Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(27) तक सम संख्याएं (13) हैं। इनमें (6,12,18,24) (3) से भी विभाज्य हैं, इसलिए (13-4=9) बचते हैं। / There are (13) even numbers up to (27). Among them (6,12,18,24) are also divisible by (3), so (13-4=9) remain.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, \((A\cap B)'=A'\cup B'\) होता है। अर्थात जो तत्व A और B दोनों में नहीं हैं, वे A के बाहर या B के बाहर होंगे। विकल्प B में संघ के पूरक के लिए प्रतिच्छेद आता है। परीक्षा टिप: डी मॉर्गन में \(\cap\) और \(\cup\) परस्पर बदलते हैं। / By De Morgan’s law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\). An element outside the intersection must be outside A or outside B. In option B, the complement of a union gives an intersection. Exam tip: under complement, interchange \(\cap\) and \(\cup\).
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=12+8-4=16), इसलिए पूरक में (96-16=80) सदस्य हैं। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=12+8-4=16), the complement has (96-16=80) elements.
समावेशन-बहिष्करण से (n\(A\cup B\cup C\)=15+8+6-1-3-2+1=24) है। इसलिए पूरक में (120-24=96) सदस्य होंगे। / By inclusion-exclusion, (n\(A\cup B\cup C\)=15+8+6-1-3-2+1=24). Therefore the complement has (120-24=96) elements.
असमानता से \(3\le x\le 6\) मिलता है, इसलिए (A) में (4) सदस्य हैं। (U) में (25) सदस्य हैं, अतः (n(A')=25-4=21) नहीं बल्कि (21) होता है। / The inequality gives \(3\le x\le 6\), so (A) has (4) elements. Since (U) has (25) elements, (n(A')=25-4=21).
यहाँ (A=[-5,2]) और (B=(-2,4)) है, इसलिए \(A'\cap B=(2,4)\) होगा। इसका पूरक (\(-\infty,2]\cup[4,\infty\)) है। / Here (A=[-5,2]) and (B=(-2,4)), so \(A'\cap B=(2,4)\). Its complement is (\(-\infty,2]\cup[4,\infty\)).
(-5) (A) में नहीं है, (1) और (4) (A) में हैं, और (9) (A) में नहीं है। सिरों को देखकर पूरक ([-5,1)\cup(4,9]) होगा। / The point (-5) is not in (A), (1) and (4) are in (A), and (9) is not in (A). Checking endpoints gives ([-5,1)\cup(4,9]).
पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A\subseteq B\subseteq C\) से \(C'\subseteq B'\subseteq A'\) मिलता है। / Taking complements reverses inclusion. Hence \(A\subseteq B\subseteq C\) gives \(C'\subseteq B'\subseteq A'\).
(A-B) में (3) के वे गुणज हैं जो (7) से विभाज्य नहीं हैं, उनकी संख्या (14-2=12) है। इसलिए (n((A-B)')=42-12=30) नहीं बल्कि (30) होता है। / (A-B) contains multiples of (3) that are not divisible by (7), and their count is (14-2=12). Therefore (n((A-B)')=42-12=30).
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(5,8)=40) के गुणज आएंगे। (40) तक केवल (1) ऐसा सदस्य है, इसलिए पूरक (39) है। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(5,8)=40). Up to (40), there is only (1) such element, so the complement is (39).
