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(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है और (B) अभाज्य संख्याओं का। इसलिए \(A'\cap B\) में (2) को छोड़कर सभी विषम अभाज्य आएंगे। / (A') is the set of odd numbers and (B) is the set of primes. Thus \(A'\cap B\) contains all odd primes except (2).
U के सापेक्ष A′ = {b, d, f} और B′ = {a, d, e} हैं। इन दोनों समुच्चयों में समान तत्व केवल d है, इसलिए A′ ∩ B′ = {d}। विकल्प B पूरे U में से c को छोड़कर लगभग सभी तत्व दिखाता है, जबकि प्रतिच्छेद में केवल दोनों पूरकों के समान तत्व लिए जाते हैं। परीक्षा में पूरक निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय U को आधार अवश्य मानें। / With respect to U, A′ = {b, d, f} and B′ = {a, d, e}. The only common element is d, so A′ ∩ B′ = {d}. Option B does not represent the common elements of the two complements. As an exam tip, always use the given universal set when finding a complement; equivalently, De Morgan’s law gives A′ ∩ B′ = (A ∪ B)′.
(n\(A \cup B\)=35+42-18=59), इसलिए पूरक (80-59=21) है। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / (n\(A \cup B\)=35+42-18=59), so the complement is (80-59=21). Find the union first, then take the complement.
पहले \(A-B\) ज्ञात करें। समुच्चय \(B\) में उपस्थित \(6\) और \(12\) को \(A\) से हटाने पर \(A-B=\{2,4,8,10\}\) मिलता है। अब \(U\) में इस समुच्चय के सभी शेष अवयव इसका पूरक होंगे, इसलिए \((A-B)'=\{1,3,5,6,7,9,11,12\}\)। विकल्प B केवल \(A-B\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के प्रत्येक अवयव की जाँच करें। / First find the difference: removing the elements 6 and 12, which belong to both \(A\) and \(B\), gives \(A-B=\{2,4,8,10\}\). The complement contains every element of \(U\) that is not in \(A-B\), so \((A-B)'=\{1,3,5,6,7,9,11,12\}\). Option B is just \(A-B\), not its complement. Exam tip: always take a complement relative to the stated universal set and check every element of \(U\).
पूरक हमेशा दिए गए (U) के अंदर ही लिया जाता है। इसलिए यहाँ (A') प्राकृतिक सम संख्याओं का समुच्चय है। / The complement is always taken inside the given (U). Thus (A') is the set of natural even numbers here.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{x:x\in\mathbb{Z},\ 0\le x\le 10\}\) और \(A=\{x:x\in U\text{ तथा }x^2-5x+6=0\}\) है, तो \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A'\) कौन-सा है?
दिया गया समीकरण \(x^2-5x+6=0\) को \((x-2)(x-3)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए \(A=\{2,3\}\)। पूरक समुच्चय \(A'=U\setminus A\) होता है; अतः \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) में से 2 और 3 हटाने पर \(A'=\{0,1,4,5,6,7,8,9,10\}\) मिलता है। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / Factorising the equation gives \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\), so \(A=\{2,3\}\). The complement is \(A'=U\setminus A\). Removing 2 and 3 from \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) gives \(A'=\{0,1,4,5,6,7,8,9,10\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: always find the complement relative to the stated universal set.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार संघ का पूरक, प्रत्येक समुच्चय के पूरकों का प्रतिच्छेद होता है; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में प्रतिच्छेद के स्थान पर संघ है। परीक्षा टिप: पूरक लेने पर \(\cup\) और \(\cap\) बदल जाते हैं। / By De Morgan’s law, the complement of a union is the intersection of the individual complements, so A is correct. Option B incorrectly keeps union. Exam tip: on taking a complement, interchange \(\cup\) and \(\cap\).
समुच्चय \(A\) में 1 से 50 तक 5 के गुणज आते हैं: \(5,10,15,\ldots,50\)। इनकी संख्या \(50/5=10\) है। चूँकि \(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(A\) के बाहर के अवयवों का समुच्चय है, इसलिए \(n(A')=n(U)-n(A)=50-10=40\)। विकल्प 10 केवल \(n(A)\) है, \(n(A')\) नहीं। परीक्षा-टिप: परिमित समुच्चय के लिए \(n(A')=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / Set \(A\) contains the multiples of 5 from 1 to 50: \(5,10,15,\ldots,50\). Their number is \(50/5=10\). Since \(A'\) consists of the elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\), \(n(A')=n(U)-n(A)=50-10=40\). The value 10 is \(n(A)\), not \(n(A')\). Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
पूरक समुच्चय लेने की क्रिया उलटी करने पर मूल समुच्चय प्राप्त होता है, अर्थात् \((A')'=A\) और \((B')'=B\)। इसलिए \(A'=B'\) के दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \(A=B\) मिलता है। विकल्प B और C क्रमशः असंयुक्तता तथा पूरे सार्वत्रिक समुच्चय को दर्शाते हैं, जो दिए गए कथन से आवश्यक रूप से नहीं निकलते। परीक्षा-युक्ति: \((X')'=X\) को हमेशा याद रखें। / Taking the complement of both sides of \(A'=B'\) gives \((A')'=(B')'\). Since the complement of a complement is the original set, \((A')'=A\) and \((B')'=B\), so \(A=B\). Options B and C describe disjointness and coverage of the universal set, neither of which necessarily follows from the given condition. Exam tip: remember the identity \((X')'=X\).
\(x^2\ge 9\) से \(|x|\ge 3\) मिलता है, इसलिए \(A=(-\infty,-3]\cup[3,\infty)\) है। सार्वत्रिक समुच्चय \(\mathbb{R}\) में इसका पूरक उन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिनके लिए \(|x|<3\), अर्थात \(-3<x<3\)। इसलिए \(A'=(-3,3)\)। ध्यान रखें कि मूल असमानता में बराबर का चिह्न होने के कारण \(-3\) और \(3\) समुच्चय \(A\) में शामिल हैं, अतः पूरक में वे शामिल नहीं होंगे। / From \(x^2\ge 9\), we get \(|x|\ge 3\), so \(A=(-\infty,-3]\cup[3,\infty)\). Since the universal set is \(\mathbb{R}\), its complement consists of the real numbers satisfying \(|x|<3\), or \(-3<x<3\). Hence, \(A'=(-3,3)\). The endpoints \(-3\) and \(3\) are excluded from the complement because they belong to \(A\). Exam tip: when taking the complement of an inequality containing \(\ge\), reverse it to a strict inequality \(<\).
