Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\cup B\) को वास्तविक रेखा से हटाने पर तीन भाग बचते हैं। सिरों की खुली-बंद स्थिति ध्यान से देखें। / Removing \(A\cup B\) from the real line leaves three parts. Watch the open and closed endpoints carefully.
विषम संख्याओं में से वर्ग संख्याएं (1) और (9) हटेंगी। इसलिए \(A'\cap B={3,5,7,11,13,15}\) है। / From the odd numbers, the square numbers (1) and (9) are removed. Hence \(A'\cap B={3,5,7,11,13,15}\).
D. ऐसा कोई समुच्चय A नहीं हो सकता/No such set A can exist
Explanation
Simple Explanation
पूरक \(A'\) में वे अवयव होते हैं जो A में नहीं हैं। यदि \(A=A'\) हो, तो कोई अवयव एक साथ A में और A के बाहर होगा, जो असंभव है। परीक्षा टिप: \(A\cap A'=\varnothing\) सदैव याद रखें। / The complement \(A'\) contains elements not in A. If \(A=A'\), an element would have to be both in A and outside A, which is impossible. Exam tip: always use \(A\cap A'=\varnothing\).
(25) तक अभाज्य संख्याएं (9) हैं और उनमें (5) को हटाना होगा। (A') में (5) के गुणज नहीं आते, इसलिए (7) अभाज्य बचते हैं। / There are (9) primes up to (25), and (5) must be removed. Multiples of (5) are not in (A'), so (7) primes remain.
संबंध \(A\cap B'=A\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B'\) में भी है। इसलिए \(A\subseteq B'\) अवश्य सत्य है। इससे \(B\subseteq A\), \(A=B\) या \(A\cup B=U\) निष्कर्षित नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: \(A\cap X=A\) से हमेशा \(A\subseteq X\) निष्कर्ष निकालें। / The relation \(A\cap B'=A\) means that every element of \(A\) also belongs to \(B'\). Therefore, \(A\subseteq B'\) must be true. It does not imply \(B\subseteq A\), \(A=B\), or \(A\cup B=U\). Exam tip: from \(A\cap X=A\), immediately infer \(A\subseteq X\).
(A-B) में वे सम संख्याएं हैं जो (7) से विभाज्य नहीं हैं, उनकी संख्या (35-5=30) है। इसलिए पूरक (70-30=40) है। / (A-B) contains even numbers not divisible by (7), and their count is (35-5=30). Therefore the complement has (70-30=40) elements.
\(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\) है। यह गुणनफल \(x<2\) या \(x>4\) के लिए धनात्मक होता है, अतः \(A=(-\infty,2)\cup(4,\infty)\) है। सार्वत्रिक समुच्चय \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष इसका पूरक \(A'=[2,4]\) होगा। विकल्प \((2,4)\) में 2 और 4 छूट जाते हैं, जबकि इन दोनों पर मूल व्यंजक 0 है और \(>0\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: सख्त असमिका \(>\) या \(<\) में मूल बिंदु हल-समुच्चय में नहीं आते, पर पूरक में आ सकते हैं। / \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\). The product is positive when \(x<2\) or \(x>4\), so \(A=(-\infty,2)\cup(4,\infty)\). Its complement with respect to \(\mathbb{R}\) is therefore \(A'=[2,4]\). The option \((2,4)\) incorrectly excludes 2 and 4: at both points the expression equals 0, so neither point belongs to the set defined by \(>0\). Exam tip: for a strict inequality, check the zeroes separately when writing the complement.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cup B'=(A\cap B)'\)। यहाँ \(A\cap B=\{6,12,18\}\), क्योंकि यही वे तत्व हैं जो दोनों समुच्चयों में समान हैं। अतः \(U\) से 6, 12 और 18 को हटाने पर \(A'\cup B'=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17\}\) मिलता है। विकल्प C केवल \(A'\cap B'\) को दर्शाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूरकों के संघ या प्रतिच्छेद वाले प्रश्नों में पहले डी मॉर्गन का नियम लगाएँ। / By De Morgan’s law, \(A'\cup B'=(A\cap B)'\). Here, \(A\cap B=\{6,12,18\}\), since these are the elements common to both sets. Therefore, removing 6, 12, and 18 from \(U\) gives \(A'\cup B'=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17\}\). Option C represents \(A'\cap B'\), not the required union, so it is incorrect. Exam tip: Apply De Morgan’s law first whenever complements and unions or intersections appear together.
\(A'\cap B'\) का अर्थ विषम और वर्ग नहीं संख्याएं हैं। (40) तक (20) विषम संख्याओं में (1,9,25) वर्ग हैं, इसलिए (17) बचते हैं। / \(A'\cap B'\) means odd and non-square numbers. Among (20) odd numbers up to (40), (1,9,25) are squares, so (17) remain.
A' में U के वे तत्व हैं जो A में नहीं हैं। इसलिए A = U − A' = {p, r, t, v}। अब B = {p, q, t, v} के साथ समान तत्व लेने पर A ∩ B = {p, t, v} मिलता है। विकल्प C केवल B को दर्शाता है और उसमें q शामिल है, जबकि q ∉ A। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय से मूल समुच्चय निकालें, फिर प्रतिच्छेद में केवल समान तत्व रखें। / A' contains the elements of U that are not in A. Hence, A = U − A' = {p, r, t, v}. The elements common to A and B = {p, q, t, v} are p, t, and v, so A ∩ B = {p, t, v}. Option C is just B and incorrectly includes q, which is not in A. Exam tip: First find the original set from its complement, then retain only the common elements for an intersection.
