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पूरक की परिभाषा के अनुसार \(A'=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\). किसी समुच्चय का पुनः पूरक लेने पर मूल समुच्चय ही मिलता है, इसलिए \((A')'=A=\{1,3,5,7\}\। विक्षेपक: विकल्प A केवल एक बार का पूरक (\(A'\)) है, विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं — शून्य समुच्चय या सम्पूर्ण यूनिवर्सल सेट दोनों ही \((A')'\) के रूप में सही नहीं। परीक्षात्मक सुझाव: याद रखें कि दो बार पूरक लेने से समुच्चय वापस मिल जाता है — \((A')'=A\)। / By definition \(A'=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\). Taking the complement again returns the original set, so \((A')'=A=\{1,3,5,7\}\). Distractors: option A is the single complement \(A'\), while C (\(\emptyset\)) and D (\(U\)) are not equal to \((A')'\). Exam tip: use the double-complement law \((A')'=A\) to answer such questions quickly.
कोर सिद्धान्त: किसी सेट का पूरक (complement) उस यूनिवर्सल सेट के वे तत्व होते हैं जो मूल सेट में नहीं हैं। यहाँ \(U\) में पूर्णांक 0 से 10 तक हैं। \(A\) उनतरों में सम संख्या हैं: \{0,2,4,6,8,10\}। अतः \(A'\) वे तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं — यानी विषम संख्याएँ \{1,3,5,7,9\}। निकटभ्रामक विकल्प: विकल्प C में 0 शामिल है जबकि 0 \(A\) का घटक है, इसलिए वह गलत है. परीक्षा-टिप: पूरक निकालने से पहले यूनिवर्सल सेट के सभी तत्व लिख लें और फिर दिए गए सेट के तत्व हटा दें। / Core idea: The complement of a set consists of those elements of the universal set that are not in the given set. Here \(U\) contains integers 0 through 10. \(A\) is the even subset \{0,2,4,6,8,10\}. Therefore \(A'\) is the set of elements of \(U\) not in \(A\), i.e. the odd numbers \{1,3,5,7,9\}. Closest distractor: option C wrongly includes 0, but 0 belongs to \(A\), so C is incorrect. Exam tip: always list elements of the universal set first, then remove elements belonging to the given set to get the complement.
किसी समुच्चय और उसके पूरक का योग सैद्धान्तिक रूप से सार्वभौमिक समुच्चय का आकार देता है, अर्थात् \(|A| + |A'| = |U|\)। यहाँ \(|U| = 15\) और \(|A'| = 6\) हैं, अतः \(|A| = 15 - 6 = 9\)। विकल्प (6) गलत है क्योंकि वह \(A'\) का आकार है, और (15) गलत है क्योंकि वह पूरे सार्वभौमिक समुच्चय का आकार है। परीक्षा टिप: सीधे सूत्र \(|A| = |U| - |A'|\) याद रखें और डेटा को उसी में रखें। / A set and its complement partition the universal set, so \(|A| + |A'| = |U|\). Given \(|U|=15\) and \(|A'|=6\), we get \(|A| = 15-6 = 9\). Option 6 is incorrect because it is the size of the complement; option 15 is incorrect because it is the size of the whole universal set. Exam tip: use the identity \(|A| = |U| - |A'|\) to avoid sign mistakes.
पहले \(A\cap B\) निकालें: \(A\cap B=\{2,4\}\). प्रश्न का मतलब है इसका उपस्थानी परिशेष (complement) सतही यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष; अतः \((A\cap B)'=U\setminus (A\cap B)=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{2,4\\}=\{1,3,5,6,7\}\). विकल्प D (\(\{3,5,7\}\)) निकटतम भ्रांतिदायक है क्योंकि वह \(1\) और \(6\) को छोड़ देता है जो \( (A\cap B)' \) में होने चाहिए। परीक्षा सुझाव: क्रमबद्ध तरीके से पहले जोड़ या छंटनी (यहाँ intersection) निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष complement लें। / Compute \(A\cap B\) first: \(A\cap B=\{2,4\}\). The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \((A\cap B)'=U\setminus(A\cap B)=\{1,3,5,6,7\}\). Option B (\(\{2,4\}\)) is just the intersection itself, not the complement. The closest distractor is D (\(\{3,5,7\}\)) because it omits \(1\) and \(6\) which belong in the complement. Exam tip: always evaluate intersection/union first, then apply complement relative to the given universal set.
पहला तरीका — समुच्चयों को जोड़ें: \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) जिसमें 8 तत्व हैं। सार्वभौमिक समुच्चय में कुल 12 तत्व हैं, अतः पूरक में \(12-8=4\) तत्व होंगे: \(\{1,5,7,11\}\). वैकल्पिक रूप से, समावेशन–अपवर्जन से: \(n(A)=6,\;n(B)=4,\;n(A\cap B)=2\Rightarrow n(A\cup B)=6+4-2=8\). नज़दीकी विकर्षक (5) तब गलत होता है जब गणना में संघ की संख्या 7 मान ली जाए — यह समान्य गणना गलती है। परीक्षा संकेत: तेज़ी से सूची बना लें या inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ ताकि गिनती में त्रुटि न हो। / Compute the union and subtract from the universal set: \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) has 8 elements, so its complement in \(U\) has \(12-8=4\) elements, namely \(\{1,5,7,11\}\). Using inclusion–exclusion: \(n(A)=6,\;n(B)=4,\;n(A\cap B)=2\Rightarrow n(A\cup B)=6+4-2=8\). The closest wrong option (5) would result from miscounting the union as 7. Exam tip: either list the union explicitly or use inclusion–exclusion to avoid off-by-one mistakes.
