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\(A \cap B\) में (12) के गुणज होंगे, जो (100) तक (8) हैं। इसलिए पूरक में (100-8=92) सदस्य हैं। / \(A \cap B\) contains multiples of (12), and there are (8) up to (100). So the complement has (100-8=92) elements.
A. समुच्चय \(U\) के वे सभी सदस्य जो \(A\) में नहीं हैं/All elements of \(U\) that are not in \(A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है और इसे \(U\setminus A\) से लिखा जाता है। इसलिए इसमें \(U\) के वे सदस्य होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(A\) के सदस्य सामान्यतः \(U\) के सदस्य होते हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक के लिए \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\varnothing\) दोनों शर्तें याद रखें। / \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\), and it is written as \(U\setminus A\). Thus, it contains every element of \(U\) that does not belong to \(A\). Option B is incorrect because the elements of \(A\) generally belong to \(U\). Exam tip: For a complement, remember both conditions \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\varnothing\).
(25) तक वर्ग संख्याएं (1,4,9,16,25) हैं, इसलिए (n(A)=5) है। पूरक में (25-5=20) सदस्य होंगे। / The square numbers up to (25) are (1,4,9,16,25), so (n(A)=5). The complement has (25-5=20) elements.
समुच्चय के द्वि-पूरक नियम के अनुसार \((A')'=A\) होता है। यहाँ \(A' = \{2,4,6,8,10\}\) है, और इसका फिर से पूरक लेने पर मूल समुच्चय \(A=\{1,3,5,7,9\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(A'\) है, जबकि प्रश्न में उसका भी पूरक पूछा गया है। परीक्षा-युक्ति: दो बार पूरक लेने पर सदैव मूल समुच्चय वापस मिलता है। / By the double-complement law, \((A')'=A\). Here, \(A'=\{2,4,6,8,10\}\), and taking the complement once more gives the original set \(A=\{1,3,5,7,9\}\). Option B is only \(A'\), whereas the question asks for its complement as well. Exam tip: the complement of the complement of any set is the set itself.
संघ का पूरक पूरकों के प्रतिच्छेद के बराबर होता है। यह डी मॉर्गन नियम का सीधा प्रयोग है। / The complement of a union equals the intersection of the complements. This is a direct use of De Morgan's law.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार संघ का पूरक, दोनों पूरकों के प्रतिच्छेद के बराबर होता है: \((A \cup B)' = A' \cap B'\)। विकल्प A में प्रतिच्छेद के लिए गलत नियम है; उसका पूरक \(A' \cup B'\) होता है। परीक्षा में डी मॉर्गन के दोनों नियम साथ याद रखें। / By De Morgan’s law, the complement of a union equals the intersection of the complements: \((A \cup B)' = A' \cap B'\). Option A uses the wrong rule; the complement of an intersection is \(A' \cup B'\). Exam tip: memorise both De Morgan laws as a pair.
(-2) समुच्चय (A) में है इसलिए पूरक में नहीं आएगा, पर (4) (A) में नहीं है इसलिए पूरक में आएगा। / (-2) is in (A), so it is not in the complement, while (4) is not in (A), so it is in the complement.
क्योंकि (A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं, (n(A)=120-47=73)। पूरक में दिए गए आंकड़े को सीधे घटाएं। / Since (A) and (A') together form (U), (n(A)=120-47=73). Subtract the given complement count directly.
यदि (B) का कोई सदस्य (A) में नहीं है, तो हर सदस्य (A') में होगा। इसलिए \(B \subseteq A'\) अवश्य सत्य है। / If no element of (B) lies in (A), every element of (B) lies in (A'). Hence \(B \subseteq A'\) must be true.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,24\}\) है, \(A=\{x:x\in U\text{ तथा }x\text{ सम है}\}\) और \(B=\{x:x\in U\text{ तथा }x\text{ विषम है}\}\) है, तो \(A'\) और \(B\) के बीच क्या संबंध है?
समुच्चय \(A\) में \(U\) की सभी सम संख्याएँ हैं। \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक \(A'\) उन सभी तत्वों का समुच्चय होगा जो \(U\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं, अर्थात् सभी विषम संख्याएँ। यही समुच्चय \(B\) है, इसलिए \(A'=B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय बराबर हैं, केवल उचित उपसमुच्चय नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष बचे हुए तत्व लिखें। / Set \(A\) contains all even numbers in \(U\). Its complement relative to \(U\), denoted by \(A'\), contains the elements of \(U\) that are not in \(A\), namely all the odd numbers. This is exactly set \(B\), so \(A'=B\). Option B is incorrect because the two sets are equal, not merely a proper subset. Exam tip: Find a complement relative to the stated universal set, not relative to all integers.
