Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सार्वत्रिक समुच्चय \\(\\mathbb{R}\\) के सापेक्ष \\(A'= (0,\\infty)\\) और \\(B'=(-\\infty,2)\\) होंगे। इसलिए \\(A'\\cap B'=(0,\\infty)\\cap(-\\infty,2)=(0,2)\\)। 0, समुच्चय \\(A\\) में शामिल है, इसलिए वह \\(A'\\) में नहीं आ सकता; इसी प्रकार 2, \\(B\\) में शामिल है, इसलिए वह \\(B'\\) में नहीं आ सकता। परीक्षा में पूरक लेते समय समापन बिंदुओं पर खुले और बंद कोष्ठकों पर विशेष ध्यान दें। / With respect to the universal set \\(\\mathbb{R}\\), \\(A'=(0,\\infty)\\) and \\(B'=(-\\infty,2)\\). Hence, \\(A'\\cap B'=(0,\\infty)\\cap(-\\infty,2)=(0,2)\\). The point 0 belongs to \\(A\\), so it cannot belong to \\(A'\\); similarly, 2 belongs to \\(B\\), so it cannot belong to \\(B'\\). Exam tip: carefully check whether each endpoint is included or excluded when taking complements.
समीकरण से \(A=\{5,6\}\) मिलता है, इसलिए (A') में (5) और (6) नहीं होंगे। दिए गए समुच्चय से ({7,8}) बचता है। / The equation gives \(A=\{5,6\}\), so (5) and (6) are not in (A'). From the given set, ({7,8}) remains.
मान लें कि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,\ldots,60\}\) है। यदि \(A=\{x\in U:4\mid x\}\) और \(B=\{x\in U:9\mid x\}\), तो \(U\) के सापेक्ष \(A\cup B\) के पूरक समुच्चय में कितने सदस्य हैं?
60 तक 4 के 15 गुणज और 9 के 6 गुणज हैं। दोनों समुच्चयों में समान तत्व वे संख्याएँ हैं जो 4 और 9 दोनों से विभाज्य हों; इनका लघुत्तम समापवर्त्य 36 है और 60 तक केवल 36 ही ऐसा गुणज है। इसलिए \(n(A\cap B)=1\) और समावेशन-वर्जन सिद्धांत से \(n(A\cup B)=15+6-1=20\)। अतः पूरक समुच्चय के सदस्यों की संख्या \(60-20=40\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक की cardinality निकालने से पहले union में overlap एक बार अवश्य घटाएँ; 39 वाला विकल्प इसी सामान्य भूल को दर्शाता है। / There are 15 multiples of 4 and 6 multiples of 9 up to 60. An element common to both sets must be divisible by \(\operatorname{lcm}(4,9)=36\); only 36 is such a multiple up to 60. Thus, \(n(A\cap B)=1\), and by inclusion–exclusion, \(n(A\cup B)=15+6-1=20\). Therefore, the complement has \(60-20=40\) elements. Exam tip: subtract the overlap once when counting a union before finding its complement; 39 results from mishandling this overlap.
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=14+6-2=18), इसलिए (n\(A'\cap B'\)=84-18=66) है। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=14+6-2=18), (n\(A'\cap B'\)=84-18=66).
\(x^2\le 16\) से \(-4\le x\le 4\) मिलता है, इसलिए (A) में (9) सदस्य हैं। (U) में (21) सदस्य हैं, अतः (n(A')=12) है। / \(x^2\le 16\) gives \(-4\le x\le 4\), so (A) has (9) elements. Since (U) has (21) elements, (n(A')=12).
पूरक में (A) से बाहर के वास्तविक मान आते हैं। (-4) हटेगा, पर (2) और (6) शामिल होंगे। / The complement contains real values outside (A). The point (-4) is excluded, while (2) and (6) are included.
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A'\cap B=B\setminus A\) होता है, अर्थात् यह \(B\) में वे अवयव हैं जो \(A\) में नहीं हैं। अतः \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=97-64=33\)। विकल्प 97 केवल \(B\) की कुल संख्या है और उसमें \(A\) के अवयव भी शामिल हैं। परीक्षा-टिप: जब \(A\subseteq B\) हो, तो \(A'\cap B\) की जगह सीधे \(B\setminus A\) लिखकर हल करें। / Since \(A\subseteq B\), we have \(A'\cap B=B\setminus A\), which contains the elements of \(B\) that are not in \(A\). Therefore, \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=97-64=33\). The value 97 is only the cardinality of \(B\), which also includes the elements of \(A\). Exam tip: whenever \(A\subseteq B\), replace \(A'\cap B\) with \(B\setminus A\).
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए \(A'\cap B\) में (2) को छोड़कर विषम अभाज्य संख्याएं होंगी। / (A') is the set of odd numbers. Thus \(A'\cap B\) contains odd prime numbers except (2).
\(A'\cap B'\) वही सदस्य हैं जो \(A\cup B\) में नहीं हैं। \(A\cup B={a,b,d,e,g,h}\), इसलिए उत्तर ({c,f}) है। / \(A'\cap B'\) contains elements not in \(A\cup B\). Since \(A\cup B={a,b,d,e,g,h}\), the answer is ({c,f}).
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (15) के (3) गुणज हैं, इसलिए पूरक (45-3=42) है। / By De Morgan, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (15), so the complement has (45-3=42) elements.