पूरक की परिभाषा है \(A'=U\setminus A=\{x\in U:\;x\notin A\}\)। यदि \(A=\emptyset\) है तो कोई भी तत्व \(A\) में नहीं है, अतः सभी तत्व जो \(U\) में हैं वे ही \(A'\) में होंगे। इसलिए \(A'=U=\{1,2,3,4,5\}\)। विकल्प A (\(\emptyset\)) गलत है क्योंकि वह शून्य तत्व वाला समुच्चय है — यह \(A\) है न कि \(A'\)। विकल्प C (\(\{\emptyset\}\)) अलग समुच्चय है जिसका एक तत्व ही है: खाली समुच्चय; यह \(U\) नहीं है। विकल्प D (\(\{0\}\)) में 0 सार्वत्रिक समुच्चय का सदस्य नहीं है, इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा सलाह: हमेशा याद रखें \(A'=\{x\in U:x\notin A\}\) — खाली सेट के लिए पूरा सार्वत्रिक सेट ही पूरक होता है। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A=\{x\in U:\;x\notin A\}\). If \(A=\emptyset\), no element of \(U\) is excluded, so every element of \(U\) belongs to \(A'\). Thus \(A'=U=\{1,2,3,4,5\}\). Option A (\(\emptyset\)) is wrong because that denotes the empty set itself, not its complement. Option C (\(\{\emptyset\}\)) is the set whose single element is the empty set and is not equal to \(U\). Option D (\(\{0\}\)) is incorrect since 0 is not an element of the given universal set. Exam tip: use \(A'=\{x\in U:x\notin A\}\) to decide complements — for \(A=\emptyset\) you always get \(A'=U\).
\(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है। इसलिए \(A\) में वे सभी तत्व होंगे जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A'\) में नहीं हैं। अतः \(A=U\setminus A'=\{a,b,c,d,e,f\}\setminus\{b,d,f\}=\{a,c,e\}\)। विकल्प B, \(A\) नहीं बल्कि \(A'\) है; विकल्प C में पूरक के तत्व भी शामिल हैं। परीक्षा टिप: जब \(A'\) दिया हो, तो \(A\) ज्ञात करने के लिए उसे सार्वत्रिक समुच्चय से घटाएँ। / \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\). Therefore, \(A\) contains the elements that belong to \(U\) but do not belong to \(A'\). Thus, \(A=U\setminus A'=\{a,b,c,d,e,f\}\setminus\{b,d,f\}=\{a,c,e\}\). Option B is \(A'\) itself, not \(A\), while option C incorrectly includes the elements of the complement as well. Exam tip: To find a set from its complement, subtract the complement from the universal set.
पूरक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है। इसलिए \(A'=U\setminus A=\{5,6,7,8\}\) और \(B'=U\setminus B=\{1,2,7,8\}\)। अतः \(A'\cup B'=\{1,2,5,6,7,8\}\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C केवल \(U\setminus(A\cup B)\) है, जो \(A'\cap B'\) के बराबर होता है, संघ के नहीं। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय यह अवश्य देखें कि वह किस सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष है। / Complements are taken with respect to the universal set \(U\). Thus, \(A'=U\setminus A=\{5,6,7,8\}\) and \(B'=U\setminus B=\{1,2,7,8\}\). Therefore, \(A'\cup B'=\{1,2,5,6,7,8\}\), so option A is correct. Option C is \(U\setminus(A\cup B)\), which equals \(A'\cap B'\), not the required union. Exam tip: always identify the universal set before finding a complement.
समुच्चय \(A\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व होंगे जो 4 से विभाज्य हैं: \(A=\{4,8,12\}\)। इसलिए \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं: \(A'=U\setminus A=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}\)। विकल्प B स्वयं \(A\) है, जबकि विकल्प C में 4, 8 और 12 जैसे 4 के गुणज भी शामिल हैं। विकल्प D केवल विषम संख्याएँ देता है और 2, 6 तथा 10 जैसे सम संख्याओं को छोड़ देता है, जो 4 से विभाज्य नहीं हैं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखें और उसमें से \(A\) के तत्व हटा दें। / The elements of \(A\) are the members of \(U\) divisible by 4: \(A=\{4,8,12\}\). Hence, the complement of \(A\) with respect to \(U\) contains every element of \(U\) that is not in \(A\): \(A'=U\setminus A=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}\). Option B is the set \(A\) itself, while option C incorrectly includes the multiples of 4. Option D contains only odd numbers and omits even numbers such as 2, 6, and 10, which are not divisible by 4. Exam tip: To find a complement, write the universal set first and remove all elements of the given set.
पहले संघ ज्ञात करें: \(A\cup B=\{a,c,g\}\cup\{b,c,h\}=\{a,b,c,g,h\}\)। इसका पूरक, सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व हैं जो इस संघ में शामिल नहीं हैं। इसलिए \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{d,e\}\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B केवल दोनों समुच्चयों के प्रतिच्छेद \(A\cap B\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष शेष तत्व चुनें। / First find the union: \(A\cup B=\{a,c,g\}\cup\{b,c,h\}=\{a,b,c,g,h\}\). The complement consists of the elements of the universal set \(U\) that are not in this union. Hence, \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{d,e\}\), so option A is correct. Option B, \(\{c\}\), represents the intersection \(A\cap B\), not the complement of the union. Exam tip: take the complement only with respect to the stated universal set.
