Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\cup B=\varnothing\) से \(A=\varnothing\) और \(B=\varnothing\) हैं। इसलिए (A'=U), (B'=U), और \(A'\cap B'=U\)। / \(A\cup B=\varnothing\) gives \(A=\varnothing\) and \(B=\varnothing\). Thus (A'=U), (B'=U), and \(A'\cap B'=U\).
(A') सम संख्याएँ हैं और (B') में (B) के बाहर के अवयव हैं। दोनों में सामान्य अवयव ({4,6,10,12,14,16}) हैं। / (A') is the set of even numbers, and (B') contains elements outside (B). Their common elements are ({4,6,10,12,14,16}).
(-5) और (7) (A) में हैं, जबकि (-1) और (2) (A) में नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,-5\)\cup[-1,2]\cup\(7,\infty\)) है। / (-5) and (7) are in (A), while (-1) and (2) are not in (A). Therefore the complement is (\(-\infty,-5\)\cup[-1,2]\cup\(7,\infty\)).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। यदि यह (U) है, तो \(A\cup B\) का पूरक (U) है, इसलिए \(A\cup B=\varnothing\)। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). If this is (U), the complement of \(A\cup B\) is (U), so \(A\cup B=\varnothing\).
\(यदि सार्वत्रिक समुच्चय 8\(U=\{1,2,\ldots,77\}\)\u00029 है, तथा 8\(A=\{x\in U:x\text{ 7 से विभाज्य है}\}\)\u00029 और 8\(B=\{x\in U:x\text{ 11 से विभाज्य है}\}\)\u00029 हैं, तो 8|A'\cap B'|\u00029 का मान क्या है\)?
समुच्चय \(A\) में 7 के गुणज हैं, इसलिए \(|A|=\lfloor77/7\rfloor=11\), और \(|B|=\lfloor77/11\rfloor=7\)। दोनों में समान तत्व केवल 77 है, अतः \(|A\cap B|=\lfloor77/\operatorname{lcm}(7,11)\rfloor=1\)। इसलिए \(|A\cup B|=11+7-1=17\)। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'\\), अतः \(|A'\cap B'|=77-17=60\)। परीक्षा-टिप: पूरकों के प्रतिच्छेद को पहले \((A\cup B)'\) में बदलकर समावेशन-बहिष्करण सूत्र लगाएँ। / The set \(A\) contains the multiples of 7, so \(|A|=\lfloor77/7\rfloor=11\), while \(|B|=\lfloor77/11\rfloor=7\). Their only common element is 77, hence \(|A\cap B|=\lfloor77/\operatorname{lcm}(7,11)\rfloor=1\). Therefore, \(|A\cup B|=11+7-1=17\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), so \(|A'\cap B'|=77-17=60\). Exam tip: Convert an intersection of complements into the complement of a union, then apply inclusion–exclusion carefully.
(1) से (33) तक (16) सम संख्याएँ हैं और उनमें (6,12,18,24,30) (3) से विभाज्य हैं। इसलिए (A') में सम अवयव (16-5=11) हैं। / From (1) to (33), there are (16) even numbers, and (6,12,18,24,30) are divisible by (3). So even elements in (A') are (16-5=11).
\(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\), इसलिए \(x^2+x-6\ge 0\) के लिए \(x\le -3\) या \(x\ge 2\)। अतः \(A=(-\infty,-3]\cup[2,\infty)\)। इसका \(\mathbb{R}\) में पूरक उन बिंदुओं का समुच्चय है जो \(A\) में शामिल नहीं हैं, अर्थात \(-3<x<2\), इसलिए \(A'=(-3,2)\)। परीक्षा में याद रखें: असमिकता में बराबरी होने पर मूल बिंदु \(A\) में शामिल होते हैं, लेकिन पूरक में नहीं। / Since \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\), the inequality \(x^2+x-6\ge 0\) holds for \(x\le -3\) or \(x\ge 2\). Thus, \(A=(-\infty,-3]\cup[2,\infty)\). Its complement in \(\mathbb{R}\) contains the points not included in \(A\), namely \(-3<x<2\). Therefore, \(A'=(-3,2)\). Exam tip: when the original inequality includes equality, the boundary points belong to \(A\) and are excluded from its complement.
समुच्चय \(A'\) और \(B\) का संघफल \(B\) के बराबर है। इसका अर्थ है कि \(A'\) का प्रत्येक अवयव पहले से ही \(B\) में उपस्थित है; इसलिए \(A'\subseteq B\)। विकल्प B समावेशन की दिशा उलट देता है, जबकि विकल्प C और D इस शर्त से आवश्यक रूप से नहीं निकलते। परीक्षा-युक्ति: \(X\cup Y=Y\) हो, तो तुरंत \(X\subseteq Y\) निष्कर्षित करें। / Since the union of \(A'\) and \(B\) is exactly \(B\), every element of \(A'\) must already belong to \(B\). Hence, \(A'\subseteq B\). Option B reverses the direction of inclusion, while options C and D do not necessarily follow from the given condition. Exam tip: whenever \(X\cup Y=Y\), conclude immediately that \(X\subseteq Y\).
एक समूह में (150) विद्यार्थी हैं, (82) गणित पढ़ते हैं, (74) जीवविज्ञान पढ़ते हैं और (36) दोनों पढ़ते हैं। दोनों में से कोई भी विषय न पढ़ने वाले कितने हैं?
\(|M\cup B|=82+74-36=120\), इसलिए neither की संख्या (|\(M\cup B\)'|=150-120=30) है। neither को संघ के पूरक के रूप में पढ़ें। / \(|M\cup B|=82+74-36=120\), so the number studying neither is (|\(M\cup B\)'|=150-120=30). Read neither as the complement of the union.
हर 18 का गुणज 6 का भी गुणज होता है, इसलिए \(B\subseteq A\)। अतः \(A\cup B=A\)। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'=A'\)। इसलिए सही उत्तर \(A'\) है। ध्यान रखें: यदि \(B\subseteq A\), तो उसके पूरकों के लिए \(A'\subseteq B'\) होता है; इस कारण उत्तर \(B'\) नहीं है। / Every multiple of 18 is also a multiple of 6, so \(B\subseteq A\). Therefore, \(A\cup B=A\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'=A'\). Hence, the correct answer is \(A'\). Exam tip: if \(B\subseteq A\), then their complements satisfy \(A'\subseteq B'\), so \(B'\) is not the answer.
