Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले साझा अवयव ज्ञात करें: \(A\cap B=\{5\}\)। किसी समुच्चय का पूरक सार्वत्रिक समुच्चय के वे सभी अवयव होते हैं जो उसमें शामिल नहीं हैं। अतः \((A\cap B)'=U-\{5\}=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}\)। विकल्प C वास्तव में \(A\cup B\) है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((A\cap B)'=A'\cup B'\) भी लिखा जा सकता है। / The common element is \(A\cap B=\{5\}\). The complement contains every element of the universal set that is not in this intersection. Therefore, \((A\cap B)'=U-\{5\}=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}\). Option C is actually \(A\cup B\), not the complement. Exam tip: By De Morgan’s law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\).
चूँकि पूरक सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिया गया है, इसलिए \(A'=\mathbb{R}\setminus A=[0,4]\)। समुच्चय \(B=[-2,6]\) में \([0,4]\) पूरा शामिल है, अतः \(A'\cap B=[0,4]\)। ध्यान रखें कि 0 और 4, \(A\) के खुले अंतरालों में नहीं हैं, इसलिए वे \(A'\) में शामिल होंगे। / Since the complement is taken relative to \(U=\mathbb{R}\), we have \(A'=\mathbb{R}\setminus A=[0,4]\). The set \(B=[-2,6]\) contains all of \([0,4]\), so \(A'\cap B=[0,4]\). Note that 0 and 4 are not included in the open intervals defining \(A\), so both belong to \(A'\).
(32) तक (2) की घातें (1,2,4,8,16,32) हैं, इसलिए (A) में (6) सदस्य हैं। पूरक में (32-6=26) सदस्य हैं। / Powers of (2) up to (32) are (1,2,4,8,16,32), so (A) has (6) elements. The complement has (32-6=26) elements.
किसी समुच्चय का पूरक संबंध \(A'=U-A\) होता है, इसलिए \(A=U-A'\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में से दिए गए अभाज्य सदस्य \(2,3,5,7,11,13,17,19\) हटाने पर \(\{1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20\}\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(1\) अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए वह \(A\) में शामिल रहेगा। / For complementary sets, \(A'=U-A\), so \(A=U-A'\). Removing the given prime elements \(2,3,5,7,11,13,17,19\) from the universal set \(U\) leaves \(\{1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20\}\). Remember that \(1\) is not a prime number, so it remains in \(A\).
\(A\setminus B\) में वे सभी अवयव होते हैं जो \(A\) में हैं, लेकिन \(B\) में नहीं हैं। यदि यह समुच्चय रिक्त है, तो \(A\) का कोई भी अवयव \(B\) के बाहर नहीं है। इसलिए \(A\subseteq B\) अवश्य सत्य है। विकल्प B के लिए \(B\) का प्रत्येक अवयव \(A\) में होना आवश्यक होता, जो दी गई शर्त से सिद्ध नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(A\setminus B=\varnothing\) को सीधे \(A\subseteq B\) के रूप में याद रखें। / The set \(A\setminus B\) contains elements that belong to \(A\) but not to \(B\). If this difference is empty, no element of \(A\) lies outside \(B\); hence \(A\subseteq B\) must hold. Option B would require every element of \(B\) to belong to \(A\), which is not implied by the given condition. Exam tip: remember the equivalence \(A\setminus B=\varnothing\iff A\subseteq B\).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (9) या (6) से विभाज्य संख्याएं (6+9-3=12) हैं, इसलिए पूरक (42) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Numbers divisible by (9) or (6) are (6+9-3=12), so the complement is (42).
(A) में (-1) शामिल है, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। (3) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। / (A) includes (-1), so it is not in the complement. The point (3) is not in (A), so it is included in the complement.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है कि A का प्रत्येक तत्व B में है। इसलिए जो तत्व B में नहीं हैं, वे A में भी नहीं हो सकते; अतः \(B'\subseteq A'\)। विकल्प A में समावेशन की दिशा उलटी है। परीक्षा टिप: पूरक लेने पर समावेशन का क्रम बदल जाता है। / \(A\subseteq B\) means every element of A belongs to B. Hence, an element outside B must also be outside A, so \(B'\subseteq A'\). Option A reverses the inclusion. Exam tip: taking complements reverses set inclusion.
(22) तक विषम संख्याएं (11) हैं। उनमें अभाज्य विषम (3,5,7,11,13,17,19) हटेंगे, इसलिए (4) विषम मिश्रित या (1) बचते हैं। / There are (11) odd numbers up to (22). Removing odd primes (3,5,7,11,13,17,19) leaves (4) odd non-prime numbers including (1).
(A') में (7) विषम सदस्य और (A) में (7) सम सदस्य हैं। इसलिए (n\(A'\times A\)=7\times 7=49) है। / (A') has (7) odd elements and (A) has (7) even elements. Hence (n\(A'\times A\)=7\times 7=49).
