cup B), जिसकी संख्या (50) है। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Hence (\(A'\cap B'\)'=A\cup B), whose cardinality is (50).
A. ({1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22})
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\) में सम पूर्ण वर्ग (4) और (16) हैं। इन्हें (U) से हटाने पर पूरक मिलता है। / \(A\cap B\) contains even perfect squares (4) and (16). Removing them from (U) gives the complement.
(A) में (3) के (27) गुणज हैं और (B) में (27) के (3) गुणज हैं। इसलिए \(B'\cap A\) में (27-3=24) सदस्य हैं। / (A) has (27) multiples of (3), and (B) has (3) multiples of (27). Hence \(B'\cap A\) has (27-3=24) elements.
