Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पूरक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिए जाते हैं। इसलिए \(A'=\{0\}\) और \(B'=\{1\}\)। अतः \(A'\cup B'=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}\)। परीक्षा-युक्ति: जो अवयव किसी समुच्चय में नहीं होते, वे उसके पूरक में होते हैं। / Complements are taken relative to the universal set \(U=\mathbb{R}\). Since \(A\) excludes only 0, \(A'=\{0\}\); similarly, \(B'=\{1\}\). Therefore, \(A'\cup B'=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}\). Exam tip: identify the elements excluded from each set before finding its complement.
\(B\) में U की सभी विषम संख्याएँ हैं, इसलिए उसके पूरक \(B'\) में U की सभी सम संख्याएँ होंगी। \(A\) में 5 के गुणज \(\{5,10,15,20,25,30,35\}\) हैं। इन दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ सदस्य \(10,20,30\) हैं, अतः \(B'\cap A=\{10,20,30\}\)। विकल्प C केवल \(A\) है और उसमें विषम गुणज भी शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) की सीमा अवश्य ध्यान में रखें। / The set \(B\) contains all odd elements of \(U\), so its complement \(B'\) contains all even elements of \(U\). The multiples of 5 in \(A\) are \(\{5,10,15,20,25,30,35\}\). The common elements of \(B'\) and \(A\) are therefore \(10,20,30\), so \(B'\cap A=\{10,20,30\}\). Option C is just \(A\) and incorrectly includes the odd multiples of 5. Exam tip: Always take a complement with respect to the given universal set \(U\).
पहले A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16} प्राप्त होता है। U के वे अवयव जो इस संघ में नहीं हैं, अर्थात {5, 7, 10, 11, 13, 14}, उसका पूरक बनाते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B स्वयं A ∪ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में से संबंधित समुच्चय के अवयव हटाएँ। / First, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16}. The elements of U that are not in this union are {5, 7, 10, 11, 13, 14}, so this is the complement of A ∪ B. Hence, option A is correct. Option B is the union itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove the elements of the given set from the specified universal set.
\(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष \(A=(-\infty,2]\) का पूरक \(A'=(2,\infty)\) होगा, क्योंकि 2 समुच्चय \(A\) में शामिल है। इसी प्रकार \(B=[-1,\infty)\) का पूरक \(B'=(-\infty,-1)\) है, क्योंकि −1 समुच्चय \(B\) में शामिल है। कोई वास्तविक संख्या एक साथ 2 से बड़ी और −1 से छोटी नहीं हो सकती, इसलिए \(A'\cap B'=\varnothing\) है। विकल्प \((2,\infty)\) केवल \(A'\) है, उनका प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय अंतराल के सिरों पर खुले और बंद कोष्ठकों को ध्यान से बदलें। / With respect to \(U=\mathbb{R}\), the complement of \(A=(-\infty,2]\) is \(A'=(2,\infty)\), since 2 belongs to \(A\). Similarly, the complement of \(B=[-1,\infty)\) is \(B'=(-\infty,-1)\), since −1 belongs to \(B\). No real number can be both greater than 2 and less than −1, so \(A'\cap B'=\varnothing\). The option \((2,\infty)\) represents only \(A'\), not the intersection. Exam tip: While taking complements of intervals, check endpoint inclusion carefully.
(A) में (3) के गुणज हैं और (B) में (9) के गुणज हैं। इसलिए \(A\cap B'\) में (3) के वे गुणज हैं जो (9) के गुणज नहीं हैं। / (A) contains multiples of (3) and (B) contains multiples of (9). Thus \(A\cap B'\) contains multiples of (3) that are not multiples of (9).
(A) का कोई सदस्य (B') में नहीं है, इसलिए (A) का हर सदस्य (B) में होगा। अतः \(A\subseteq B\) है। / No element of (A) is in (B'), so every element of (A) must be in (B). Hence \(A\subseteq B\).
(7) के गुणज (7,14,21,28,35,42,49) हैं। इनमें केवल (49) पूर्ण वर्ग है, इसलिए (6) नहीं बल्कि (6) सदस्य (A') में हैं। / The multiples of (7) are (7,14,21,28,35,42,49). Only (49) is a perfect square, so (6) elements are in (A').
समुच्चय \(A\) में \(3\) शामिल नहीं है क्योंकि शर्त \(x<3\) है, इसलिए \(3\) उसके पूरक में शामिल होगा। दूसरी ओर, \(8\) समुच्चय \(A\) में शामिल है क्योंकि \(x\ge 8\), इसलिए \(8\) पूरक में शामिल नहीं होगा। अतः \(A'=\{x\in\mathbb{R}\mid 3\le x<8\}=[3,8)\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय असमिकाओं को उलटकर सीमा-बिंदुओं की समावेशिता अवश्य जाँचें। / The number \(3\) is not in \(A\), because the condition is \(x<3\); hence \(3\) belongs to the complement. The number \(8\) is in \(A\), because \(x\ge 8\); hence \(8\) is excluded from the complement. Therefore, \(A'=\{x\in\mathbb{R}\mid 3\le x<8\}=[3,8)\). Exam tip: when finding a complement, reverse the inequality conditions and carefully check whether each endpoint is included.
\(A'\cap B'\) वे संख्याएं हैं जो (2) और (3) दोनों से विभाज्य नहीं हैं। (2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (40) हैं, इसलिए पूरक (20) है। / \(A'\cap B'\) contains numbers divisible by neither (2) nor (3). Numbers divisible by (2) or (3) are (40), so the complement is (20).
\(A=\{3,4,5,6,7,8\}\) और \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\) हैं। इसलिए \(A'\cup B'\) में (3,4,5) को छोड़कर सभी सदस्य हैं। / \(A=\{3,4,5,6,7,8\}\) and \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\). Thus \(A'\cup B'\) contains all elements except (3,4,5).
