Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
तर्क: \(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है। किसी भी तत्व \(x\) के लिए यदि \(x\in B^c\) (यानी \(x\notin B\)), तो निश्चित रूप से \(x\notin A\) भी होगा; अतः \(x\in A^c\)। इसलिए हर \(B^c\) का तत्व \(A^c\) में है यानी \(B^c\subseteq A^c\)। गलत विकल्पों के बारे में: विकल्प B उल्टा Inclusion दर्शाता है और सामान्यतः गलत है (सिर्फ तब सही होगा जब \(A=B\))। विकल्प C तभी सही होगा जब \(A=B\)। विकल्प D तब ही सही हो सकता है जब \(A\cup B\) सार्वभौमिक सेट हो; यह सामान्य स्थिति नहीं है। परीक्षा सुझाव: तत्व-आधारित तर्क (element-wise) या वेन-आकृति से पूरक संबंध को जल्दी सत्यापित करें। / Reason: From \(A\subseteq B\) every element of \(A\) is in \(B\). If \(x\in B^c\) (so \(x\notin B\)), then certainly \(x\notin A\), hence \(x\in A^c\). Thus every element of \(B^c\) lies in \(A^c\), i.e. \(B^c\subseteq A^c\). About the distractors: option B reverses the inclusion and is false in general (true only if \(A=B\)); option C holds only when \(A=B\); option D asserts an empty intersection of complements which would mean \(A\cup B\) is the universal set — not generally true. Exam tip: Use element-wise proof or a Venn diagram; complements reverse subset relations.
\(A\cap B\) में जो 14 तत्व हैं, उनमें से 6 तत्व सभी तीनों सेटों \(A, B, C\) में भी होते हैं (यानी \(A\cap B\cap C\))। "केवल \(A\cap B\)" का मतलब है \(A\cap B\) में हों पर \(C\) में न हों। इसलिए केवल \(A\cap B\) के तत्व = \(14-6=8\)। विकल्प B (14) त्रि-प्रतिच्छेद को भी गिना हुआ कुल है; विकल्प D (6) केवल तीनों में साझा तत्व हैं। परीक्षा टिप: "केवल" देखते ही उन तत्वों को तीसरे सेट से घटा दें। / The 14 elements in \(A\cap B\) include the 6 elements that lie in all three sets (\(A\cap B\cap C\)). "Only in \(A\cap B\)" means in \(A\cap B\) but not in \(C\). So the count is \(14-6=8\). Option B (14) counts the triple-overlap as well; option D (6) counts only the elements common to all three. Exam tip: when a question asks for "only" elements in the intersection of two sets, subtract any elements that are also in the third set.
(A') में (U) के वे सदस्य आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में (1) को अभाज्य न मानें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). In exams remember that (1) is not prime.
समुच्चय \(U\) में 48 संख्याएँ हैं। \(A\) में 4 के 12 गुणज और \(B\) में 6 के 8 गुणज हैं। दोनों में समान संख्याएँ 12 के गुणज हैं, जिनकी संख्या 4 है। अतः समावेश-बहिष्करण सिद्धांत से \(n(A\cup B)=12+8-4=16\)। इसलिए \(n((A\cup B)')=48-16=32\)। विकल्प 16 केवल \(A\cup B\) की cardinality है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा-सूत्र: \(n(S')=n(U)-n(S)\)। / The universal set \(U\) contains 48 natural numbers. Set \(A\) has 12 multiples of 4, and set \(B\) has 8 multiples of 6. Their common elements are the multiples of 12, of which there are 4. By inclusion–exclusion, \(n(A\cup B)=12+8-4=16\). Therefore, \(n((A\cup B)')=48-16=32\). The value 16 represents the cardinality of \(A\cup B\), not its complement. Exam tip: use \(n(S')=n(U)-n(S)\).
समुच्चय A के लिए शर्त \(x^2<10\) है, अर्थात \(-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\)। चूँकि \(3<\sqrt{10}<4\) और x पूर्णांक है, इसलिए \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय U में -5 से 5 तक के सभी पूर्णांक हैं; अतः A में न आने वाले तत्व \(A'=U\setminus A=\{-5,-4,4,5\}\) हैं। परीक्षा-युक्ति: पूर्णांकों में \(x^2<10\) को जाँचते समय \(|x|\le3\) लें, जबकि \(|x|=4\) पर \(x^2=16\) हो जाता है। / For set A, the condition \(x^2<10\) is equivalent to \(-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\). Since \(3<\sqrt{10}<4\) and x is an integer, \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). The universal set U contains all integers from -5 to 5, so the elements of U not in A are \(A'=U\setminus A=\{-5,-4,4,5\}\). Exam tip: for integer x, \(x^2<10\) gives \(|x|\le3\); the next integers, \(\pm4\), have square 16 and are excluded from A.
\(x^2-2x-15\le 0\) से \(-3\le x\le 5\) मिलता है, इसलिए (A) में (9) पूर्णांक हैं। (U) में (17) सदस्य हैं, पर यहां पूरक (8) नहीं बल्कि (-8) से (-4) और (6) से (8) मिलाकर (8) होना चाहिए। / The inequality \(x^2-2x-15\le 0\) gives \(-3\le x\le 5\), so (A) has (9) integers. Since (U) has (17) elements, the complement has (17-9=8) elements.
(-2) समुच्चय (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में आएगा। (3) और (7) (A) में हैं, इसलिए पूरक में (3) नहीं और (7) के बाद के मान आएंगे। / The point (-2) is not in (A), so it is included in the complement. The points (3) and (7) are in (A), so (3) is excluded and values after (7) are included.
यदि \(A=A'\) हो, तो U का प्रत्येक अवयव एक साथ A में और A में नहीं होना चाहिए, जो असंभव है। अतः U में कोई अवयव नहीं हो सकता, इसलिए \(U=\varnothing\)। परीक्षा टिप: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लें। / If \(A=A'\), every element of U would have to belong to A and not belong to A at the same time, which is impossible. Hence U has no elements, so \(U=\varnothing\). Exam tip: always take a complement relative to the stated universal set.
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A'\cap B\) में वे सभी अवयव होंगे जो \(B\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं। अतः \(A'\cap B=B-A\), इसलिए \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=54-31=23\)। विकल्प 36, \(n(U)-n(B)\) है, जो \(B'\) की संख्या बताता है, न कि \(A'\cap B\) की। परीक्षा-युक्ति: जब \(A\subseteq B\) हो, तो \(n(B-A)=n(B)-n(A)\) सीधे लागू करें। / Since \(A\subseteq B\), the set \(A'\cap B\) contains the elements that are in \(B\) but not in \(A\). Thus, \(A'\cap B=B-A\), and \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=54-31=23\). Option 36 represents \(n(U)-n(B)\), which is the cardinality of \(B'\), not \(A'\cap B\). Exam tip: whenever \(A\subseteq B\), use \(n(B-A)=n(B)-n(A)\) directly.
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (20) हैं, इसलिए पूरक में (30-20=10) सदस्य हैं। समावेशन-बहिष्करण जल्दी लगाएं। / There are (20) numbers divisible by (2) or (3), so the complement has (30-20=10) elements. Use inclusion-exclusion quickly.
