Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (A) में अभाज्य नहीं संख्याएं हैं, तो (A') में अभाज्य संख्याएं होंगी। (1) अभाज्य नहीं है। / If (A) contains non-prime numbers, then (A') contains prime numbers. Remember that (1) is not prime.
\(A \cup B=U\) का अर्थ है कि \(U\) का प्रत्येक अवयव या तो \(A\) में है या \(B\) में। इसलिए जो अवयव \(A\) में नहीं हैं, वे अनिवार्य रूप से \(B\) में होंगे; अतः \(A' \subseteq B\)। समानता आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(B\) में ऐसे अवयव भी हो सकते हैं जो \(A\) में हों। इसलिए विकल्प C निश्चित रूप से सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(A \cup B=U\) से पूरक लेने पर \(A' \cap B'=\varnothing\) मिलता है, जिससे सीधे \(A' \subseteq B\) निष्कर्षित किया जा सकता है। / The condition \(A \cup B=U\) means that every element of \(U\) belongs to at least one of \(A\) or \(B\). Hence, every element not in \(A\) must belong to \(B\), giving \(A' \subseteq B\). Equality is not necessary because \(B\) may also contain elements that are already in \(A\), so option C is not always true. Exam tip: Taking complements in \(A \cup B=U\) gives \(A' \cap B'=\varnothing\), which is equivalent to \(A' \subseteq B\).
किसी भी समुच्चय का अपने पूरक के साथ संघ पूरा (U) देता है। यह पूरक की मूल पहचान है। / The union of any set with its complement gives the whole (U). This is the basic identity of complement.
पूरक में केवल (U) के वे अक्षर आएंगे जो (A) में नहीं हैं। (f) को नहीं जोड़ना क्योंकि \(f \notin U\) है। / The complement contains only those letters of (U) that are not in (A). Do not add (f) because \(f \notin U\).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,30\}\) है और \(A=\{x:x\in U\text{ तथा }x\text{ का अंतिम अंक }0\text{ या }5\text{ है}\}\), तो \(n(A')\) का मान क्या है?
समुच्चय \(A\) में अंतिम अंक 0 या 5 वाले सदस्य \(\{5,10,15,20,25,30\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=6\)। चूँकि \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, अतः \(n(A')=n(U)-n(A)=30-6=24\)। परीक्षा में पूरक समुच्चय की संख्या निकालने के लिए सूत्र \(n(A')=n(U)-n(A)\) याद रखें। / The elements of \(A\) whose last digit is 0 or 5 are \(\{5,10,15,20,25,30\}\), so \(n(A)=6\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) in \(U\), \(n(A')=n(U)-n(A)=30-6=24\). Exam tip: for a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
सार्वत्रिक समुच्चय (U) का पूरक \(\varnothing\) होता है। इसलिए \(A \cap U' = A \cap \varnothing=\varnothing\) है। / The complement of the universal set (U) is \(\varnothing\). Hence \(A \cap U' = A \cap \varnothing=\varnothing\).
यदि A, B का उपसमुच्चय है, तो A के प्रत्येक अवयव B में भी होंगे। अतः जो अवयव B में नहीं हैं, वे निश्चित रूप से A में भी नहीं होंगे; इसलिए B' ⊆ A'। निकट विकल्प B में समावेशन की दिशा उलट गई है। परीक्षा टिप: पूरक लेने पर उपसमुच्चय का चिह्न उलटता है। / If A ⊆ B, every element of A lies in B. Hence, any element outside B must also be outside A, so B' ⊆ A'. Option B reverses this inclusion. Exam tip: taking complements reverses the subset relation.
\(A \cup B\) में (1) से (8) और (14) से (20) तक के सदस्य हैं। बीच के (9) से (13) तक पूरक में बचते हैं। / \(A \cup B\) contains elements from (1) to (8) and from (14) to (20). The middle elements from (9) to (13) remain in the complement.
(U) में (21) पूर्णांक हैं और \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) में (7) सदस्य हैं। अतः (n(A')=21-7=14) है। / There are (21) integers in (U), and \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) has (7) elements. Thus (n(A')=21-7=14).
हर (12) का गुणज (6) का भी गुणज होता है, इसलिए वह (A) में होगा। अतः (A') में (12) का कोई गुणज नहीं होगा। / Every multiple of (12) is also a multiple of (6), so it lies in (A). Hence no multiple of (12) lies in (A').
